北京市延庆县2010—2011学年度高三第一学期期末测试数学(理科)

高 三 数 学（理科） 2011.01

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 已知集合A{1,a2}，B{2,4}，则“a2”是“AB{4}”的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要的条件 2. 已知sin20，且cos0，则的终边落在（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 已知命题p：“xRnis,x52”，命题q：“xRx,x102”，给出下列四个

判断：①pq是真命题，②pq是真命题，③(p)q是真命题，④p(q)是真命题，其中正确的是（ ）

A. ② ④ B. ② ③ C. ③ ④ D. ① ② ③ 4. 一个几何体的三视图如右图所示，主视图 与俯视图都是一边长为3cm的矩形，左视 图是一个边长为2cm的等边三角形，则这 个几何体的体积为（ ） A.

3 主视图 侧视图

俯视图

3 B. 23 C. 33 D. 6

5. 已知|a|1，|b|2，bca，且ca，则a与b的夹角

为（ ）

A. 60 B. 30 C. 150 D. 120

y 1 o · 1 x 6. 已知奇函数f(x)的定义域是[1,0)(0,1]，其在y轴右侧

的图像如图所示，则不等式f(x)f(x)1的解集为（ ）

11x0} B. {x|x0或0x1} 2211C. {x|1x或0x1} D. {x|1x0或x1}

22A. {x|7. 当x(1,2)时，不等式(x1)2logax恒成立，则a的取值范围是（ ）

A. [2,) B. (1,2] C. [,1) D. (0,]

12128. 如果对于函数f(x)定义域内任意的两个自变量的值x1,x2，当x1x2时,都有

f(x1)f(x2)，且存在两个不相等的自变量值y1,y2,使得f(y1)f(y2),就称f(x)为定

义域上的不严格的增函数，已知函数g(x)的定义域、值域分别为A、B，

A{1,2,3},BA, 且g(x)为定义域A上的不严格的增函数，那么这样的g(x)共有

（ ）

A. 3 个 B. 7 个 C. 8 个 D. 9 个

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上。

119. xlog2,y22,z72, 则x,y,z

4开始 输入x 间的大小关系为 .

10. 函数yex在x0处的切线方程是 . 11. 如图是一个算法的程序框图，当输入x的值为输出的y的结果为 .

12.（以下二题选做其一）

x 是 否 xx22时， 3ytanx输出y 结束（1）将分别写有1,2,3,4,5,6,7的7张卡片随机排成一排，则其中的奇数卡片都相邻或偶数卡片都相邻的概率是 .

22（2）点P(3,m)到圆x2xy0上的点的最短距离为2，并且点P在不等式

3x2y50表示的平面区域内，则m . 13. 在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别为个顶点对应的复数为 .

14. 矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(2,1),B(2,1),C(2,1),D(2,1),过原点 且互相垂直的两条直线分别与矩形的边相交于E、F、G、H四点，则四边形EGFH的面积的最小值为 ，最大值为 .

三、解答题本大题共6个小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15. (本小题13分) Sn是等差数列{an}的前n项和，a511,（Ⅰ）求{an}的通项公式;

a（Ⅱ）设bnan（a是实常数，且a0），求{bn}的前n项和Tn.

3i,2i，0, 则第四 1iS535.

16. (本小题13分)

在ABC的三内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 已知cosB（Ⅰ）求sinA的值; （Ⅱ）设ABC的面积为

17. (本小题14分)

已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，且BAC90, 且ABAA1,D,E,F分别为B1A,C1C,BC的中点.

（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC； （Ⅱ）求证：B1F平面AEF； （Ⅲ）求二面角AEB1F的大小.

B B1

D

A F

C

54，cosC. 13533，求b. 2A1 C1

E

18. (本小题14分) （以下二题选做其一）

（1）甲乙两运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在7,8,9,10环内，且每次射击成绩互不影响，射击环数的频率分布条形图如下图所示，若将频率视为概率，回答下列问题.

（Ⅰ）求甲运动员在一次射击中击中9环以上（含9环）的概率；

（Ⅱ）求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上（含9环）的概率；

（Ⅲ）若甲、乙两运动员各射击1次，表示这2次射击中击中9环以上（含9环）的次数，求的分布列及E.

（2）如图，椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点，M是

4椭圆短轴的一个端点，过F1F2的面积为，ABF21的直线l与椭圆交于A,B两点，MF的周长为82 （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设点Q的坐标为(1,0)，是否存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PF1,PF2都相切，如存在，求出P点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由.

频率 0.45 频率 （2）题图

A F1 B O y M F2 x （1）题

图

0.1 078910 环数 甲

0.15 0.1 078910 环数 乙

19. (本小题14分)

已知aR，函数f(x)xln(x)(a1)x.

（Ⅰ）若f(x)在xe处取得极值，求函数f(x)的单调区间；

21（Ⅱ）求函数f(x)在区间[e,e]上的最大值g(a).

20. (本小题12分)

设m>3，对于有穷数列{an}(n1,2,„，m), 令bk为a1,a2,„，ak中的最大值，称数列{bn}为{an}的“创新数列”. 数列{bn}中不相等项的个数称为{an}的“创新阶数”. 例如数列2,1,3,7,5的创新数列为2,2,3,7,7，创新阶数为3.

考察自然数1,2,„，m(m3)的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{cn}. （Ⅰ）若m5, 写出创新数列为3,4,4,5,5的所有数列{cn}；

(Ⅱ) 是否存在数列{cn}，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列{cn}，若不存在，请说明理由.

延庆县2010—2011学年度第一学期期末测试

高三数学（理科）试题参考答案及评分标准

一、选择题：

题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 C 5 D 6 C 7 B 8 D 二、填空题：9. xzy 10. yx1 11. 13. 13i 14. 4, 5

三、解答题：

3 12. (1)

9, (2) 5 3515. 解：（Ⅰ）由已知可得：a14d11 „„„„„„„„„„„„ 1分 5a154d35 ，a12d7 „„„„„„„„„„„„ 3分 2解得：a13，d2 „„„„„„„„„„„„„„„„ 5分 ∴ an2n1 „„„„„„„„„„„„„„„„„„ 6分 （Ⅱ）∵ an2n1 ∴ bnaana2n1

bn1a2n3 ∴ 2n1a2， ∵ a0 ∴ {bn}是等比数列 „ 7分

bnab1a3 qa2 „„„„„„„„„„„„„„ 8分

∴ （1）当a1时，b11，q1，Tnn „„„„„„ 9分

a3(1a2n)（2）当a1时，Tn „„„„„„„„ 12分

1a2a1n,综上：Tna3(1a2n) „„„„„„„„ 13分

,a11a2

54,cosC ，且A,B,C 是三角形的内角 135123,sinC „„„„„„„„„„„„„„„„ 2分 ∴ sinB13516. （Ⅰ）∵ cosB∴ sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC „„„„„ 4分

1245333()  „„„„„„„„„„„„„„ 6分 13513565（Ⅱ）∵ SABC∵

133bcsinA ∴ bc65 „„„ 8分 265bcbc， „„„„„„ 10分  ∴

123sinBsinC13513b， 解得：b10 „„„„„„„„„„ 13分 20c17. 解：（Ⅰ）设AB的中点为G,连接DG,CG

∵D是A1B的中点∴DG∥A1A且DG∵E是C1C的中点∴CE∥A1A且CE1A1A 21A1A 2∴CE∥DG且CEDG ∴CEDG是平行四边形 ∴DE∥GC

∵DE平面ABC,GC平面ABC

∴DE∥平面ABC „„„„„„„„„„„„„„„„ 4分

（Ⅱ） ∵ ABC为等腰直角三角形， BAC90,且F是BC的中点

∴ AFBC ∵平面ABC平面BCC1B1

∴ AF平面BCC1B1 ∴AFB1F „„ 6分 设ABAA12 则在B1FE中，B1F6，

则EF3，B1E3 ∴B1E2B1F2EF29

∴ B1FE是直角三角形，∴B1FEF„„„„„„„„„ 8分 ∵AFEFF ∴B1F平面AEF „„„„„„ 9分 （Ⅲ）分别以AB,AC,AA1为x,y,z轴建立空间直角坐标系Axyz如图，

设ABAA,1,0),D(1,0,1) 12，则设A(0,0,0),B1(2,0,2),E(0,2,1),F(1∵ AF平面BCC1B1

∴ 面B1FE的法向量为AF=(1,1,0), „„„„„„„„„ 10分 设平面AB1E的法向量为n(x,y,z)

∵ AE(0,2,1), AD(1,0,1) ∴AEn0, ADn0 ∴2yz0,,xz0,

不妨设z2，可得n(2,1,2) „„„„„„„„„„„ 12分 ∴ cosn,AFnAF|n||AF|32=32„„„„„„„„ 13分 2∵ 二面角AEB1F是锐角

∴ 二面角AEB1F的大小45 „„„„„„„„„„ 14分

18. (1) （Ⅰ）由图形可知，一次射击中甲击中7,8环的概率均为0.1，击中9环的概率为

0.45，

又因为他们击中的环数都稳定在7,8,9,10环内，因此击中10环的概率为

10.450.10.10.35，所以甲击中9环以上（含9环）的概率为 0.45 + 0.35 = 0.8

（或解P10.20.8） „„„„„„„„„„„„„ 3分 （Ⅱ）设甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上（含9环）为事件A

123则P(A)C30.80.22C30.820.2C30.830.0960.3840.5120.992

（或解P(A)10.20.992） „„„„„„„„„ 8分

（Ⅲ）由题意可知0,1,2, 由图可知乙一次射击击中9环以上（含9环）的概率为 0.75

3P(0)0.200.250.05，

P(1)0.800.250.750.200.35

P(2)0.800.750.60 „„„„„„„„„„„„ 11分

因此的分布列

 0 1 2 为： P() 0.05 0.35 0.60 E00.0510.3520.601.55„„„„„„„„ 14分

（2）（Ⅰ） 由题意知：

12cb4,2bc4,4a82,a22，

解得 bc2

x2y21 „„„„„„„„„„ 6分 ∴ 椭圆的方程为84（Ⅱ）假设存在椭圆上的一点P(x0,y0)，使得直线PF1,PF2 与以Q为圆心的圆相切，则Q到直线PF1,PF2的距离相等,

F1(2,0),F2(2,0)

PF1： (x02)yy0x2y00

PF2： (x02)yy0x2y00 „„„„„„„„ 8分

d1|y0|(x02)y0222|3y0|(x02)y0222d2„„„„ 9分

化简整理得： 8x040x0328y00 „„„„„ 10分 ∵ 点在椭圆上，∴ x02y08

解得：x02 或 x08（舍） „„„„„„„„„„ 13分

22x02时，y02，r1，

∴ 椭圆上存在点P，其坐标为(2,2)或(2,2)，使得直线PF1,PF2 与以Q为圆心的圆(x1)y1相切„ „„„„„„ 14分

19．（Ⅰ）f(x)ln(x)a ， „„„„„„„„„„„„„ 2分

由题意知xe时，f(x)0，即：f(e)1a0， ∴a1 „„„„„„„„„„„„„„ 3分 ∴ f(x)xln(x)2x， f(x)ln(x)1 令f(x)ln(x)10，可得xe 令f(x)ln(x)10，可得xe 令f(x)ln(x)10，可得ex0

∴ f(x)在(,e)上是增函数，在(e,0)上是减函数，„„ 6分

22（Ⅱ）f(x)ln(x)a，

∵x[e2,e1]， ∴ x[e1,e2]，

∴ ln(x)[1,2]， „„„„„„„„„„„„„„„„ 7分

① 若a1，则f(x)ln(x)a0恒成立，此时f(x)在[e2,e1]上是增函数，

fmax(x)f(e1)(2a)e1 „„„„„„„„„„„„ 9分

② 若a2，则f(x)ln(x)a0恒成立，此时f(x)在[e2,e1]上是减函数，

fmax(x)f(e2)(a1)e2 „„„„„„„„„ 11分

a③ 若2a1，则令f(x)ln(x)a0可得xe

∵f(x)ln(x)a是减函数，∴当xea时f(x)0，当xea时f(x)0

∴f(x)在(,e) [e2,e1]上左增右减，

∴fmax(x)f(ea)ea， „„„„„„„„„„„„„ 13分

(2a)e1a12综上：g(a)(a1)ea2ea2a1„„„„„„„„„ 14分

20．（Ⅰ）解：由题意，创新数列为3,4,4,5,5的数列{cn}有两个，即：

（1）数列3，4，1，5，2； „„„„„„„„„„„„ 3分 （2）数列3，4，2，5，1. „„„„„„„„„ 5分

（Ⅱ）解：设数列{cn}的创新数列为{en}(n1,2,,m)，

因为em为c1,c2,,cm中的最大值. 所以.emm

由题意知：ek为c1,c2,,ck中最大值，ek1为c1,c2,,ck,ck1中最大值，

所以ekek1，且ek{1,2,,m}.

若{en}为等差数列，设其公差为d，

则dek1ek0，且dN „„„„„„„„„ „„ 7分

当d=0时，{en}为常数列，又emm，所以数列{en}为m,m,,m，

此时数列{cn}是首项为m的任意一个符合条件的数列；„„„ 8分

当d=1时，因为em=m，所以数列{en}为1,2,,m，

此时数列{cn}是1,2,,m； „„„„„„„„„ 9分

当d2时，因为eme1(m1)d，又m>3,e1>0，所以em>m，

这与em=m矛盾，所以此时{en}不存在， 即不存在{cn}使得它的创新数列

为d2的等差数列. „„„„„„„„„ 11分

综上，当数列{cn}为首项为m的任意符合条件的数列或为数列1,2,,m时，

它的创新数列为等差数列. „„„„„„„„„„