2020年北京卷数学高考试题文档版(含答案)

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2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学

本试卷共5页，150分，考试时长120分钟．考试务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合A{1,0,1,2}，B{x|0x3}，则AB（ ）．

A．{1,0,1} B．{0,1} C．{1,1,2} D．{1,2} 2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则iz（ ）．

A．12i B．2i C．12i D．2i 3．在(x2)5的展开式中，x2的系数为（ ）．

A．5 B．5 C．10 D．10 4．某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）．

A．63 B．623 C．123 D．1223 5．已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A．4 B．5 C．6 D．7 6．已知函数

． f(x)2xx1，则不等式f(x)0的解集是（ ）

A．(1,1) B．(,1)(1,) C．(0,1) D．(,0)(1,)

7．设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作PQl于Q，则线段FQ的垂直平分线（ ）．

A．经过点O B．经过点P C．平行于直线OP D．垂直于直线OP 8．在等差数列an中，a19，a51．记Tna1a2…an(n1,2,…)，则数列Tn（ ）．

A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 9．已知,R，则“存在kZ使得． k(1)k”是“sinsin”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

10．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）．

30303030tantanA．3nsin B．6nsin nnnn60606060tantanC．3nsin D．6nsin nnnn第二部分（非选择题 共10分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 11．函数f(x)1lnx的定义域是____________． x1x2y212．已知双曲线C:1，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是

63_________．

13．已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP1(ABAC)，则|PD|_________；2PBPD_________．

14．若函数f(x)sin(x)cosx的最大值为2，则常数的一个取值为________．

15．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W与时间t的关系为Wf(t)，用f(b)f(a)的大小评价在[a,b]这段时间内企业

ba

污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示。

给出下列四个结论：

①在t1,t2这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在0,t1,t1,t2,t2,t3这三段时间中，在0,t1的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是____________________．

三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16．（本小题13分）

如图，在正方体ABCDA1BC11D1中，E为BB1的中点．

（Ⅰ）求证：BC1//平面AD1E；

（Ⅱ）求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值． 17．（本小题13分）

在ABC中，ab11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a的值：

（Ⅱ）sinC和ABC的面积．

1； 719条件②：cosA,cosB．

816条件①：c7,cosA注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 18．（本小题14分）

某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 男生 支持 方案一 方案二 200人 350人 不支持 400人 250人 女生 支持 300人 150人 不支持 100人 250人 假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．

（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；

（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；

（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为p0，假设该校年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1，试比较p0与p1的大小．（结论不要求证明） 19．（本小题15分） 已知函数f(x)12x2．

（Ⅰ）求曲线yf(x)的斜率等于2的切线方程；

（Ⅱ）设曲线yf(x)在点(t,f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值． 20．（本小题15分）

x2y2已知椭圆C:221过点A(2,1)，且a2b．

ab（Ⅰ）求椭圆C的方程：

（Ⅱ）过点B(4,0)的直线l交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别交直线x4于点P,Q．

求

|PB|的值． |BQ|21．（本小题15分）

已知an是无穷数列．给出两个性质：

ai2am； ①对于an中任意两项ai,aj(ij)，在an中都存在一项am，使aj2ak②对于an中任意项an(n3)，在an中都存在两项ak,al(kl)．使得an．

al（Ⅰ）若ann(n1,2,（Ⅱ）若an2n1)，判断数列an是否满足性质①，说明理由；

(n1,2,)，判断数列an是否同时满足性质①和性质②，说明理由；

（Ⅲ）若an是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：an为等比数列。

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）

数学 参考答案

一、选择题

1-5 D B C D A 6-10 D B B C A 二、填空题 11. (0,)

12. (1). 3,0 (2). 13. (1). 14.

3 5 (2). 1

（2k,kZ均可）

2215. ①②③ 三、解答题

16. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

2. 3

17. 【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sinC3, S63； 2选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sinC1577, S. 4418. 【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为

31，该校女生支持方案一的概率为； 34（Ⅱ）

13,（Ⅲ）p1p0 3619. 【答案】（Ⅰ）2xy130，（Ⅱ）32.

x2y220. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1. 1；

8221. 【答案】(Ⅰ)

a329a22,a33,Zan不具有性质①；

a22(Ⅱ)

ai2ai2(2ij)1*i,jN,ij,2,2ijNa2ijan具有性质①，

ajaj*ak2nN,n3,kn1,ln2,2(2kl)12n1an,an具有性质②；

al*(Ⅲ)解法一

首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：

显然an0nN*，假设数列中存在负项，设N0maxn|an0， 第一种情况：若N01，即a00a1a2a3，

22a3a20，存在m2，满足am20， 由①可知：存在m1，满足am1a1a122a3a2，从而a2a3，与数列的单调性矛盾，假设不成立. 由N01可知

a1a1第二种情况：若N02，由①知存在实数m，满足am2aN02aN02aN0a10，由N0的定义可知：mN0，

另一方面，ama1aN0

aN0，由数列的单调性可知：mN0，

这与N0的定义矛盾，假设不成立. 同理可证得数列中的项数恒为负数. 综上可得，数列中的项数同号.

2a2其次，证明a3：

a12ak利用性质②：取n3，此时a3kl，

al由数列的单调性可知akal0， 而a3akakak，故k3， al2a2此时必有k2,l1，即a3，

a1最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：

假设数列an的前kk3项成等比数列，不妨设asa1q其中a10,q1，（a10,0q1的情况类似）

2aka1qkak，且ama1qkak1 （*） 由①可得：存在整数m，满足amak1s11sk，

as2aassas，由数列的单调性可知：tsk1， 由②得：存在st，满足：ak1atat由asa1qs1as21sk可得：ak1a1q2st1aka1qk1 （**）

atk2st1由（**）和（*）式可得：a1qa1qa1qk1，

结合数列的单调性有：k2st1k1， 注意到s,t,k均为整数，故k2st1， 代入（**）式，从而ak1a1q.

总上可得，数列an的通项公式为：ana1q即数列an为等比数列.

n1k.

解法二：

假设数列中的项数均为正数：

2ak(kl)， 首先利用性质②：取n3，此时a3al由数列的单调性可知akal0， 而a3akakak，故k3， al2a2此时必有k2,l1，即a3，

a1即a1,a2,a3成等比数列，不妨设a2a1q,a3a1q(q1)，

2a3a12q4a1q3， 然后利用性质①：取i3,j2，则ama2a1q2即数列中必然存在一项的值为a1q，下面我们来证明a4a1q， 否则，由数列的单调性可知a4a1q，

2akaakkak，从而k4， 在性质②中，取n4，则a4alal2ak与前面类似的可知则存在{k,l}{1,2,3}(kl)，满足a4，

al2aka1q3，与假设矛盾； 若k3,l2，则：a4al2aka1q4a1q3，与假设矛盾； 若k3,l1，则：a4al2aka1q2a3，与数列的单调性矛盾； 若k2,l1，则：a4al333即不存在满足题意的正整数k,l，可见a4a1q不成立，从而a4a1q，

2a4a12q64aq然后利用性质①：取i4,j3，则数列中存在一项am， 12a3a1q33下面我们用反证法来证明a5

a1q4，

否则，由数列的单调性可知a1qa5a1q，

2akaakkak，从而k5， 在性质②中，取n5，则a5alal2ak与前面类似的可知则存在k,l1,2,3,4kl，满足a5，

al2aka12q2k2a1q2kl1， 即由②可知：a5l1ala1q34若2kl14，则a5a1q4，与假设矛盾；

4若2kl14，则a5a1q，与假设矛盾；

若2kl14，由于k,l为正整数，故2kl13，则a5a1q，与a1qa5矛盾； 综上可知，假设不成立，则a5同理可得：a6a1q,a7a1q,5633a1q4.

，从而数列an为等比数列，

同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.

由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数. 从而题中的结论得证，数列an为等比数列.