圆周角定理及其推论随堂练习试
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圆周角定理及其推论随堂练习试卷
一、选择题（共20小题；共100分）
1. 如图，𝐴𝐴 是 ⊙𝐴 的直径，∠𝐴𝐴𝐴=130°，则 ∠𝐴 等于?( )
A. 25°
B. 35°
C. 50°
D. 65°
2. 如图，四边形 𝐴𝐴𝐴𝐴 是 ⊙𝐴 的内接四边形，∠𝐴=135°，则 ∠𝐴𝐴𝐴 的度数为 (??)
A. 45°
B. 90°
C. 100°
D. 135°
3. 如图，正三角形 𝐴𝐴𝐴 内接于 ⊙𝐴，动点 𝐴 在圆周的劣弧上，且不与 𝐴，𝐴 重合，则
∠𝐴𝐴𝐴 等于 (??)
A. 30°
B. 60°
C. 90°
D. 45°
4. 如图，四边形 𝐴𝐴𝐴𝐴 内接于 ⊙𝐴，∠𝐴𝐴𝐴=120°，则 ∠𝐴𝐴𝐴 的度数是 (??)
A. 30°
B. 60°
C. 80°
D. 120°
5. 如图，四边形 𝐴𝐴𝐴𝐴 内接于 ⊙𝐴，𝐴 为 𝐴𝐴 延长线上一点，∠𝐴=50o，则 ∠𝐴𝐴𝐴 的度数为 (??)
A. 40o B. 50o C. 60o D. 130o
2
6. 小宏用直角三角板检查某些工件的弧形凹面是否是半圆，下列工件的弧形凹面一定是半圆的是 (??)
A. B.
C. D.
7. 如图，𝐴𝐴 是 ⊙𝐴 的直径，𝐴 、 𝐴 是 ⊙𝐴 上两点，𝐴𝐴⊥𝐴𝐴，如果 ∠𝐴𝐴𝐴=
65°，那么 ∠𝐴𝐴𝐴 等于 (??)
A. 25°
B. 30°
C. 50°
D. 65°
8. 如图．四边形 𝐴𝐴𝐴𝐴 内接于 ⊙𝐴，𝐴 为 𝐴𝐴 延长线上一点，如果 ∠𝐴𝐴𝐴=120°，那么 ∠𝐴 等于?( )
A. 130°
B. 120°
C. 80°
D. 60°
239. 如图，𝐴𝐴 是 ⊙𝐴 的直径，𝐴 、 𝐴 是圆上的两点．若 𝐴𝐴=8，cos𝐴=，则 𝐴𝐴 的长为 (??)
A.
8√13 3
B. 3
16C.
24√5 5D. 12
3
10. 在数学实践活动课中，小辉利用自己制作的一把“直角角尺”测量、计算一些圆的直径．如
图，直角角尺中，∠𝐴𝐴𝐴=90°，将点 𝐴 放在圆周上，分别确定 𝐴𝐴，𝐴𝐴 与圆的交点
𝐴，𝐴，读得数据 𝐴𝐴=8，𝐴𝐴=9，则此圆的直径约为 (??)
A. 17
B. 14
C. 12
D. 10
11. 如图，△𝐴𝐴𝐴 内接于 ⊙𝐴，若 ∠𝐴𝐴𝐴=100°，则 ∠𝐴𝐴𝐴 的度数是 (??)
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 80°
12. 如图 1， 𝐴𝐴 、 𝐴𝐴 是 ⊙𝐴 的两条互相垂直的直径，点 𝐴 从点 𝐴 出发沿图中某一个
扇形顺时针匀速运动，设 ∠𝐴𝐴𝐴=𝐴 （单位：度 ），如果 𝐴 与点 𝐴 运动的时间 𝐴 （单位：秒）的函数关系的图象大致如图 2所示，那么点 𝐴 的运动路线可能为 (??)
A. 𝐴→𝐴→𝐴→𝐴 C. 𝐴→𝐴→𝐴→𝐴
B. 𝐴→𝐴→𝐴→𝐴 D. 𝐴→𝐴→𝐴→𝐴
13. 如图，线段 𝐴𝐴 是 ⊙𝐴 的直径，弦 𝐴𝐴丄𝐴𝐴，∠𝐴𝐴𝐴=20°，那么 ∠𝐴𝐴𝐴 等于
(??)
A. 160°
B. 150°
C. 140°
D. 120°
14. 如图，𝐴，𝐴，𝐴 三点在已知的圆上，在 △𝐴𝐴𝐴 中，∠𝐴𝐴𝐴=70°，∠𝐴𝐴𝐴=
⏜ 的中点，连接 𝐴𝐴，𝐴𝐴，则 ∠𝐴𝐴𝐴 的度数为 (??) 30°，𝐴 是 𝐴𝐴𝐴
A. 30°
B. 45°
C. 50°
D. 70°
15. 如图，四边形 𝐴𝐴𝐴𝐴 内接于 ⊙𝐴，∠𝐴=110°，则 ∠𝐴𝐴𝐴 的度数是 (??)
A. 70°
B. 110°
C. 120°
D. 140°
16. 如图，△𝐴𝐴𝐴 为等边三角形，点 𝐴 在过点 𝐴 且平行于 𝐴𝐴 的直线上运动，以 △
⏜ 所对的圆周角的𝐴𝐴𝐴 的高为半径的 ⊙𝐴 分别交线段 𝐴𝐴，𝐴𝐴 于点 𝐴，𝐴，则 𝐴𝐴度数 (??)
4
A. 从 0° 到 30° 变化 C. 总等于 30°
B. 从 30° 到 60° 变化 D. 总等于 60°
⏜ 上一点，且 𝐴𝐴⏜=𝐴𝐴⏜，连接 𝐴𝐴 并17. 如图，四边形 𝐴𝐴𝐴𝐴 内接于 ⊙𝐴，𝐴 是 𝐴𝐴延长交 𝐴𝐴 的延长线于点 𝐴，连接 𝐴𝐴．若 ∠𝐴𝐴𝐴=105°，∠𝐴𝐴𝐴=25°，则 ∠𝐴 的度数为 (??)
A. 45°
B. 50°
C. 55° D. 60°
18. 如图，若 𝐴𝐴 是 ⊙𝐴 的直径，𝐴𝐴 是 ⊙𝐴 的弦，∠𝐴𝐴𝐴=58°，则 ∠𝐴𝐴𝐴 的度
数为 (??)
A. 32°
B. 58°
C. 64°
D. 116°
19. 如图所示，△𝐴𝐴𝐴 为 ⊙𝐴 的内接三角形，𝐴𝐴=1，∠𝐴=30°，则 ⊙𝐴 的内接正方
形的面积为 (??)
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
5
20. 如图，𝐴𝐴 是 ⊙𝐴 的直径，𝐴，𝐴 两点在 ⊙𝐴 上，如果 ∠𝐴＝40°，那么 ∠𝐴𝐴𝐴
的度数为 (??)
A. 40°
B. 90°
C. 80°
D. 50°
二、填空题（共10小题；共50分）
21. 已知 ⊙𝐴，如图所示．
（1）求作 ⊙𝐴 的内接正方形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）若 ⊙𝐴 的半径为 4，则它的内接正方形的边长为 ?．
22. 如图，在 ⊙𝐴 中，∠𝐴𝐴𝐴=100o，则 ∠𝐴 的度数是 ?．
则 ∠𝐴𝐴𝐴 的度数是 ?．
23. 如右图，四边形 𝐴𝐴𝐴𝐴 内接于 ⊙𝐴，𝐴 是 𝐴𝐴 延长线上一点，若 𝐴𝐴𝐴=105°，
24. 阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
小芸的作法如下：
6
① 取 𝐴𝐴=𝐴，作 𝐴𝐴 的垂直平分线交 𝐴𝐴 于点 𝐴； ② 以点 𝐴 为圆心，𝐴𝐴 长为半径画圆；
③ 以点 𝐴 为圆心，𝐴 长为半径画弧，与 ⊙𝐴 交于点 𝐴； ④ 连接 𝐴𝐴，𝐴𝐴． 则 Rt△𝐴𝐴𝐴 即为所求．
老师说：\"小芸的作法正确．\"
请回答：小芸的作法中判断 ∠𝐴𝐴𝐴 是直角的依据是 ?．
25. 数学课上，老师让学生用尺规作图画 Rt△𝐴𝐴𝐴，使其斜边 𝐴𝐴=𝐴，一条直角边 𝐴𝐴=
𝐴．小明的做法如图所示，你认为小明这种做法中判断 ∠𝐴𝐴𝐴 是直角的依据
是 ?．
26. 阅读下面材料：
在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：
小敏的作法如下：
7
老师认为小敏的作法正确．
请回答：连接 𝐴𝐴，𝐴𝐴 后，可证 ∠𝐴𝐴𝐴=∠𝐴𝐴𝐴=90°，其依据
是 ?；由此可证明直线 𝐴𝐴，𝐴𝐴 都是 ⊙𝐴 的切线，其依据
是 ?．
27. 如图，⊙𝐴 是 △𝐴𝐴𝐴 的外接圆，点 𝐴 在优弧 𝐴𝐴 上，∠𝐴𝐴𝐴=100°，则 ∠𝐴 的
度数为 ?．
28. 如图，弦 𝐴𝐴 的长等于 ⊙𝐴 的半径，那么弦 𝐴𝐴 所对的圆周角的度数
是 ?．
29. 如图，已知四边形 𝐴𝐴𝐴𝐴 内接于 ⊙𝐴，点 𝐴 在 ∠𝐴 的内部，∠𝐴𝐴𝐴+∠𝐴𝐴𝐴=
50°，则 ∠𝐴= ?．
8
30. 如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位，mm ），直线 𝐴 是它的对称轴，能完全覆盖
这个平面图形的圆面的最小半径是 (??)mm．
三、解答题（共5小题；共65分）
⏜ 上一点，𝐴𝐴，𝐴𝐴 的延长线交于点 31. 如图，𝐴𝐴 是直径，弦 𝐴𝐴⊥𝐴𝐴，𝐴 是 𝐴𝐴𝐴．
求证：∠𝐴𝐴𝐴=∠𝐴𝐴𝐴．
32. 已知：如图，𝐴 、 𝐴 、 𝐴 为 ⊙𝐴 上的三个点，⊙𝐴 的直径为 4cm，∠𝐴𝐴𝐴=
45°，求 𝐴𝐴 的长．
上，连接 𝐴𝐴，𝐴𝐴，连接 𝐴𝐴 并延长交 𝐴𝐴 于点 𝐴，∠𝐴𝐴𝐴=∠𝐴𝐴𝐴．
⏜ 33. 如图，在 △𝐴𝐴𝐴 中，𝐴𝐴 是 ⊙𝐴 的直径，𝐴𝐴 与 ⊙𝐴 交于点 𝐴．点 𝐴 在 𝐴𝐴
Ⅰ 求证：𝐴𝐴⊥𝐴𝐴；
9
Ⅱ 若 𝐴𝐴=4，𝐴𝐴=4√5，cos∠𝐴𝐴𝐴=5，求 𝐴𝐴 的长．
34. 已知 △𝐴𝐴𝐴，以 𝐴𝐴 为直径的 ⊙𝐴 分别交 𝐴𝐴 于 𝐴，𝐴𝐴 于 𝐴，连接 𝐴𝐴，若
4
𝐴𝐴=𝐴𝐴．
Ⅰ 求证：𝐴𝐴=𝐴𝐴；
Ⅱ 若 𝐴𝐴=4，𝐴𝐴=2√3，求 𝐴𝐴 的长．
35. 已知：⊙𝐴 是 △𝐴𝐴𝐴 的外接圆，点 𝐴 为 ⊙𝐴 上一点．
Ⅰ 如图，若 △𝐴𝐴𝐴 为等边三角形，𝐴𝐴=1，𝐴𝐴=2，求 𝐴𝐴 的长；小明在解决这个
问题时采用的方法是：延长 𝐴𝐴 到 𝐴，使 𝐴𝐴=𝐴𝐴，从而可证 △𝐴𝐴𝐴 为等边三角形，并且 △𝐴𝐴𝐴≌△𝐴𝐴𝐴，进而就可求出线段 𝐴𝐴 的长．请你借鉴小明的方法写出 𝐴𝐴 的长，并写出推理过程．
10
Ⅱ 若 △𝐴𝐴𝐴 为等腰直角三角形，∠𝐴𝐴𝐴=90°，𝐴𝐴=𝐴，𝐴𝐴=𝐴（其中 𝐴>
𝐴），直接写出 𝐴𝐴 的长（用含有 𝐴，𝐴 的代数式表示）．
第一部分
1. A 2. B 3. B 4. B 5. B 6. A 7. C 8. B 9. D 10. C 11. B 12. C 16. C 17. B
第二部分
21. （1）如图：
圆周角定理及其推论随堂练习试卷答案
13. C 14. C 15. D 18. A
19. A
20. D
11
（2）4√2 22. 50° 23. 105°
24. 直径所对的圆周角是直角． 25. 直径所对的圆周角是直角
26. 直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 27. 50°
28. 30° 或 150° 29. 130° 30. 50 第三部分
31. 连接 𝐴𝐴．
⏜=𝐴𝐴⏜， 因为 𝐴𝐴所以 ∠𝐴𝐴𝐴=∠𝐴𝐴𝐴，
因为 ∠𝐴𝐴𝐴+∠𝐴𝐴𝐴=∠𝐴𝐴𝐴+∠𝐴𝐴𝐴=180°， 所以 ∠𝐴𝐴𝐴=∠𝐴𝐴𝐴． 所以 ∠𝐴𝐴𝐴=∠𝐴𝐴𝐴． 32. 连接 𝐴𝐴 、 𝐴𝐴．
12
∵∠𝐴𝐴𝐴=45°，
∴∠𝐴𝐴𝐴=2∠𝐴𝐴𝐴=90° . 又 𝐴𝐴=𝐴𝐴 .
∴△𝐴𝐴𝐴 是等腰直角三角形.
∴𝐴𝐴2=𝐴𝐴2+𝐴𝐴2=22+22=8 . ∴𝐴𝐴=2√2 .
答：𝐴𝐴 的长为 2√2cm． 33. （1） 连接 𝐴𝐴，如图 1.
∵𝐴𝐴 是 ⊙𝐴 的直径， ∴∠𝐴𝐴𝐴=90°． ∴∠𝐴𝐴𝐴+∠1=90°． ∵∠1=∠2，∠2=∠3， ∴∠1=∠3．
∴∠𝐴𝐴𝐴+∠3=90°．
∴∠𝐴𝐴𝐴=180°−(∠𝐴𝐴𝐴+∠3)=90°．∴𝐴𝐴⊥𝐴𝐴．
（2） 连接 𝐴𝐴，如图 2．
13
∵∠𝐴𝐴𝐴=90°，
∴∠𝐴𝐴𝐴=180°−∠𝐴𝐴𝐴=90°． ∵ 在 Rt△𝐴𝐴𝐴 中，𝐴𝐴=4，𝐴𝐴=4√5， ∴𝐴𝐴=√𝐴𝐴−𝐴𝐴=8． ∵∠1=∠3，
∴cos∠1=cos∠3=． ∵ 在 Rt△𝐴𝐴𝐴 中，cos∠1=∴𝐴𝐴=10．
∴𝐴𝐴=𝐴𝐴=5，𝐴𝐴=√𝐴𝐴−𝐴𝐴=6． ∵𝐴𝐴=4，
∴𝐴𝐴=𝐴𝐴+𝐴𝐴=10．
∴ 在 Rt△𝐴𝐴𝐴 中，𝐴𝐴=𝐴𝐴?cos∠3=8． ∴𝐴𝐴=√𝐴𝐴−𝐴𝐴=6． ∴𝐴𝐴=𝐴𝐴−𝐴𝐴=1．
∴ 在 Rt△𝐴𝐴𝐴 中，𝐴𝐴=√𝐴𝐴−𝐴𝐴=2√6． 34. （1） 因为 𝐴𝐴=𝐴𝐴， 所以 ∠𝐴𝐴𝐴=∠𝐴， 因为 ∠𝐴𝐴𝐴=∠𝐴， 所以 ∠𝐴=∠𝐴， 所以 𝐴𝐴=𝐴𝐴． （2） 连接 𝐴𝐴，
222222𝐴𝐴𝐴𝐴4522=，
45
14
因为 𝐴𝐴 为直径， 所以 𝐴𝐴⊥𝐴𝐴， 由（1）知 𝐴𝐴=𝐴𝐴， 所以 𝐴𝐴=𝐴𝐴=𝐴𝐴=√3，
因为 𝐴𝐴?𝐴𝐴=𝐴𝐴?𝐴𝐴，𝐴𝐴=𝐴𝐴=4， 所以 √3?2√3=4𝐴𝐴， 所以 𝐴𝐴=2． 35. （1） 𝐴𝐴=3．
延长 𝐴𝐴 到 𝐴，使 𝐴𝐴=𝐴𝐴．
312
∵△𝐴𝐴𝐴 为等边三角形， ∴∠𝐴𝐴𝐴=60°． ∴∠𝐴𝐴𝐴=60°． ∴△𝐴𝐴𝐴 为等边三角形．
∴𝐴𝐴=𝐴𝐴，∠𝐴𝐴𝐴=∠𝐴𝐴𝐴． 又 𝐴𝐴=𝐴𝐴， ∴△𝐴𝐴𝐴≌△𝐴𝐴𝐴． ∴𝐴𝐴=𝐴𝐴=3． （2） 𝐴𝐴=
√2√22(𝐴+𝐴) 或 (𝐴−𝐴)．
215
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