提前执行无收益资产美式期权的合理性以及差价组合期权

• 提前执行无收益资产美式期权的合理性 • 看涨期权

分析：不提前执行时：持有准备用于执行期权的现金会产 生收益，再加上美式期权的时间价值总是正的； 提前执行时：看涨期权得到的标的资产无收益。 结论：提前执行无收益资产的美式看涨期权是不明智的。

• 如果期权持有者坚持认为标的资产价格已经涨到了高位，那么，期权持有者可以有两

种选择：一是卖出期权；二是投资者保留期权、卖空股票。 • 考虑两个资产组合

组合A：一份美式看涨期权，施权价X，加上现金Xe-r(T-t) 组合B：一份股票

• 假设在时点τ，该期权被执行

– 组合A的价值为Sτ)τ－X＋Xe-r^(T- – 组合B的价值为Sτ

– 若提前执行， T> τ,r>0因此Xe-r^(T-τ)• 如果是在时点T，期权才被执行

– 组合A的价值为Max(ST, X) – 组合B的价值为ST

– 若不提前执行，A的价值一定大于B

• 因此美式看涨期权的最佳执行时间为到期时点。 美式看涨期权的价值

• 在股票不支付红利的情况下

– 美式看涨期权的最佳执行时间是到期日

– 一份美式看涨期权的价值与一份欧式看涨期权价值相等 – 无收益资产美式看涨期权价格的下限： C>max[S-Xe-r(T-t),0]

• 解释

– 看涨期权提供了价值保障，而一旦提早施行期权，这份保障的价值就变为0。 – 越晚施行期权，施权所需的现金越晚付出，从而节省了资金成本。

美式看跌期权的下限

• 考虑两个资产组合

组合A：一份美式看跌期权，施权价为X，加上一份股票 组合B：现金Xe-r(T-t) 。

• 若不提前执行

– 组合A的价值为max(ST, ， X)，组合B的价值为X – 假设在时点τ，该期权被执行 – 组合A的价值为X

– 组合B的价值为Xe-r^(T-τ)

– 此时执行期权可能是合理的。

• 比较这两种结果得出结论

– 是否提前执行无收益资产的美式看跌期权，主要取决于期权的实值额X-S、无

风险利率水平等因素。

– 一般来说，只有当S相对于X来说较低，或者r较高时，提前执行无收益资

产美式看跌期权才可能有利。 – 对于一个美式看跌期权来说，

P≥X－S≥ Xe-r(T- τ) －S

• 由于美式期权可提前执行，因此其下限更为严格

– （与p>max[Xe-r(T-t)

-S,0]比较）：

PX-S

提前执行有收益资产美式期权的合理性

• 看涨期权

– 提前执行有收益资产的美式期权的好处：

• 可较早获得标的资产，从而获得现金收益，而现金收益可以派生利

息

– 在一定条件下，提前执行有收益资产的美式期权的合理性：

• 假设：在期权到期前，标的资产有n个除权日t1,t2,……tn，为除权时的

瞬时时刻，在这些时刻之后的收益分别为D1，D2，……Dn在这些时刻的标的资产价格分别为S1，S2，……Sn.

• 由于在无收益的情况下，不应提前执行美式看涨期权，我们可以据此得到一个推论：

在有收益情况下，只有在除权前的瞬时时刻提前执行美式看涨期权方有可能是最优的。因此我们只需推导在每个除权日前提前执行的可能性。

• 我们先来考察在最后一个除权日（tn）提前执行的条件。如果在tn时刻提前执行期权，

则期权多方获得Sn-X的收益。若不提前执行，则标的资产价格将由于除权降到Sn-Dn。 • 在最后一个除权日（tn）提前执行的条件：

• 如果在tn时刻提前执行期权，则期权多方获得Sn-X的收益。 • 如果不提前执行，则资产价格将由于除权降到Sn- Dn。 • 根据关系：c≥max[S-D-Xe-r(T-t),0]。 • 在tn时刻期权的价值。

• Cn≥cn≥max{Sn- Dn -Xe-r(T-tn),0}。

• 因此，如果：Sn- Dn -Xe-r(T-tn)

≥Sn-X。

• 即：Dn≤X[1-e-r(T-tn)

]。

则在tn提前执行是不明智的。

• 相反，如果Dn>X[1-e-r(T-tn)],则在tn提前执行有可能是合理的。 • 实际上,可以证明,只有当tn时刻标的资产价格足够大时，提前执行

美式看涨期权才是合理的。

– 对于任意i• D-r(ti+1-tn)i≤X[1-e]

•

由于存在提前执行更有利的可能性，有收益资产的美式看涨期权价值大于等于欧式看涨期权，其下限为：

– C≥c≥max{S- Dτ-Xe-rτ(T-t)

,0} •

看跌期权

– 红利使得美式看跌期权更不可能执行

– 可以证明，在除权日前瞬间执行期权是不划算的。 – 美式看跌期权不提前执行条件：

• 通过同样的分析，可以得出美式看跌期权不能提前执行的条件是： • Di≥X[1-e-r(ti+1-ti)]

• D-r(T-tn)

i≤X[1-e]

– 美式看涨期权的下限：

• 由于美式看涨期权有提前执行的可能性，因此其下限为： • P≥max(Dτ+Xe-rτ(τ-t)-S,0)

•

•

差价(Spreads)组合

– 持相同期限.不同价格的两个或多个同种期权头寸组合(同是看涨期权,或者

同是看跌期权) 牛市差价组合.熊市差价组合.蝶式差价组合等

•

Bull Spread（看涨期权多空组合）

– 低施权价X1的看涨期权多头

– 高施权价X2(协议价格)的看涨期权空头

– 由于协议价格越高.期权价格越低.因此构建这个组合需要初始投资.（买低卖

高）

•

到期价格与组合收益

•

•

•

某投资者以5美元的价格买入一份施权价为30美元的股票看涨期权，同时以2美元的价格卖出一份施权价为35美元的看涨期权。两份期权均为欧式期权，且到期日与交割

品均一致。问该投资者在不同的到期价格区间的收益如何？

Bull Spread（看跌期权多空组合）

– 一份看跌期权多头与一份同一期限有较高协议价格的看跌期权空头也是牛市

差价组合.（买低卖高） – 低施权价X1的看跌期权多头

高施权价X2的看跌期权空头

• 到期价格与组合收益

•

•

•

某投资者以2美元的价格买入一份施权价为30美元的股票看跌期权，同时以4美元的价格卖出一份施权价为35美元的看跌期权。两份期权均为欧式期权，且到期日与交割品均一致。问该投资者在不同的到期价格区间的收益如何？

两种牛市差价组合的比较

• 相同点：牛市差价期权策略限制了投资者当股价上升时的潜在收益，同时该策略也限

制了投资者当股价下降时的损失。

• 不同点：看涨期权的牛市差价期初现金流为负,看跌期权差组合为正,但前者的最终收

益可能大于后者.

题外话:为何要采用这种方式?

• 如果投资者预期标的股票的价格将上涨，但是对上涨的幅度不太乐观，那么可以实施

这种策略。相对于买进买权而言，该策略的成本比较低，但是获利空间也比较小。一般来说，就相同投资额而言，牛市差价组合的风险小于购入买权的风险

牛市差价组合的风险和激进/保守程度主要受两个买权的执行价格的影响。通过比较损益状况图，我们不难发现下述结论：

• 在多头买权的执行价不变的条件下，空头买权的执行价越高，牛市差价组合

策略越激进，风险越大

• 在空头买权的执行价不变的条件下，多头买权的执行价越低，牛市差价组合

策略越激进，风险越大

• 在买权的执行价之差不变的条件下，执行价越高，牛市差价组合策略越激进，

风险越大

熊市差价（Bear Spreads）组合

• 投资者预期股票价格下降。

• 其组合刚好跟牛市差价组合相反.

• 区别在于期权执行价格的高低配合上。 Bear Spread（看涨期权多空组合）

• 低施权价X1的看涨期权空头 • 高施权价X2的看涨期权多头

• 由于执行价格较低的看涨期权的价格较高。所以这里出售的看涨期权的价格

高于购买的看涨期权期权的价格。因此利用看涨期权构造的熊市差价期权可以获得一个初始的现金流入。（忽略保证金的要求）

到期价格与组合收益

•

Bear Spread（看跌期权多空组合）

– 低施权价X1的看跌期权空头 – 高施权价X2的看跌期权多头

到期价格与组合收益\\

•

某投资者以5美元的价格卖出一份施权价为30美元的股票看涨期权，同时以2美元的价格买入一份施权价为35美元的看涨期权。两份期权均为欧式期权，且到期日与交割

品均一致。问该投资者在不同的到期价格区间的收益如何？

看涨期权的熊市差价组合和看跌涨期权的熊市差价组合的比较：

• 相同点：熊市差价期权策略限制了投资者当股价上升时的潜在收益，同时该策略期初

有正现金流限制了投资者当股价下降时的损失。

• 不同点：看涨期权的熊市差价组合期初有正现金流，看跌涨期权的熊市差价组合期初

则有负的现金流，但后者的最终收益可能大于前者。

Butterfly Spread（看涨期权多空组合）

蝶式差价组合（Butterfly Spreads）组合是由三种四份具有相同期限、不同协议的同种期权头寸组成。

• 较低施权价X1的看涨期权多头 • 2份中等施权价的看涨期权空头 • 较高施权价X3的看涨期权多头 • 通常X2会比较接近股票现价

• 到期价格与组合收益

•

•

•

Calendar Spread

• 不同到期日期权的组合

• 看涨期权组成的Calendar Spread

• 买入一份长期限的看涨期权，卖出一份短期限且施权价相同的看涨期权。 • 在短期限期权到期时出售长期限期权。 • 看跌期权组成的Calendar Spread

• 买入一份长期限的看跌期权，卖出一份短期限且施权价相同的看跌期权。 • 在短期限期权到期时出售长期限期权。

1.

2.

3.

一份看涨期权多头和一份执行价格和到期期限都相同的看跌期权空头组合的收益等于一份标的资产的多头。用期权组合盈亏图的算法也可以得出，看涨期权多头（0，+1）加上看跌期权空头（+1，0）等于（+1，+1）即标的资产多头。 看涨期权的反向差期组合

一份看涨期权多头与一份期限较长的看涨期权空头的组合，称看涨期权的反向差期组合。 看跌期权的反向差期组合

一份看跌期权多头与一份期限较长的看跌期权空头的组合，称看跌期权的反向差期组合。 牛市差价组合可以由一份看涨期权多头与一份同一期限较高协议价格的看涨期权空头组成，也可以由一份看跌期权多头与一份同一期限、较高协议价格的看跌期权空头组成。由于协议价格越高，看涨期权价格越低，看跌期权价格越高，因此用看涨期权构造的牛市差价组合期初现金流为正，而用看跌期权构造的牛市差价组合期初现金流为负。 设执行价格为X1和X2，X2X1。则两者的最终收益差距如下表： ST的范围 STX2 合、看跌期权的熊市正向对角组合等。

看涨期权牛市价差组合 X2X1c2c1 看跌期权牛市价差组合 p2p1 收益差异 X2X1c2c1p2p1X2X1c2p2c1p1X2X1S0X2eX2X11ertrt rtS0X1e0X1STX2 STX1 STX1c2c1 c2c1 STX2p2p1 X1X2p2p1 同上 同上 可见，前者的最终收益大于后者。 4. 由看涨期权构造的蝶式差价组合初始投资为2c2c1c3，由看跌期权构造的蝶式差价组合的初始投资为2p2p1p3。两者初始投资之差等于2(c2p2)(c1p1)(c3p3)由看跌看涨期权平价公式可知，cipiSXier(Tt),i1,2,3，而2X2X1X3,因此两者初始投资是相等的。两者的最终收益差距如下表： ST的范围 看涨期权构造的蝶式看跌期权构造的蝶式收益差异 差价组合 差价组合 STX1 2c2c1c3 2p2p1p3 2c2c1c3(2p2p1p3)2(c2p2)(c1p1c3p3)2(X2ee0rtrtrtrt S)S)(X1eSX3e(2X2X1X3)X1STX2STX1+2c2c1c3STX1+2p2p1p3同上 同上 同上 X2STX3 X3ST+2c2c1c3 X3ST+2c2c1c3 2p2p1p3 STX33 2c2c1c3 可见，两者最终收益都相同。 5. 在预期股票价格下跌时，投资者为了获利可以投资看跌期权、看涨期权空头、熊市差价组合、看涨期权的熊市反向对角组合、看涨期权的熊市正向对角组合、看跌期权的熊市反向对角组