初中数学试卷
桑水出品
小专题(八) 教材P90习题第14题的变式与应用
【例】 (人教版九年级上册教材第90页第14题)如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，判断△ABC的形状，并证明你的结论．
1．如图，延长BP至E，若∠EPA＝∠CPA，判断△ABC的形状并证明你的结论．
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2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，DB＝DC.求证：AD是△ABC外角∠EAC的平分线．
3．如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°.
(1)求证：△ABC是等边三角形； (2)求圆心O到BC的距离OD.
4．如图，△ABC内接于⊙O，P为弧AB上异于A，B两点的一动点时，当△ABC满足什么条件时，PA
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能否平分∠BPC的外角∠CPE.若能，请证明，若不能，请说明理由．
5．(1)如图1，△ABC内接于⊙O，AD为∠BAC的平分线，过D作DE垂直于AB于E，AE与△ABC的两边AB，AC有怎样的关系呢？
(2)如图2，若AD为△ABC的外角∠CAG的平分线时，AE与△ABC的两边AB，AC又有怎样的关
系呢？
6．如图，平面直角坐标系中，O′为y轴上一点，⊙O′交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点．直线AE交⊙O′于F点，连接FC.过C作CH垂直AF交其延长线于H.试问：当点F在弧AC上运动时，FB－FA与FH的比值是否为定值？并说明理由．
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7．如图，△ABC的三个顶点均在⊙O上，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交⊙O于点D，连接BD，DC.
(1)求证：BD＝DC＝DI；
(2)若⊙O的半径为10 cm，∠BAC＝120°，求△BDC的面积．
参考答案
例 证明：因为∠APC＝∠ABC，∠CPB＝∠BAC，
又因为∠APC＝∠CPB＝60°.所以∠ABC＝∠BAC＝60°. 于是∠ACB＝60°.所以△ABC为等边三角形． 1.△ABC是等腰三角形，理由：因为∠CPA＝∠ABC，四边形APBC是圆内接四边形，所以∠EPA＝∠ACB.因为∠EPA＝∠CPA，所以∠ACB＝∠ABC.所以AB＝AC.故△ABC是等腰三角形． 2.证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠DCB＋∠DAB＝180°.又 ∠DAE＋∠DAB＝180°， ∴∠DCB＝∠EAD. ∵DB＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB. ∵∠DBC＝∠DAC， ∴∠DAC＝∠EAD. ∴AD平分∠EAC.
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3.(1)证明：∵∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠APC＝60°， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°. ∴△ABC是等边三角形．
(2)连接OB、OC.可得∠BOC＝2∠BAC＝2×60°＝120°. ∵OB＝OC，
1
∴∠OBD＝∠OCD＝×(180°－120°)＝30°.
2∵∠ODB＝90°， 1
∴OD＝OB＝4.
2
4.当AB＝AC时，PA平分∠BPC的外角∠CPE.理由： ∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，又∵∠APE＋∠APB＝180°，∠ACB＋∠APB＝180°， ∴∠APE＝∠ACB.又∵∠APC＝∠ABC，
∴∠APE＝∠APC.即AB＝AC时，PA平分∠BPC的外角∠CPE. 1
5.(1)AE＝(AB＋AC)．
2
理由：在AB上截取AF＝AC，连接BD、CD、FD. ∵∠FAD＝∠CAD，AD＝AD，
∴△FAD≌△CAD.于是FD＝CD.又∵BD＝CD， ∴FD＝BD.在Rt△BDE与Rt△FDE中，DE＝DE， ∴Rt△BDE≌Rt△FDE.于是BE＝FE.
∵AE＝AB－BE，① AE＝AF＋FE.② ①＋②得2AE＝AB＋AC， 1
∴AE＝(AB＋AC)．
2
1
(2)当AD为外角∠CAG的平分线时，AE＝(AC－AB)．
2
理由：作DF⊥AC于点F.
∵AD为∠CAG的平分线，DE⊥AB，所以DE＝DF，又∵∠DCB＝∠GAD＝∠DAC＝∠DBC. ∴DB＝DC.
∴△EBD≌△FCD.
∴BE＝CF.易证△EAD≌△FAD， ∴AE＝AF.
1
∴AC－AB＝AF＋CF－(BE－AE)＝AF＋CF－BE＋AE＝2AE.即AE＝(AC－AB)．
26.过C作CM垂直FB于M， ∵直径CD⊥AB， ︵︵
∴AC＝BC.于是AC＝BC，
∴∠EFC＝∠CBA＝∠CAB＝∠CFB.从而FC为∠EFB的平分线． ∵CH⊥FE，CM⊥FB， ∴CH＝CM. 又∵FC＝FC，
∴Rt△CHF≌Rt△CMF.
∴FH＝FM，CH＝CM，于是△ACH≌△BCM.
∴AH＝BM.从而FB－FA＝(FM＋MB)－(AH－HF)＝(MB－AH)＋(FM＋FH)＝2FH. ∴FB－FA与FH的比值是2.
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7.(1)证明：∵AI平分∠BAC， ∵∠BAD＝∠DAC， ∴BD＝DC.
∵BI平分∠ABC， ∴∠ABI＝∠CBI.
∵∠BAD＝∠DAC，∠DBC＝∠DAC， ∴∠BAD＝∠DBC.又
∠DBI＝∠DBC＋∠CBI，∠DIB＝∠ABI＋∠BAD， ∴∠DBI＝∠DIB.
∴△BDI为等腰三角形． ∴BD＝ID，
∴BD＝DC＝DI.(2)
∵∠BAC＝120°，AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC＝60°. ∴∠DBC＝∠DAC＝60°. ∵BD＝DC，
∴△BDC为等边三角形．过点D作DH⊥BC，交BC于H，所以DH过圆心，∠HDC＝30°，∠HCO＝11
30°.连接OC.则OH＝OC＝×10＝5(cm)．在Rt△OHC中，利用勾股定理可得CH＝CO2－HO2＝
22102－52＝53(cm)．由垂径定理可得BC＝2CH＝103 cm. 103∴S△BDC＝×15＝753(cm2)．答：△BDC的面积为753 cm2.
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