一、选择题
1.(2020安徽阜阳高二上期末,若a3=-10,则a13=( ) A.16 B.55 C.-16 D.35 2.(2020山东济宁高二上期末,
)朱世杰是历史上最伟大的数学家之)已知等差数列{an}的前15项和为45,
一,他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多七人,每人日支米三升.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人,修筑堤坝的每人每天分发大米3升.”在该问题中前5天共分发多少升大米?( )
A.1170 B.1440 C.1512 D.1772 3.(2020山东临沂高二上期末,且7+4a4=30,则3a5-a7=( )
7𝑆
)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,
A.6 B.12 C.24 D.48
4.(2019辽宁沈阳东北育才学校高二期中,
)在等差数列{an}中,已知
a5+a6=4,则log2(2𝑎1·2𝑎2·…·2𝑎10)=( ) A.10 B.20 C.40 D.2+log25
5.(2020北京石景山高三上期末,)在等差数列{an}中,设k,l,p,r∈N*,
则“k+l>p+r”是“ak+al>ap+ar”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 6.(多选)(2020山东潍坊高二上期末,
)设数列{an}是等差数列,公差为
d,Sn是其前n项和,a1>0且S6=S9,则( ) A.d>0 B.a8=0
C.S7或S8为Sn的最大值 D.S5>S6 二、填空题
7.(2019陕西西安一中高二上月考,
)在等差数列{an}中,若
a3+a5+a7+a9+a11=100,则3a9-a13的值为 . 8.(2020辽宁沈阳高三上教学质量检测,
)已知等差数列{an}的前n项
和为Sn,且a1+a3=10,S4=72.数列{bn}中,b1=2,bnbn+1=-2,则a1b2000= .
9.(2020河南濮阳高二上期末,
)若数列{an}满足a1=0,a2=1,a3=3,且
{an+1-an}为等差数列,则an= . 10.(2020辽宁辽阳高三上期末,(1){an}的通项公式为 ;
(2)在a1、a2、a3、…、a2019这2019项中,被10除余2的项数为 .
)在数列{an}中,a1=3,且
𝑎𝑛+1-2𝑎𝑛-2𝑛+1
-
𝑛
=2.
三、解答题
11.(2020广东中山一中高二上第二次统测,
)某化工企业在2019年
底投入100万元购入一套污水处理设备.该设备每年的运转费用是0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元. (1)求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y(万元); (2)问:为使该企业的年平均污水处理费用最低,该企业几年后需要更换新的污水处理设备?
12.(2020山东高考第一次模拟,
2
和,an>0,𝑎𝑛+2an=4Sn+3,且anbn=1.
)已知Sn为数列{an}的前n项
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)求满足b1b2+b2b3+…+bnbn+1<的n的最大值.
71
答案全解全析
一、选择题 1.A 依题意得,
15(𝑎1+𝑎15)
2
=45,
∴a1+a15=6,∴a3+a13=a1+a15=6, 又a3=-10,∴a13=16.故选A.
2.A 由题意得,每天分发的大米升数构成等差数列{an},设公差为d,则d=7×3=21,记第一天共分发大米为a1=64×3=192(升), 则前5天共分发大米5a1+故选A.
3.B 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 由7+4a4=30,得×7𝑆
17×(𝑎1+𝑎7)
+4a4=30,又a1+a7=2a4,
72
5×(5-1)
2
×d=5a1+10d=5×192+10×21=1170(升).
所以5a4=30,即a4=6.
所以3a5-a7=3(a1+4d)-(a1+6d)=2a1+6d=2(a1+3d)=2a4=12,故选B. 4.B 因为2𝑎1·2𝑎2·…·2𝑎10 =2𝑎1+𝑎2+…+𝑎10=25(𝑎5+𝑎6)=25×4,
所以log2(2𝑎1·2𝑎2·…·2𝑎10)=log225×4=20.故选B. 5.D 若等差数列{an}为a1=5,a2=4,a3=3,a4=2,a5=1,……
则当k=1,l=5,p=2,r=3时,k+l>p+r成立,但ak+al>ap+ar不成立,所以充分性不成立;
当k=1,l=2,p=3,r=4时,ak+al>ap+ar成立,但k+l>p+r不成立,所以必要性不成立.
综上可知,“k+l>p+r”是“ak+al>ap+ar”的既不充分也不必要条件,故选D.
6.BC 由S6=S9得,S9-S6=0,即a7+a8+a9=0,又a7+a9=2a8,∴3a8=0,∴a8=0,∴B正确;
由a8=a1+7d=0,得d=-1,又a1>0,∴d<0,∴数列{an}是单调递减的等差数
7𝑎
列,
an>0(n∈N*,𝑛≤7),∴{∴S7或S8为Sn的最大值,∴A错误,C正确; *
an<0(n∈N,𝑛≥9),∵S6-S5=a6>0,∴S6>S5,∴D错误. 故选BC. 二、填空题 7.答案 40
解析 根据等差数列的性质,知
a3+a5+a7+a9+a11=(a3+a11)+(a5+a9)+a7=5a7=100,即a7=20,故3a9-a13=a5+a13+a9-a13=a5+a9=2a7=40. 8.答案 21
解析 设{an}的公差为d, ∵S4=
4(𝑎1+𝑎4)
2
=2(a1+a4)=72,
∴a1+a4=36, 又a1+a3=10, ∴a4-a3=d=26, 又a1+a3=2a1+2d=10, ∴a1=-21.
∵bnbn+1=-2, ∴bn≠0, ∴bn+1=-,
𝑏𝑛2
∴bn+2=-
2
𝑏𝑛+1
=-2-2𝑏𝑛
=bn,
∴{bn}是以2为周期的周期数列, ∴b2000=b2=-=-1,∴a1b2000=21.
𝑏12
9.答案
𝑛2-n2
解析 设等差数列{an+1-an}的公差为d,由题意得,a2-a1=1,a3-a2=2,∴公差d=2-1=1,
∴an-an-1=1+(n-2)×1=n-1(n≥2,n∈N*), ∴
an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=0+1+2+3+…+(n-1)=n∈N.经检验,此式对a1也适用,∴an=10.答案 (1)an=2n2-n+2 (2)403 解析 (1)∵∴数列{∴
𝑎𝑛-2𝑛
𝑎𝑛-2𝑛
𝑎𝑛+1-2𝑎𝑛-2𝑎-2
-=2,且1=1,
𝑛+1𝑛1
*
(𝑛-1)𝑛𝑛2-n2
=2
,n≥2,
𝑛2-n2
(n∈N*).
}是以1为首项,2为公差的等差数列,
=1+2(n-1)=2n-1,
∴an=2n2-n+2.
(2)被10除且余数为2的整数可表示为10k+2(k∈Z), 令an=2n2-n+2=10k+2,可得10k=n(2n-1), ∵n∈N*,且1≤n≤2019,2n-1为奇数,
∴n为10的倍数或2n-1为5的奇数倍且n为偶数.
当n为10的倍数时,n的取值有10、20、30、…、2010,共201个; 当2n-1为5的奇数倍且n为偶数时,n的取值有8、18、28、…、2018,共202个.
综上所述,在a1、a2、a3、…、a2019这2019项中,被10除余2的项数为201+202=403. 三、解答题
11.解析 (1)依题意得,该企业使用该设备x年的维护费为(2+4+6+…+2x)万元,
则总费用为[100+0.5x+(2+4+6+…+2x)]万元, 因此y==x+
100𝑥
100+0.5𝑥+(2+4+6+…+2𝑥)
𝑥
+1.5(x∈N*).
100𝑥
(2)由(1)及x∈N*可得,y=x+当且仅当x=
100𝑥
+1.5≥2√𝑥·
100𝑥
+1.5=21.5,
,即x=10时等号成立.即当x=10时,y取得最小值.
∴该企业10年后需要更换新的污水处理设备.
22
12.解析 (1)由𝑎𝑛+2an=4Sn+3①得,当n=1时,𝑎1+2a1=4S1+3,又S1=a1,∴2𝑎1-2a1-3=0,解得a1=3或a1=-1.∵an>0,∴a1=3. 2当n≥2时,𝑎𝑛-1+2an-1=4Sn-1+3②,
①-②整理得an-an-1=2(n≥2,n∈N*),∴数列{an}是首项为3,公差为2的等差数列,
∴an=3+(n-1)×2=2n+1,∴bn=(2)设cn=bnbn+1=
1
(2𝑛+1)(2𝑛+3)
12𝑛+1
.
=(-), 22𝑛+12𝑛+3
所以b1b2+b2b3+…+bnbn+1 =(-+-+…+-) 235572𝑛+12𝑛+3=(-), 232𝑛+3
令(--<0,解得n<9,n∈N*,所以n的最大值为8. )232𝑛+37
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