有限单元法学习心得
有限元分析学习心得
土木0903马烨军11
有限单元法是20世纪50年代以来随着电子计算机的广泛应用而 发展起来的有一种数值解法。有限元分析（
FEA， FiniteElement
An alysis ）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题有限元分析后 再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成， 对每一单元假定一个合适的（较简单的）近似解，然后推导求解这个 域总的满足条件（如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不 是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。 有限元求解问题的基本步骤通常为：
第一步：问题及求解域定义：根据实际问题近似确定求解域的物 理性质和几何区域。
第二步：求解域离散化：将求解域近似为具有不同有限大小和形 状且彼此相连的有限个单元组成的离散域， 习惯上称为有限元网络划 分。显然单元越小（网络越细）则离散域的近似程度越好，计算结果 也越精确，但计算量及误差都将增大，因此求解域的离散化是有限元 法的核心技术之一。
第三步：确定状态变量及控制方法：一个具体的物理问题通常可 以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示， 为适合有限 元求解，通常将微分方程化为等价的泛函形式。
第四步：单元推导：对单元构造一个适合的近似解，即推导有限 单
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元的列式，其中包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以 某种方法给出单元各状态变量的离散关系， 从而形成单元矩阵（结构 力学中称刚度阵或柔度阵）。为保证问题求解的收敛性，单元推导有 许多原则要遵循。对工程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解 题性能与约束。例如，单元形状应以规则为好，畸形时不仅精度低， 而且有缺秩的危险，将导致无法求解。
第五步：总装求解：将单元总装形成离散域的总矩阵方程 （联合 方程组），反映对近似求解域的离散域的要求，即单元函数的连续性 要满足一定的连续条件。总装是在相邻单元结点进行，状态变量及其 导数（可能的话）连续性建立在结点处。
第六步：联立方程组求解和结果解释：有限元法最终导致联立方 程组。联立方程组的求解可用直接法、选代法和随机法。
求解结果是单元结点处状态变量的近似值。对于计算结果的质 量，将通过与设计准则提供的允许值比较来评价并确定是否需要重复 计算。简言之，有限元分析可分成三个阶段，前处理、处理和后处理。 前处理是建立有限元模型，完成单元网格划分；后处理则是采集处理 分析结果，使用户能简便提取信息，了解计算结果。
为了能从有限单元法得出正确的解答，就必须满足下列三个方面的条 件：
（1）位移模式必须能反映单元的刚度位移。每个单元的位移一 般总是包含两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是与 本单元的形变无关的，即刚体位移，它是由于其他单元发生了形变而 连带引
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起的。甚至，在弹性体的某些部位， 例如在靠近悬臂梁的自由 端处，单元的形变很小，单元的位移主要是由于其他单元发生形变而 引起的刚体位移。因此，为了正确反映单元的位移形态， 须能反映该单元的刚体位移。
（2） 位移模式必须能反映单元的常量应变。每个单元的应变一 般总是包含着两个部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关 的，是各点不相同的，即所谓变量应变。另一部分是与位置坐标无关 的，是各点相同的，即所谓常量应变。而且，当单元的尺寸比较小时， 单元中各点的应变趋于相等，也就是单元的形变趋于均匀，因而常量 应变就成为应变的主要部分。因此，为了正确的反映单元的形变状态， 位移模式必须能反映该单元的常量应变。
（3） 位移模式应当尽可能反映位移的连续性。 在连续弹性体中，
位移是连续的，不会发生两相邻部分互相脱离或互相侵入的现象。
为
唯一模式必
了使得单元内部的位移保持连续，必须把坐标模式取为坐标的单值连 续函数。为了使得相邻单元的位移保持连续， 就不仅要使它们在公共 结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。 这样就能使得相邻单元在受力以后局部互相脱离， 也不互相侵入，因 而代替原为连续弹性体的那个离散化结构仍然保持为连续弹性体。
不
难想象，如果单元很小很小，而且相邻单元在公共结点处具有相同的 位移，也就能保证它们在整个公共边界上大致具有相同的位移。 但是， 实
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际计算时，不大可能把单元取得如此之小，因此，我们在选取位移 模式时，还是应当尽可能使他反映位移的连续性。
理论和实践都已证明：为了有限单元法的解答在单元的尺寸逐步 取小时能够收敛于正确解答，反映刚体位移和常量应变是必要条件， 加上反映相邻单元的位移连续性，就是充分条件。
有限单元法在将来的工作生活中有着重要的作用， 它的功能如此 强大，前景是很美好的，是值得我们好好用心学习和研究的。
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