第３８卷第５期 兰州理工大学学报 Ｖ０１．３８ Ｎｏ．５ ２０１２年１Ｏ月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｌａｎｚｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｏｃｔ ２０１２ 文章编号：１６７３—５１９６（２０１２）０５－０１４５－０４ 求解非对称线性方程组的积多项式 预处理ＧＭＲＥＳ算法 孙春晓，徐乐顺 （西北农林科技大学理学院，陕西杨凌７１２１００） 摘要：当系数矩阵的条件数过大时，求解非对称线性方程组通常采用预处理方法．根据ＧＭＲＥＳ算法的补足收敛特 性，构造一种有效的积多项式预处理因子．在一定条件下，应用积多项式对系数矩阵进行预处理，可以显著降低谱 条件数，从而加快残量的收敛速度．数值试验表明，新算法在残量收敛方面具有明显的优势． 关键词：多项式预处理；Ｋｒｙｌｏｖ子空间；迭代法；ＧＭＲＥＳ 中图分类号：０２４１．６ 文献标识码：Ａ Ｐｒｏｄｕｃｔ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｐｒｅｔｒｅａｔｍｅｎｔ ＧＭＲＥＳ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｎｏｎｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｌ ｌｉｎｅａｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｓｅｔ ＳＵＮ Ｃｈｕｎ－ｘｉａｏ，ＸＵ Ｌｅ－ｓｈｕｎ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｎｏ￣ｈｗｅｓｔ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ａｇｒｉｃｕｌｔｕｒｅ ａｎｄ Ｆｏｒｅｓｔｒｙ，Ｙａｎｇｌｉｎｇ ７１２１００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ ｗａｓ ｔｏｏ ｌａｒｇｅ，ｔｈｅ ｐｒｅｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ｗａｓ ｕｓｕａｌｌｙ ｔｏ ｂｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｎｏｎｓｙｍｍｅｔｒｉｃａｌ ｌｉｎｅａｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｓｅｔ．Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｃｏｎ— ｖｅｒｇｅｎｃｅ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ＧＭＲＥＳ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ａｎ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ｐｒｏｄｕｃｔ ｐｏｌｙｎｏｍｉａ１ ｐｒｅｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｆａｃｔｏｒ ｗａｓ ｃｏｎ— ｓｔｒｕｃｔｅｄ．Ｕｎｄｅｒ ｃｅｒｔａｉｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ，ｔｈｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｍａｔｒｉｘ ｗａｓ ｐｒｅｔｒｅａｔｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｐｒｏｄｕｃｔ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ａｎｄ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｓｐｅｃｔｒａｌ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｃｏｕｌｄ ｂｅ ｒｅｄｕｃｅｄ ｒｅｍａｒｋａｂｌｙ ＳＯ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｓｉｄｕａｌ ｗｏｕｌｄ ｂｅ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔｌｙ ａｃｃｅｌｅｒａｔｅｄ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ ｓｈｏｗｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｎｅｗ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｗｏｕｌｄ ｈａｖｅ ａ ｄｉｓｔｉｎｃｔ ａｄｖａｎｔａｇｅ ｉｎ ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｒｅｓｉｄｕａｌ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｐｒｅｔｒｅａｔｍｅｎｔ；Ｋｒｙｌｏｖ ｓｕｂｓｐａｃｅ；ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ；ＧＭＲＥＳ 很多科学计算问题经过离散可归结为求解线性 ∈．７７０＋／Ｏｎ（ｒ０，Ａ） 上／￣ｎ（ｒｏ，Ａ） 方程组 其中， （ｒ０．Ａ）一ｓｐａｎ｛Ａ ，－０）ｎ －０Ｉ是对应于ｒｏ，Ａ的 Ａｚ一６ （１） ｋｒｙｌｏｖ子空间． 式中：ＡＥＲ Ｎ是非奇异的． 容易证明，此时残量 满足： 求解线性方程组（１）的很多迭代法可归结于多 ｌＩ—ｌｌ Ｐｎ（Ａ）ｒｏ ｌＩ—项式法，即满足： ｄｅｇ ）＝ｌ ｌ Ｉｐ（Ａ）ｒｏ ＩＩ （３） ：：＝ｚ０＋ｑ，￣－Ｉ（Ａ）ｒｏ ｄｅｇ ｑ １≤ 一１ 这里ｚ （ ≥０）为第 步迭代解， 一６ 一Ａｚ 为其 式中：ｌＩ・ｌｌ为ＲＮ上的Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ范数．由此定义 对应的迭代残量．等价地 的迭代方法称为最小残量法，如ＧＭＲＥＳ算法． 由最小残量所产生的残量按范数ｌｌ・ｌｌ是非增 一 ，。（Ａ）ｒ０ ｄｅｇ Ｐ ≤ Ｐ （Ｏ）一１ （２） 的，且当 一Ｎ时得到方程组（１）的精确解，因此此 式中：夕， （ｚ）一１一 一 （ｚ）称为残量多项式． 类方法总是收敛的．但在实际应用中，由于矩阵的阶 或有 数可达１Ｏ。 以上，执行整体的最小残量法所需的存 储量和计算量会随着迭代步数的增加而变得不可接 收稿日期：２０１１—１０－０８ 受［１］．Ｓａａｄ采用循环ＧＭＲＥＳ（ｍ）算法，但此算法会 作者简介：孙春晓（１９８１－），女，河南南阳人，讲师 失去超线性收敛性，产生停滞［２］．Ｎ．Ｍ．Ｎａｃｈｔｉｇａｌ等 兰州理工大学学报 第３８卷 提出混合ＧＭＲＥＳ算法，但此算法的收敛性从理论 上得不到保证，而且在实际应用中，其Ｒｉｃｈａｒｄｓｏｎ 迭代可能收敛得很慢甚至发散［３］．为了提高Ｋｒｙｌｏｖ 子空间的稳定性，实际求解时通常采用预处理方 法［４．５］．本文采用多项式预处理ＧＭＲＥＳ（ｍ）方法，找 到有效的低阶多项式Ｓ（ ），这样迭代解被应用到 ｓ（Ａ）Ａｘ— （Ａ）６中．这种预处理方法在解决某些大 型稀疏线性方程组的系数矩阵Ａ的条件数过大时 是很有效的．本文利用ＧＭＲＥＳ（ ）算法的补足收 敛性质构造预处理多项式．由此给出一种新的算法， 称为积多项式预处理ＧＭＲＥＳ算法（ＰＰ－ＧＭＲＥＳ）． １预处理多项式的构造 １．１ ＧＭＲＥＳ（ｍ）算法的补足收敛性质 定义ＧＭＲＥＳ（ ）算法第 次循环对应的双纽 线为 Ｌ 一｛ｚ∈Ｃ：ｌ Ｐ ， （ｚ）ｌ一 ） 其中 一 ＜ 设 是Ａ的任一特征值，若 包含在Ｌ 中，则 Ｉ …（ ）｝＜ ．Ｉ Ｐ…（ ）Ｉ取值越小，迭代残量在这 一特征向量方向有明显下降． 下面用数值实验来说明ＧＭＲＥＳ（ｍ）算法的补 足收敛性质． 例１考虑线性方程组Ａｚ一６． 其中 ０．５ ０．５＋ １．０ １．０＋ Ａ＝＝ ｂ＝＝ １．５ １．５＋ ２．０ ２．０ 取 一０．０５，初始迭代向量Ｘｏ一［０，Ｏ，０，Ｏ］ ． 记Ａ的谱口（Ａ）一（ １， ２， ３， ４）一 （０．５，１．０，１．５，２．０）．ＧＭＲＥＳ（３）算法前两次循环 所对应的双纽线如图１所示． 重新开始ＧＭＲＥｓ（仇）算法的不同迭代循环所 产生的迭代残量偏向于不同的特征向量，使其所形 成的残量多项式在收敛方向上相互补足，从而残量 的收敛达到一种平衡． 以相继迭代循环的残量多项式作乘积，形成积 多项式，这样能够保证残量在所有特征向量方向上 都有均匀、明显的下降． 取前两次循环的残量多项式作乘积丌２＇ｓ（ ）一 Ｐ１．３（ ）Ｐ２，３（ ），做双纽线 Ｌ一｛ ∈Ｃ：Ｉ ７ｒ２，。（ ）ｌ＝ ） ＝ ＾ （ｂ） ２ 图１例ｌ ＧＭＲＥＳ（３）前两次循环的双纽线；特征值：・ Ｆｉｇ．１ Ｌｅｍｎｉｓｃａｔｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｔｗｏ ｃｙｃｌｅｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ｅｉｇｅｎ－ ｖａｌｕｅｓ ０ｆＧＭＲＥＳ（３）ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ １；ｅｉｇｅｎｖａｌｍｓ：・ 图２中所有特征值包含在双纽线Ｌ中，７ｔ＂ｚ，。（ ） 在矩阵Ａ的谱上得到了整体的下降． ０．６ ０．４ Ｏ２ Ｏ —Ｏ．２ —０ ４ Ｏ．６ 图２ ＧＭＲＦ￣｛３）前两次循环对应的积多项式的双纽 线：特征值：・ Ｆｉ吕２ Ｌｅｍｎｉｓｅａｔｅｓ ｏｆ ａ ｐｒｏｄｕｃｔｐｏｂｎｏｎ￣ａｌ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｔｗｏ ｃｙｃｌｅｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓ ｏｆ ＧＭＲＥＳ（３）；ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓ：・ １．２理论基础 引理１Ｅ。］设方程组Ａｘ＝６的系数矩阵Ａ是可 对角化的且其谱分解为 Ｚ－－ Ａｚ＝：＝ｄｉａｇ（１ｌ， ２，…， Ｎ） 其中， （ —ｌ，２，…，Ｎ）都是正实数．不妨设 ≤ ≤…≤ Ｎ，则给定初始估计ｚ。，执行ｍ步 ＧＭＲＥＳ算法，有 ≤２ ［卜 ］ 其中， （Ａ）一 是Ａ的条件数． 下面利用积多项式构造多项式预处理因子 第５期 孙春晓等：求解非对称线性方程组的积多项式预处理ＧＭＲＥＳ算法 ｓ（ ），使得 （ｓ（Ａ）Ａ）尽可能小． 由于 丌 ， （ ）＝ｐｌ， （ｚ）ｐｚ。 （ ）…Ｐ ， （ ）一 ＧＭＲＥＳ算法（ＰＰ—ＧＭＲＥＳ）． 选取初始迭代向量 ． １）执行ＧＭＲＥＳ（忌）算法 次，得到残量多项式 序列｛ｐ （ｚ）｝ ；构造积多项式 ． ［１一田１，一１（ｚ）］［１一ｚｃ／２， （ｚ）］… ［１一田 ，一１（ ）］一 １一｛（一１） ，一１（ ）…ｑｌ，一１（ ）２ ’＋ （ ）＝Ｐｌ。 （ｚ）ｐ２。 （ ）…Ｐ ， （ ） ２）由 。 （ ）一１一Ｓ（ ）ｚ得到预处理多项式 （一１）‘ ［ｑ ，一１（ ）…ｇ２，一１（ｚ）＋…＋ ｑ，ｒ１，， １（ ）…ｑ１．一１（ ）］ 。－－Ｉ…＋ ［ ．一１（ ）＋…＋ｑ１，一１（ ）］ｚ一 １一ｓ（ｚ）２ （４） 式中 （ｚ）一（一１）‘ ｒ ’‰一１（２）…ｑｌ，一ｌ（ ） ‘’广 ’＋ （一１） ［ｑ ，一１（ ）…ｑｚ，一１（ ）＋…＋ 口 ，一１（ｚ）…ｑｌ，一１（ ）］ｚ‘ ＋…＋ ［ｑ 一１（ ）＋…＋ｑ１．一１（ｚ）］ 由此可得 ｓ（ ）一 定理１设方程组（１）的系数矩阵Ａ可对角化， 其特征值 ， ｚ，…， Ｎ均为实的．若 Ｉ ７ｔ＂…（ ｉ）ｌ≤ｒ＜１ ｉ一１，２，…，Ｎ 则有 ０≤ ≤２ ｍａｘ （ｓ（Ａ ）Ａ）≤鲁 证明 由于Ｓ（Ａ）Ａ— 一 。 （Ａ），Ａ可对角 化，则ｓ（ａ）Ａ也可对角化． 为Ａ的任一特征值，故１一 （ ｉ）为ｓ（Ａ）Ａ 的任一特征值． 又Ｉ％． （ ）ｌ≤ｒ＜１且 ， （ ｆ）均为实的． 故 ０≤１一ｒ≤１一丌『ｌ， （ ）≤１＋ｒ 即 ０≤１一ｒ≤ （ｓ（Ａ）Ａ）≤１＋ｒ ０≤１一ｒ≤ ．ｍ（ｓ（Ａ）Ａ）≤１＋ｒ 可得 。≤ ≤￣ ｔｍａｘ （ｓ（Ａ）Ａ）≤ 由矩阵条件数的定义Ｅ 可知，矩阵的任何一种 条件数都大于等于１．根据定理１，若ｒ足够小，预处 理矩阵ｓ（Ａ）Ａ的条件数接近于１．这样，对预处理方 程组ｓ（Ａ）Ａ：ｓ（Ａ）ｂ执行ＧＭＲＥＳ算法将会得到较 好的收敛效果．而适当的选取积多项式 ， （ ），可 使其在矩阵Ａ的谱上整体下降［。 ］，即ｒ《１． ２积多项式预处理ＧＭＲＥＳ算法 根据上面的分析，给出积多项式预处理 Ｓ（ ）． ３）对ｓ（Ａ）Ａｚ—ｓ（Ａ）６执行循环ＧＭＲＥＳ（ ）算 法，直至收敛． 对新算法的几点说明： １）数ｋ和参数ｍ可以不一致，这样使得算法很 灵活． ２）ＧＭＲＥＳ（ｍ）循环在第ｍ步得到的近似解 ｘ ，是在预处理ｋｒｙｌｏｖ子空间 ｋ （ｓ（Ａ）Ａ，Ｙｏ）一ｓｐａｎ｛（ｓ（Ａ）Ａ） ｒｏ｝ｍ ：－ｏ１ 上使得残量范数最小口Ｄ］． ３）根据残量多项式的互补性理论［。］及数值试 验，通常取 一２，即 ｓ（ ）一一Ａｑ２．卜１（Ａ）ｑｌ，卜１（Ａ）＋ｑ２．卜１（Ａ）＋ｑ１，卜１（Ａ） 如果实际执行效果不太好，可适当放大 ． ４）计算单次残量多项式的系数有两种方法．一 是文献Ｅ５］的迭代公式，二是通过求解特征矩阵的特 征多项式来求解残量多项式Ｅｎ－ｌｚ］． ３数值实验 本节给出三个数值试验比较ＰＰ＿ＧＭＲＥＳ（ ）， ＰｏｌｙＧＭＲＥＳ（ｍ）［１３３，ＨＧＭＲＥＳ（ ），ＧＭＲＥＳ（ｍ） 四种算法的执行结果．为了使数值结果便于重复，这 里具体给出各参数的值，而不考虑算法的执行细节． 选取右端项ｂ：（１，１，…，１） ，初始估计Ｘｏ一 （Ｏ，０，…，Ｏ） ． 例２ 同文献Ｅｓ］中例１，选取Ａ为三对角 Ｔｏｅｐｌｉｔｚ矩阵 １ ０．５ １ １ Ｏ．５ １ １ ‘． Ａ： （１ ０００×１ ｏｏｏ） 。． ．０．５ １ １ 由图３可以看出，四种算法都使迭代残量下降． 比较起来，ＰＰ＿ＧＭＲＥＳ（５）算法下降最快，说明积多 项式７ｌ＂ｚ， （ ）在矩阵Ａ的谱上的值比较小，使得预处 理后的系数矩阵的条件数较小，从而加速了收敛． 例３选取Ａ为Ｇｒｅａｒ矩阵 Ａ＝＝ ・１４８・ 兰州理工大学学报 第３８卷 致谢：本文得到西北农林科技大学青年基金 １ 一 （ＱＮ２ＯＯ９Ｏ４７）项目的资助，在此表示感谢． 参考文献 ．籁糨譬藕茛嘲 挺窖辍捉嘲 １ １． ．一 １ ［１］ ＪＯＵＢＥＲＴ Ｗ Ｄ，ＶＡＲＧＡ Ｒ Ｓ Ａ ｈｙｂｒｉｄ Ａｍｏｌｄｉ—Ｆａｂｅｒ ｉｔｅｒａ— ｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｎｏｎｓｙｍｍｅｔｉｒｅ ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ ＦＪ］．Ｐａｒｔ Ｉ： 一 １ ．１． ． １ Ｔｈｅｏｒｙ，Ｐａｒｔ ｉＩ：Ｐａｒａｌｌｅｌ ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ．Ｉｎｔｅｒｎａｔ Ｊ Ｃｏｍｐｕｔ Ｍａｔｈ，１９９２，４４（１）：２４３—２６７． ．． １ １ ． Ｅ２］ＳＡＡＤ Ｙ，ＳＣＨＵＬＴＺ Ｍ Ｈ．ＧＭＲＥＳ：Ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｍｉｎｉｍａｌ 一工作量 图３例２收敛曲线：工作量和残量对数的范数 １ Ｆｉｇ．３ Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｃｕｒｖｅ ｏｆ ｌｏｇ．ｒｅｓｉｄｕａｌ ｎｏｒｍ ｖｓ ｗｏｒｋ ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ ２ （１ ０００×１ ０００） 由于该矩阵伪谱的凸包中含零点，在这种情况 ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ类型或其他一些混合算法将导致失败． 由图４可以看出ＧＭＲＥＳ算法失败，但ＰＰ－ＧＭＲＥＳ 算法有很满意的收敛效果． ２ １ Ｏ ｌ ２ —３ —４ ５ —６ —７ ８ 工作量 图４例３收敛曲线：工作量和残量对数的范数 Ｆｉｇ．４ Ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｃＵｒＶＥ ｏｆ ｌｏｇ．ｒｅｓｉｄｕａｌ ｎｏｒｍ ｖｓ ｗｏｒｋ ｆｏｒ ｅｘａｍｐｌｅ ３ １ ｒｅｓｉｄｕａｌ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｎｏｎｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ １ 口］．ＳＩＡＭ 一 Ｊ Ｓｃｉ Ｓｔａｔ Ｃｏｍｐｕｔ，１９８６，７：８５６—８６９． Ｉ ［３］ＹＩＮ Ｊｕｎｆｅｎｇ．Ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｍａｔｒｉｘ ｓｐｌｉｔｔｉｎｇ ｆｏｒ ｎｏｎｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，２０１０，１６：１６９４—７０６． ［４］ＹＩＮ Ｊｕｎｆｅｎｇ，ＫＥＮ Ｈａｙａｍ．Ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｄ ＧＭＲＥＳ ｍｅｔｈｏｄ ｗｉｔｈ ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅ ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｉｚａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｌａｒｇｅ ｓｐａｒｓｅ ｌｅａｓｔ－ｓｑｕａｒｅｓ ｐｒｏｂｌｅｍｓ［ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｏＣｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ ａｎｄ Ａｐ－ ｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２００９，２６：１７７—１８６． ［５］ＮＡＣＨＴＩＧＡＩ Ｎ Ｍ，ＲＥＩＣＨＥＩ Ｌ，ＴＲＥＦＥＴＨＥＮ ｌ Ｎ．Ａ ｈｙ— ｂｒｉｄ ＧＭＲＥＳ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｎｏｎｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］． ＳＩＡｍ Ｊ ＭａｔｒｉｘＡｎａｌ Ａｐｐｌ，１９９２，１３（３）：７９６ ８２５． Ｅ６］ＭＯＲＧＡＮ Ｒ Ｂ Ａ ｒｅｓｔａｒｔｅｄ ＧＭＲＥＳ ｍｅｔｈｏｄ ａｕｇｍｅｎｔｅｄ ｗｉｔｈ ｅｉｇｅｎｖｅｃｔｏｒｓ口］．ＳＩＡＭ Ｊ Ｍａｔｒｉｘ Ａｎａｌ Ａｐｐｌ，１９９５，１６：１１１２一 ｌｌ３５． ［７］李庆杨，王能超，易大义．数值分析［Ｍ］．武汉：华中科技出版 社，２００２：２０６－２０７． Ｉ－８］ ＺＨ０ＮＧ Ｂ Ｊ，Ｍ０ＲＧＡＮ Ｒ Ｒ Ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙ ｃｙｃｌｅｓ ｏｆ ｒｅｓｔａｒ— ｔｅｄ ＧＭＲＥＳ［Ｊ］．Ｎｕｍｅｒ Ｌｉｎｅａｒ Ａｌｇｅｂｒａ Ａｐｐｌ，２００８，１５：５５９— ５７１． ［９］ＺＨＯＮＧ Ｂ Ｊ．Ａ ｐｒｄｏｕｃｔ ｈｙｂｒｉｄ ＧＭＲＥＳ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｎｏｎｓｙｍ— ｍｅｔｒｉｃ ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ Ｍａｔｈｅ— ｍａｔｉｃｓ，２００５，２３：８２—９２． ［１０１ ＳＡＡＤ Ａ ｆｌｅｘｉｂｌｅ ｉｎｎｅｒ－ｏｕｔｅｒ ｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｄ ＧＭＲＥＳ ａｌｇｏ— ｒｉｔｈｍ［Ｊ］．ＳＩＡＭ Ｊ Ｓｄ Ｃｏｍｐｕｔ，１９９３，１４：４６１—４６９． ［１１］钟宝江．一种灵活的混合ＧＭＲＥＳ算法口］．高等学校计算数 学学报，２００１，３；２６１—２７２． ［１２］ ＮＭＡＦ１ Ｈ Ｓ，Ｍ０ＧＨＡＤＤＥＮ Ｈ Ｚ．Ａ ｎｅｗ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ ＧＭＲＥＳ ｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ， ２００８，１９９：５２７－５３４． ［－１３］全忠，项淑晃．基于ＧＭＲＥＳ的多项式预处理广义极小残差 法口］．计算数学，２００６，４：３６５—３７６． １