有限元综述

有限元综述

蔡璟、吕丹丹、李川

摘要：有限元法〔Finite Element Method〕是一种高效能、常用的数值计算方法。1965年“有限元”这个名词第一次出现，经历了三十多年的发展历史，理论和算法都已经日趋完善。如今，有限元在工程上得到广泛应用。本文首先介绍了有限元的研究背景和意义，其次从它的诞生、主要特点以及解题步骤三方面阐述相关概念，再讨论传统有限元算法及优化算法、有限元与其他算法结合得到的混合算法两个方面来分类阐述各自的研究现状与特点，最后总结有限元算法的应用以及发展趋势。

关键词：有限元法，FEM，经典算法，优化算法，网格优化，Herrmann算法，时域有限元，混合算法，矩量法，时域有限差分，应用研究，边界元法，光滑粒子法，发展趋势

前言

有限元法〔Finite Element Method〕是一种高效能、常用的数值计算方法，其基本思想是由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中〔这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系〕。自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元方程，解决了物理场应用中的限制。经历几十年的发展，有限元法已经被广泛用于各个领域。

1.研究背景和意义

有限元法的思想首先由 R. Courant 在 1943 年提出，十九世纪六十年代数值分析科学家认识了有限元基本思想，建立了有限元方法的数学基础。其中，我国数学家冯康独立地提出了有限元方法，将其命名为“基于变分原理的差分格式”，对有限元方法的创始及奠基工作做出了重要奉献。

以变分原理为基础建立起来的有限元法,因其理论依据的普遍性,不仅广泛地被应用于各种结构工程,而且作为一种声誉很高的数值分析方法已被普遍推广并成功地用来解决其他工程领域中的问题,例如热传导!渗流!流体力学、空气动力学、土壤力学、机械零件强度分析、电磁场工程问题等等。

有限元法由于可以模拟任意几何模型和各种特性的复杂材料而且具有的适应性强、程序较为通用等优势而得到了长足的发展。同时，结合其他方法和理论呈现出广阔的应用前景，如自适应网格剖分、三维场建模求解、耦合问题、开放域问题等领域取得较多成果。现阶段，为了进一步拓宽求解问题的广泛性以及适应求解问题对高精度，高复杂程度的要

求，有限元还需要进行突破性的工作。

2.有限元研究概况

有限元的诞生

1943年，数学家库朗德第一次提出了可在定义域内分片地使用展开函数来表达其上的未知函数，最早提出有限元法基本思想。20世纪50年代，飞机设计师们发现无法用传统的力学方法分析飞机的应力、应变等问题。波音公司的一个技术小组，首先将连续体的机翼离散为三角形板块的集合来进行应力分析，经过一番曲折后获得前述的两个离散的成功。20世纪50年代，大型电子电脑投入了解算大型代数方程组的工作，这为实现有限元技术准备好了物质条件。1960年前后，美国的R.W.Clough教授及我国的冯康教授分别独立地在论文中提出了“有限单元”这样的名词。此后，这样的叫法被大家接受，有限元技术从此正式诞生。

有限元的概念及特点

有限元法是以变分原理为基础，将要求解的微分方程型数学模型——边值问题，首先转化为相应的变分问题，即泛函求极值问题；然后，利用剖分插值将变分问题离散化为普通多元函数的极值问题，最终归结为一组多元的代数方程组，求解该方程组，从而获得边值问题的数值解，巧妙的将函数逼近理论、偏微分方程、变分与泛函分析结合到一起。其主要特点有：

一、离散化过程保持了明显的物理意义。因为变分原理描述了支配物理现象的物理学中的最小作用原理〔如力学中的最小势能原理、静电学中的汤姆逊定理等〕。因此，基于

问题固有的物理特性而予以离散化处理，列出计算公式，可保证方法的正确性、数值解的存在与稳定性等前提要素。

二、优异的解题能力。与其他数值方法相比较，有限元法在适应场域边界几何形状及媒质物理性质变异情况的复杂问题求解上，有突出优点：不受几何形状和媒质分布的复杂程度限制；不同媒质分界面上的边界条件是自动满足的；不必单独处理第二、三类边界条件；离散点配置比较随意，通过控制有限单元剖分密度和单元插值函数的选取，可以充分保证所需的数值计算精度

三、可方便地编写通用计算程序，使之构成模块化的子程序集合，并且从数学理论意义上讲，有限元作为应用数学的一个分支，它使微分方程的解法与理论面目一新，推动了泛函分析与计算方法的发展。

有限元的解题步骤

对于有限元方法，其解题步骤可归纳为 ：

1〕建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。

2〕区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为假设干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。

3〕确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插值条件的插值函数作为单元基函数。有限元方法中的基函数是在单元中选取的，由于各单元 具有规则的几何形状，在选取基函数时可遵循一定的法则。

4〕单元分析：将各个单元中的求解函数用单元基函数的线性组合表达式进行逼近；再将 近似函数代入积分方程，并对单元区域进行积分，可获得含有待定系数(即单元中各节点 的参数值)的代数方程组，称为单元有限元方程。

5〕总体合成：在得出单元有限元方程之后，将区域中所有单元有限元方程按一定法则进行累加，形成总体有限元方程。

6〕边界条件的处理：一般边界条件有三种形式，分为本质边界条件(狄里克雷边界条件)、自然边界条件(黎曼边界条件)、混合边界条件(柯西边界条件)。对于自然边界条件，一般在积分表达式中可自动得到满足。对于本质边界条件和混合边界条件，需按一定法则对总体有限元方程进行修正满足。

7〕解有限元方程：根据边界条件修正的总体有限元方程组，是含所有待定未知量的封闭方程组，采用适当的数值计算方法求解，可求得各节点的函数值。

3有限元的研究现状

有限元算法及优化算法

传统有限元法与矢量有限元算法

传统的有限元方法(Node-based FEM)又称节点有限元法，是通过插值节点数值而获得的节点基函数来表示各离散单元内电磁场的分量及其位函数,称为标量有限元方法或基于节点的有限元方法。它是以变分原理和剖分插值为基础的方法, 即将定解区域划分成许多小单元，然后按单元分别插值并合并起来得到总的插值，再以求泛函极值的方法来得到我们所需要的近似解答。

矢量有限元法(Edge-based FEM)是一种分析电磁场问题的新型数值方法，是对标量有限元法的大胆改良,它区别于标量有限元方法之处在于，Edge-based FEM将自由度赋予剖分单元的棱边而不是单元结点,即使用的是所谓矢量基或者矢量元,这种方法使得强加边界条件非常容易；在尖劈顶点不会出现奇点;合理选择基函数,直接模拟离散单元内矢量场而非位函数或矢量场的分量,保证矢量场的散度为零,剔除了伪解,从而克服了上述传统有限元方法所存在的缺点。相对于经典的标量有限元法,矢量有限元法还有如下优点:(l)它自然满足电场或磁场在介质分界面上的切向连续性条件；(2)由于棱边与棱边的祸合弱于节点的祸合,因而所得到的总体矩阵具有较少的非零元和较大的稀疏度,从而减少了计算量。

3.1.2 有限元网格优化算法

在采用有限元法进行结构分析或者结构优化时，由于数值算法的精度与单元分布的合理程度及单元形状的质量有着十分密切的关系，网格过度不均匀或单元畸变会大大增加计算误差。因此，为了消除单元畸变和合理调整网格均匀度，需要采用网格优化方法对所建立的有限元几何模型进行处理。

对于有限元网格的优化问题，比较典型的方法是Herrmann算法，具有计算量小和适应性好的特点，网格优化可靠性较高。

3.1.3 时域有限元法

在超宽带通信广泛应用的大背景下，在研发设计的过程中面对具有复杂结构和非均匀介质的超宽带天线、超宽带雷达的瞬态辐射问题进行仿真设计时提出了新的要求。由此发展出包括时域有限元〔Time-Domain FEM〕在内的时域分析的计算方法。该方法结合了FDTD显式积分法的简明性和传统有限元的灵活性，但是由于采用的是节点元，在强加边界条件时存在困难，此外还会出现电场和磁场点在网络上的交替出现而产生的越级问题。针对这些问题，完全匹配层和正交基函数概念的提出，时域有限元法得到较大的发展。中间还发展出了积分形式的隐式时域有限元法。这种方法的优点是简单而且稳定，其缺点是只适用于理想导电面或理想导磁面；对于无界空间的开域问题，采用传统的吸收边界条件，会使计算区域变得十分庞大；同时，它在每个时间步上需要求解一个空间矩阵方程。由于上述原因，加之当时电脑速度和内存的限制。直到出现正交基函数和子域分解并行计算方法来解决庞大计算量的问题。同时，近几年电脑硬件的发展，尤其是GPU并行运算功能不断被挖掘。结合时域有限元法本身是矩阵运算的关键点，使得通过GPU硬件加速计算成为可能。

3.2 有限元混合算法

3.2.1 混合有限元-矩量法

矩量法是一种将连续方程离散化成代数方程的方法，它既适用于求解积分方程又适用于求解微分方程。由于已有有效的数值计算方求解微分方程，比方有限元法，故目前矩量法大都用来求解积分方程。

基本原理可以概括为：由于有限元方法可以消除伪解，故常用于离散矢量Helmholtz

方程。对整个有限元作用域积分，可以得到矩阵方程组。计算矩阵方程组中的未知量进行MOM法近似、离散及求逆，从而解得未知量的解。

采用矩量法计算电磁问题主要表达在阻抗矩阵的填充和线性方程组的求解这两个阶段，利用有限元模拟几何形状复杂、物质构成多样的虚拟边界的内部，而用矩量法截断求解区域，不但充分利用了有限元方法及矩量法各自的长处，而且由于用矩量法截断求解区域相当于求解边界是精确的，所以其模拟精度大大提高。但是，用该方法离散得到的复线性系统用迭代法求解收敛很慢，因此预处理技术不得不用于加速迭代法的收敛速率。

3.2.2 混合有限元与时域有限差分法

FDTD方法因为其简单高效，在电磁学方面得到了广泛的应用。由于FDTD采取阶梯斜边界的逼近方法，使得它的准确性差。有限元法能够处理复杂边界，得到较为精确的逼近值，但是FEM需要比FDTD高很多的内存，需要更强的系统支持。

FEM-FDTD法是基于等效原理。用它来处理物理上未连接的对象，但仅相隔一小段距离，足以允许等效原理外表放置在他们之间。

边界元法是把描述场的微分方程通过加权余量法归结为边界上的积分方程 , 然后对积分方程进行边界分割及插值 , 从而求得近似解 , 因此它可以使求解的问题降低一维 , 数据输入简单 , 但是对于不均匀介质问题 , 由于难以求得 Green 函数 , 因而应用边界元法求解这类问题时会遇到困难。

应用有限元-边界元混合方法计算二维各向异性不均匀介质柱电磁散射。对柱体内、外区域分别采用有限元和边界元法进行分析 , 应用边界条件建立部分稀疏部分满填充的待

求矩阵方程 , 然后应用内观法，结合多波前法求解该方程。计算结果说明 , 由于有限元法易于处理不均匀介质 , 边界元法易于分析开放域 , 因此两者的混合在计算这种开放的不均匀问题时有一定的优势。

由于有限元法具有广泛的适用性 , 它不仅可以分析均匀介质 , 也可以分析不均匀介质 , 而边界元法特别适用于分析开放区域 ,因而两者地结合可以充分地发挥各自的优点 , 同时由于采用内观法结合多波前法求解耦合方程组 , 这在一定程度上消除了 FEM / BEM 混合方法中边界元法所导出的部分满阵对于方程求解所带来的不利影响。

有限元法对于小变形问题计算精度好、效率高，但对于大变形问题会遭遇单元畸变，其求解精度和效率都会显著降低。光滑粒子法具有很强的大变形求解能力，易于模拟材料的破碎和飞溅等复杂物理现象，但是在计算效率和边界条件处理方面不如有限元法。有限元法与光滑粒子法结合，可以充分利用两种算法的优势，为大变形问题的模拟提供一条有效的途径。其基本思想是对问题域中的大变形区域采用光滑粒子法计算，而对小变形区域采用有限元法计算。这样就使得算法既具有良好的大变形模拟能力，又具有较高的计算效率。

4.有限元的应用及趋势

有限元的应用范围也是相当的广的。它涉及到工程结构、传热、流体运动、电磁等连续介质的力学分析中，并在气象、地球物理、医学等领域得到应用和发展。电子电脑的出现和发展是有限元法在许多实际问题中的应用变为现实，并具有广阔的前景。

国际上早20世纪在50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力开发具有强大功能的有限元分析程序，主要有德国的ASKA、英国的PAFEC、法国的SYSTUS、美国的

ABQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的产品。

当今国际上FEM方法和软件发展呈现出以下一些趋势特征:

一、从单纯的结构力学计算发展到求解许多物理场问题。有限元分析方法从最初的结构化矩阵分析发展而来,逐步推广到板、壳和实体等连续体固体力学分析。近年来有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁场、渗流和声场等问题的求解计算,最近又发展到求解几个交叉学科的问题。例如当气流流过一个很高的铁塔时就会使铁塔产生变形,而塔的变形又反过来影响到气流的流动……

二、由求解线性工程问题进展到分析非线性问题。随着科学技术的发展,线性理论已经远远不能满足设计的要求。例如建筑行业中的高层建筑和大跨度悬索桥的出现,就要求考虑结构的大位移和大应变等几何非线性问题;航天和动力工程的高温部件存在热变形和热应力,也要考虑材料的非线性问题等，仅靠线性计算理论就不足以解决遇到的问题,只有采用非线性有限元算法才能解决。

三、增强可视化的前置建模和后置数据处理功能。早期有限元分析软件的研究重点在于推导新的高效率求解方法和高精度的单元。随着数值分析方法的逐步完善,尤其是电脑运算速度的飞速发展,整个计算系统用于求解运算的时间越来越少,而数据准备和运算结果的表现问题却日益突出。在现在的工程工作站上,求解一个包含10万个方程的有限元模型只需要用几十分钟。但是如果用手工方式来建立这个模型,然后再处理大量的计算结果则需用几周的时间。可以毫不夸张地说,工程师在分析计算一个工程问题时有80%以上的精力都花在数据准备和结果分析上。因此目前几乎所有的商业化有限元程序系统都有功能很强的前置建模和后置数据处理模块。在强调\"可视化\"的今天,很多程序都建立了对用户非常友好的

GUI(Graphics User Interface),使用户能以可视图形方式直观快速地进行网格自动划分,生成有限元分析所需数据,并按要求将大量的计算结果整理成变形图、等值分布云图,便于极值搜索和所需数据的列表输出。

四、与CAD软件的无缝集成。当今有限元分析系统的另一个特点是与通用CAD软件的集成使用,即在用CAD软件完成部件和零件的造型设计后,自动生成有限元网格并进行计算,如果分析的结果不符合设计要求则重新进行造型和计算,直到满意为止,从而极大地提高了设计水平和效率。

五、在Wintel平台上的发展。早期的有限元分析软件基本上都是在大中型电脑 (主要是Mainframe) 上开发和运行的,后来又发展到以工程工作站(EWS,Engineering WorkStation )为平台,它们的共同特点都是采用UNIX操作系统。PC机的出现使电脑的应用发生了根本性的变化,工程师渴望在办公桌上完成复杂工程分析的梦想成为现实。

5总结与展望

本小组通过明确分工，相互合作，收集并阅读相关文献，了解了有限元法的概念、诞生历程、研究现状和相关应用及趋势。通过相互合作，我们小组不仅增进了同学之间的感情，而且了解了相关知识，收获颇丰。本文阐述了有限元法的研究背景、发展历程、解题思路以及主要特点，重点介绍了有限元法的研究现状和研究趋势。在大力推广CAD技术的今天，从自行车到航天飞机，所有的设计制造以及仿真研究都离不开有限元分析计算，有限元法在工程设计和分析中已经得到越来越广泛的应用，尽管有限元法已经日趋成熟，但是在可视化上和建模易操作性上还有待提升，相信随着科技的发展与软件的更新，有限元法将会更加完善，应用领域也更加广袤。

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