天津市天津一中2012届高三1月月考试题——数学(文)

天津市天津一中 2012届高三1月月考

数 学 试 题（文）

一、选择题（每小题5分，共40分） 1．复数

32i 23iA．1

B．1

C．i

2 D．i

（ ）

2．已知命题p：xR，使tanx1，命题q:xR,x0，则下面结论正确的是

A．命题“pq”是真命题 C．命题 “pq”是真命题

B．命题“pq”是假命题 D．命题“pq”是假命题

（ ）

3．已知点A(1,0),B(1,3)，向量a(2k1,2),若ABa,则实数k的值为

（ ）

A．2 B．1

C．1 D．2

4．把函数ysinx(xR)的图象上所有的点向左平行移动

的横坐标缩短到原来的

个单位长度，再把所得图象上所有点3（ ）

1倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 2B．ysin

A．ysin2x，xR 3x，xR26

C．ysin2x，xR 3D．ysin2x，xR 3

（ ）

x,x0,5．设函数f(x)若f(a)f(1)2,则a

x,x0,

A．3

B．3

C．1

3D．1

0.46．下列大小关系正确的是

A．0.4330.4（ ）

log40.3

30.4B．0.4log40.33D．log40.330.4C．log40.30.43

0.43

7．若等比数列{an}的前n项和为Sn, 若S3,S9,S6成等差数列，则

（ ）

A．S61S3 2B．S62S3 C．S61S3 2D．S62S3

8．已知函数f(x)的定义域为[2,),部分对应值如下表，f(x)为f(x)的导函数，函数yf(x)的图象如右图所示：若两正数．．a,b满足f(2ab)1，则

b3的取值范围是 a3（ ）

647326C．(,)

35A．(,)

1337D．(,)53

B．(,3)

二、填空题（每小题5分，共30分）

9．倡导绿色天津，崇尚健康生活。为打造绿色天津，某林业部门引进一批小叶榕、松柏、梧桐三种

树苗，其数量之比为2:3:5 ，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，如果抽出的样本中

小叶榕树苗有80棵，那么此样本的容量n 。

x20},B{x|3x1}，则AB 。 x3511．已知cos(),sin，且(0,),(,0)，则sin 。

5132210．若A{x|12．若函数f(x)logax在[2,4]上的最大值与最小值之差为2，则a 。

13．已知关于x的不等式|x3||x4|a，如果不等式的解集为空集，则实数a的取值范围

为 。

2114．如图，在ABC中，D为BC边的中点，AMAB,ANAC,MN与

32AD交于P点，APxAD，则x 。

三、解答题：

15．（本小题满分13分）

已知函数f(x)4cosxsin(x（Ⅰ）求f(x)的最小正周期： （Ⅱ）求f(x)在区间[6)1

,]上的最大值和最小值。 64

16．（本小题满分13分）

已知数列{an}是等比数列a12,a318;数列{bn}是等差数列，

b12,b1b2b3b4a1a2a320

（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Sn；

（Ⅲ）设Pnb1b4b7b3n2，Qnb10b12b14b2n8(nN)比较Pn与

*Qn大小，并证明你的结论。

17．（本小题满分13分）

在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c。已知cos2C（Ⅰ）求sinC的值；

（Ⅱ）当a2,2sinAsinC时，求b,c的长以及ABC的面积S的值。

1 4

18．（本小题满分13分）

已知在函数f(x)mxx的图像上以N(1,n)为切点的切线的倾斜角为（Ⅰ）求m,n的值；

（Ⅱ）若方程f(x)a有三个不同实根，求a的取值范围；

（Ⅲ）是否存在最小的正整数k，使得不等式f(x)k2011，对x[1,3]恒成立?如果存在，请求出最小的正整数k；如果不存在，请说明理由。

19．（本小题满分14分）

已知等差数列{an}的公差d大于0，且a2，a5是方程x212x270的两根，数列{bn}的前n

3 4

1项和为Tn，且Tn1bn(nN*)．

2

（Ⅰ） 求数列{an}、{bn}的通项公式； （Ⅱ）记cnanbn，求数列{cn}的前n项和Sn。

20．（本小题满分14分）

已知函数f(x)1312axbxcx 329，x1x312，且a0，求函2（Ⅰ）若函数f(x)有三个零点x1,x2,x3,且x1x2x3数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若f'(1)理由；

1a,3a2c2b,试问：导函数f'(x)在区间(0,2)内是否有零点，并说明2b的取值范围。 a

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若导数f'(x)的两个零点之间的距离不小于3，求

参考答案

一．选择题：

1—8 C D B C D C C D 二．填空题： 9．400

10．{x | x≤-2} 11．

33 652 212．2或13．a≤1 14．

4 7三．解答题： 15．解：

（I）f（x）=4cosx·[31sinx+cosx]-1 22 f（x）=23sinxcosx+2cos2x-1 f（x）=3sin2x+cos2x f（x）=2sin（2x+ T=

（II）） 6

„„„„„„7分 „„„„„„2分

63x4

 2x2x2661 sin(2x)1

26 1f(x)2 16．解：

（I）a2a1a3且a1a2a320

„„„„„„1分

22 3„„„„„„4分

a26

b1b2b3b4261826 

b2,d31分1 bn3n1(nN*)

„„„„„„2分

(b1bn)n(3n1)n321„„„„„„2分 nn(nN*)

2222n(n1)n(n1)95 （III）Pnnb1„„„„„„2分 3d2n9n2n

2222n(n1) Qnnb10„„„„„„2分 2d29n3n(n1)3n226n

2953573 PnQnn2n3n226nn2nn(n19)

22222

（II）Sn 当n=19时 Pn=Qn

当1n18时 PnQn 17．解：

（I）cos2C12sinC

22„„„„„„1分 „„„„„„1分 „„„„„„1分

„„„„„„2分

sinC1cos2C5 28

„„„„„„2分

sinC510

422csinC2 asinA c4

（II）

„„„„„„1分

„„„„„„2分 „„„„„„1分

b cosC4且a2b2c2cosC

2ab 且

b6„„„„„„1分

S1absinC 21分

1分或b26b6 c4S15218．解：

（I）f'(x)3mx1

2或1分b26c4S15

1分 „„„„„„2分

f(1)n f'(1)1m1n3m112m3n131分

1分

（II）f(x)23x3x;f'(x)2x21

x (,22) (22,22) (22,) f’（x） + 极大值 - 极小值 + f（x） ↑  ↑ „„„„„„2分

f(22)23(22)3(22222)623 „„„„„„1分

f(22)23(22)322222623 „„„„„„1分

依题意 a(23,23) „„„„„„1分

（III）只须求得y=f（x）在[-1，3]上的max

x (1,22) (2222,2) (2,3) f’（x） + - + f（x） ↑  „„„„„„1分

f(22)23 f(3)2333318315

„„„„„„1分

k201115 k2026

„„„„„„1分 kmin2026

„„„„„„1分

19．解：

a2a512

（I）a2a527

d0 ∴a2=3，

„„„„„„1分 a5=9

„„„„„„1分

da5a252632

↑

an1(n1)22n1(nN*) 令n=1， b12112b1b13

„„„„„„1分

当n2， bnTnTn1112b1n12bn1 312bn2bn1 1 qbn1b2

n1332

„„„„„„1分

n1 bnb1211qn3323n

（2）Cn(2n1)23n S11n2[13332(2n1)13n] 13S11n2[132(2n1)3n1]

212213Sn2[3323n(2n1)3n1]

11 21[13n1]3Sn2[32911]

3 S2n2n23n(nN*)

20．解：

（I）f(x)x(1ax2132bxc) x20

„„„„„„1分

12b3b19 x121a2a21与x3是方程3ax2bxc0两根3c3c1a123a

„„„„„„2分

„„„„„„1分

„„„„„„2分

„„„„„„1分 „„„„„„1分

„„„„„„1分

„„„„„„2分

(2)(1)

由（1）、（2）可知：2b3a

c4a2 „„„„„„2分

f'(x)axbxcax3ax4aa(x3x4)a(x1)(x4) x (,1) （-1，4） (4, ) f’（x） + - + f（x）   ↑

„„„„„„2分

2(a0)

（II）f'(1)abc1a 23a2c2b

„„„„„„2分

3且2 a0且b0

abc0 f'(0)c f'(1)3f'(2)4a2bc4ac2(ca)4ac2c3aac

21a0 2

„„„„„„1分

1o当c>0时 f’（0）>0 f’（1）<0 ∴f’（x）在（0，1）内至少有一个零点

„„1分

2o当c≤0时 f’（2）>0 f’（1）<0 ∴f’（x）在（1，2）内至少有一个零点

„„1分

综上f’（x）在（0，2）内至少有一个零点

bmna2

（III）设m、n是导函数f’（x）=ax+bx+c的两个零点

c3bmna2ab(mn)24mn(2)23

a |mn| 另一方面：2c=-3a-2b且3a>2c>2b ∴3a>-3a-2b>2b

b3 a4bb 1或3

aab3 综上[1,)

a4 3