第二十五章 概率 课题： 25.1 随机事件 教学目标： 知识技能目标 了解必然发生的事件、不可能发生的事件、随机事 件的特点 .
数学思考目标 学生经历体验、操作、观察、归纳、总结的过程 , 发 展学生从纷繁复杂的表
象中，提炼出本质特征并加以抽象概括的能力 . 解决问题目标
能根据随机事件的特点 , 辨别哪些事件是随机事件 . 情感态度目标
引领学生感受随机事件就在身边 , 增强学生珍惜机会， 把握机会的意识 .
教学重点： 随机事件的特点 .
教学难点： 判断现实生活中哪些事件是随机事件 . 教学过程 活动一 【问题情境】 摸球游戏
三个不透明的袋子均装有 10 个乒乓球 . 挑选多名同 学来参加游戏 .
游戏规则
每人每次从自己选择的袋子中摸出一球 , 记录下颜色 放回, 搅匀,重复前面的试验 . 每人摸球 5次. 按照摸出黄 色球的次数排
序 , 次数最多的为第一名 , 其次为第二名 , 最 少的为第三名 .
【师生行为】
教师事先准备的三个袋子中分别装有
10 个白色的
乒乓球； 5 个白色的乒乓球和 5个黄色的乒乓球； 10个黄 色的乒乓球 .
学生积极参加游戏 , 通过操作和观察 , 归纳猜测出在 第 1 个袋子中摸出黄色球是不可能的 , 在第 2 个袋子中能 否摸出黄色球是不确定的 , 在第 3 个袋子中摸出黄色球是 必然的 .
教师适时引导学生归纳出必然发生的事件、随机事 件、不可能发生的事件的特点 .
【设计意图】
通过生动、活泼的游戏 , 自然而然地引出必然发生 的事件、随机事件和不可能发生的事件 , 不仅能够激发学 生的学习兴趣 , 并且有利于学生理解 .能够巧妙地实现从 实践认识到理性认识的过渡 .
活动二 【问题情境】
指出下列事件中哪些是必然发生的 , 哪些是不可能发 生的，哪些是随机事件？ 1. 2. 3. 4.
通常加热到100°C时，水沸腾； 姚明在罚球线上投篮一次，命中； 掷一次骰子，向上的一面是 6 点； 度量三角形的内角和，结果是
360°；经过城市
中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯； 6. 7. 8. 9. 10.
某射击运动员射击一次，命中靶心； 太阳东升西落；
人离开水可以正常生活 100 天； 正月十五雪打灯；
宇宙飞船的速度比飞机快 .
【师生行为】 教师利用多媒体课件演示问题 , 使问题情境更具生动 性.
学生积极思考 ,回答问题 ,进一步夯实必然发生的事 件、随机事件和不可能发生的事件的特点 . 在比较充分的 感知下，达到加深理解的目的 . 教师在学生完成问题后应注意引导学生发现在我们 生活的周围大量地存在着随机事件 .
【设计意图】 引领学生经历由实践认识到理性认识再重新认识实 践问题的过程 , 同时引入一些常识问题 , 使学生进一步感 悟数学是认识客观世界的重要工具 .
活动三 【问题情境】
情境名同学参加讲演比赛 , 以抽签方式决定每个人的 出场顺序 .签筒中有 5根形状、大小相同的纸签 , 上面分 别标有出场的序号 1,2,3,4,5. 小军首先抽签 , 他在看不 到纸签上的数字的情况下从签筒中随机地抽取一根纸签
情境 2 小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面 上分别刻有 1到 6的点数 .
在具体情境中列举不可能发生的事件、必然发生的 事件和随机事件 .
【师生行为】
学生首先独立思考 , 再把自己的观点和小组其他同学 交流 , 并提炼出小组成员列举的主要事件，在全班发布 .
【设计意图】
开放性的问题有利于培养学生的发散性思维和创新 思维 , 也有利于学生加深对学习内容的理解 .
活动四 【问题情境】
请你列举一些生活中的必然发生的事件、随机事件 和不可能发生的事件 .
【师生行为】 教师引导学生充分交流，热烈讨论 . 【设计意图】 随机事件在现实世界中广泛存在 . 通过让学生自己找 到大量丰富多彩的实例，使学生从不同侧面、不同视角 进一步深化对随机事件的理解与认识 .
活动五
【问题情境】 李宁运动品牌打出的口号是“一切皆有可能”，请 你谈谈对这句话的理解 .
【师生行为】
教师注意引导学生独立思考 , 交流合作 , 提升学生对 问题的理解与判断能力 .
【设计意图】
有意识地引领学生从数学的角度重新审视现实世界， 初步感悟辩证统一的思想
活动六
【问题情境】 归纳、小结 布置作业 设计一个摸球游戏 , 要求对甲乙公平 . 【师生行为】
学生反思、讨论 . 学生在设计游戏的过程中，进一 步感悟随机事件的特点 . 作业的开放性为学生创设了更大 的学习空间 .
【设计意图】
课堂小结采取学生反思汇报形式 , 帮助学生形成较完 整的认知结构 . 作业使课堂内容得以丰富和延展 .
教学设计说明 现实生活中存在着大量的随机事件，而概率正是研究随 机事件的一门学科 . 本课是“概率初步”一章的第一节课 教学中，教师首先以一个学生喜闻乐见的摸球游戏为背 景，通过试验与分析，使学生体验有些事件的发生是必 然的、有些是不确定的、有些是不可能的，引出必然发 生的事件、随机事件、不可能发生的事件 . 然后，通过对 不同事件的分析判断，让学生进一步理解必然发生的事 件、随机事件、不可能发生的事件的特点 . 结合具体问题 情境，引领学生设计提出必然发生的事件、随
机事件、 不可能发生的事件，具有相当的开放度，鼓励学生的逆 向思维与创新思维，在一定程度上满足了不同层次学生 的学习需要 .
做游戏是学习数学最好的方法之一，根据本节课内 容的特点，教师设计了摸球游戏，力求引领学生在游戏 中形成新认识，学习新概念，获得新知识，充分调动了 学生学习数学的积极性，体现了学生学习的自主性 . 在游 戏中参与数学活动，在游戏中分析、归纳、合作、思考， 领悟数学道理 . 在快乐轻松的学习氛围中，显性目标和隐 性目标自然达成 , 在一定程度上 , 开创了一个崭新的数学 课堂教学模式 .
课题 : 25.1.2 概率的意义 教学目标 : 〈一〉知识与技能
1. 知道通过大量重复试验时的频率可以作为事件发 生概率的估计值
2. 在具体情境中了解概率的意义
〈二〉教学思考 让学生经历猜想试验 -- 收集数据 -- 分析结果的探索 过程，丰富对随机现象的体验，体会概率是描述不确定 现象规律的数学模型 . 初步理解频率与概率的关系 .
三〉解决问题
在分组合作学习过程中积累数学活动经验，发展学 生合作交流的意识与能力 . 锻炼质疑、独立思考的习惯与 精神，帮助学生
逐步建立正确的随机观念 .
〈四〉情感态度与价值观 在合作探究学习过程中，激发学生学习的好奇心与 求知欲 . 体验数学的价值与学习的乐趣 . 通过概率意义教 学，渗透辩证思想教育 .
【教学重点】在具体情境中了解概率意义 .
【教学难点】对频率与概率关系的初步理解 【教具准备】壹元硬币数枚、图钉数枚、多媒体课件 【教学过程】 一、创设情境，引出问题 教师提出问题：周末市体育场有一场精彩的篮球比 赛，老师手中只有一张球票，小强与小明都是班里的篮 球迷，两人都想去 . 我很为难，真不知该把球给谁 . 请大 家帮我想个办法来决定把球票给谁 .
学生：抓阄、抽签、猜拳、投硬币，……
教师对同学的较好想法予以肯定 . （学生肯定有许多 较好的想法，在众多方法中推举出大家较认可的方法 抓阄、投硬币）
追问，为什么要用抓阄、投硬币的方法呢？
由学生讨论：这样做公平 . 能保证小强与小明得到球 票的可能性一样大
在学生讨论发言后，教师评价归纳 . 用抛掷硬币的方法分配球票是个随机事件，尽管事 先不能确定“正面朝上”还上“反面朝上”，但同学们 很容易感觉到或猜到这两个随机事件发生的可能性是一 样的，各占一半，所以小强、小明得到球票的可能性一 样
. 如
大 .
质疑：那么，这种直觉是否真的是正确的呢？ 引导学生以投掷壹元硬币为例，不妨动手做投掷硬 币的试验来验证一下 .
说明：现实中不确定现象是大量存在的， 新课标指 出：“学生数学学习内容应当是现实的、有意义、富有 挑战的”，设置实际生活问题情境贴近学生的生活实际， 很容易激发学生的学习热情，教师应对此予以肯定，并 鼓励学生积极思考，为课堂教学营造民主和谐的气氛， 也为下一步引导学生开展探索交流活动打下基础 .
二 、动手实践，合作探究 1 ．教师布置试验任务 . （ 1）明确规则 .
把全班分成 10 组，每组中有一名学生投掷硬币，另 一名同学作记录，其余同学观察试验必须在同样条件下 进行 .
2）明确任务，每组掷币 50 次，以实事求是的态度， 认真统计“正面朝上” 的频数及 “正面朝上”的频率， 整理试验的数据 , 并记录下 2．教师巡视学生分组试验情 况.
（1）．观察学生在探究活动中，是否积极参与试验 活动、是否愿意交流等，关注学生是否积极思考、勇于 克服困难 .
（2）．要求真实记录试验情况 . 对于合作学习中有可 能产生的纪律问题予以调控各组汇报实验结果 .
由于试验次数较少，所以有可能有些组试验获得的 “正面朝上”的频率与先前的猜想有出入 .
提出问题：是不是我们的猜想出了问题？引导学生 分析讨论产生差异的原因 .
在学生充分讨论的基础上，启发学生分析讨论产生 差异的原因 . 使学生认识到每次随机试验的频率具有不确 定性，同时相信随机事件发生的频率也有规律性， 引导 他们小组合作，进一步探究 .
解决的办法是增加试验的次数，鉴于课堂时间有限， 引导学生进行全班交流合作 . 4 ．全班交流 .
把各组测得数据一一汇报，教师将各组数据记录在 黑板上.全班同学对数据进行累计，按照书上 P140要求 填好 25-2. 并根据所整理的数据，在 25.1-1 图上标注出 对应的点 , 完成统计图 . 表 25-2
抛掷次数 50100150200250300350400450500 “正面向上”的频数 “正面向上”的频率
想一想 1 （投影出示） . 观察统计表与统计图，你发现 “正面向上”的频率有什么规律？
注意学生的语言表述情况，意思正确予以肯定与鼓 励. “正面朝上”的频率在 0.5 上下波动 .
想一想 2（投影出示） 随着抛掷次数增加，“正面向上”的频率变化趋势 有何规律？
在学生讨论的基础上，教师帮助归纳 . 使学生认识到 每次试验中随机事件发生的频率具有不确定性，同时发 现随机事件发生的频率也有规律性 . 在试验次数较少时， “正面朝上”的频率起伏较大，而随着试验次数的逐渐 增加，一般地，频率会趋于稳定，“正面朝上”的频率 越来越接近 0.5. 这也与我们刚开始的猜想是一致的 . 我 们就用 0.5 这个常数表示“正面向上”发生的可能性的 大小 .
说明：注意帮助解决学生在填写统计表与统计图遇 到的困难 . 通过以上实践探究活动，让学生真实地感受到、 清楚地观察到试验所体现的规律，即大量重复试验事件 发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率） . 鼓励 学生在学习中要积极合作交流，思考探究 . 学会倾听别人 意见，勇于表达自己的见解 . 为了给学生提供大量的、快捷的试验数据 , 利用计算机模 拟掷硬币试验的课件，丰富学生的体验、提高课堂教学 效率，使他们能直观地、便捷地观察到试验结果的规律 性 -- 大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个 常数附近 .
其实，历史上有许多著名数学家也做过掷硬币的试 验 . 让学生阅读历史上数学家做掷币试验的数据统计表 （看书 P141 表 25-3 ）.
表 25-3
试验者抛掷次数（n） “正面朝上”次数（m） “正面 向上”频率（ m/n）
棣莫弗 204810610 布丰 404020480.5069 费勒 1000049790 皮尔逊 1200060190.5016 皮尔逊 24000120120.5005 通过以上学生亲自动手实践 , 电脑辅助演示 , 历史材料展 示 , 让学生真实地感受到、清楚地观察到试验所体现的 规律，大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某 个常数附近 , 即大量重复试验事件发生的频率接近事件发 生的可能性的大小 （概率） . 同时, 又感受到无论试验次数 多么大 , 也无法保证事件发生的频率充分地接近事件发生 的概率 .
在探究学习过程中 , 应注意评价学生在活动中参与程 度、自信心、是否愿意交流等，鼓励学生在学习中不怕 困难积极思考，敢于表达自己的观点与感受
, 养成实事求
是的科学态度下面我们能否研究一下“反面向上”的频 率情况？
学生自然可依照“正面朝上”的研究方法，很容易 总结得出：“反面向上”的频率也相应稳定到 0 教师归 纳：
（1）由以上试验，我们验证了开始的猜想，即抛掷 一枚质地均匀的硬币时，“正面向上”与“反面向上” 的可能性相等（各占一半） . 也就是说，用抛掷硬币的方 法可以使小明与小强得到球票的可能性一样 .
（2）在实际生活还有许多这样的例子，如在足球比 赛中，裁判用掷硬币的办法来决定双方的比赛场地等等
说明：这个环节，让学生亲身经历了猜想试验—— 收集数据——分析结果的探索过程，在真实数据的分析 中形成数学思考，在讨论交流中达成知识的主动建构， 为下一环节概率意义的教学作了很好的铺垫 .
三、评价概括，揭示新知
问题 1. 通过以上大量试验，你对频率有什么新的认 识？有没有发现频率还有其他作用？
学生探究交流 . 发现随机事件的可能性的大小可以用 随机事件发生的频率逐渐稳定到的值 （或常数） 估计或去 描述 .
通过猜想试验及探究讨论，学生不难有以上认识 . 对 学生可能存在语言上、描述中的不准确等注意予以纠正， 但要求不必过高 .
归纳：以上我们用随机事件发生的频率逐渐稳定到 的常数刻画了随机事件的可能性的大小 .
那么我们给这样的常数一个名称，引入概率定义 . 给 出概率定义 （板书） ：一般地，在大量重复试验中，如果 事件A发生的频率会稳定在某个常数 p附近，那么这个 常数p就叫做事件 A的概率（probability ）,记作P（ A） 注意指出： 1 ．概率是随机事件发生的可能性的大小的数量反映 2 ．概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的 值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得 到事件发生的概率，但二者不能简单地等同 .
想一想 （ 学生交流讨论 ）
问题 2．频率与概率有什么区别与联系 ?
从定义可以得到二者的联系 , 可用大量重复试验中 事件发生频率来估计事件发生的概率 . 另一方面 , 大量重 复试验中事件发生的频率稳定在某个常数 （ 事件发生的概 率）附近，说明概率是个定值 , 而频率随不同试验次数而 有所不同 , 是概率的近似值 ,二者不能简单地等同 .
说明：猜想试验、分析讨论、合作探究的学习方式 十分有益于学生对概率意义的理解，使之明确频率与概 率的联系，也使本节课教学重难点得以突破 . 为下节课进 一步研究概率和今后的学习打下了基础 . 当然，学生随 机观念的养成是循序渐进的、长期的 . 这节课教学应把握 教学难度，注意关注学生接受情况 .
四．练习巩固，发展提高 . 学生练习
1 .书上P143.练习.1.巩固用频率估计概率的方法
2 ．书上 P143. 练习 .2 巩固对概率意义的理解 . 教师应当关注学生对知识掌握情况，帮助学生解决 遇到的问题 .
五．归纳总结，交流收获：
1 ．学生互相交流这节课的体会与收获，教师可将学 生的总结与板书串一起，使学生对知识掌握条理化、系 统化 .
2 ．在学生交流总结时，还应注意总结评价这节课所 经历的探
索过程，体会到的数学价值与合作交流学习的 意义.
【作业设计】
（1）完成 P144 习题 25.1 2 、4
（2）课外活动分小组活动，用试验方法获得图钉从 一定高度落下后钉尖着地的概率 .
【教学设计说明】 这节课是在学习了 25.1.1 节随机事件的基础上学习 的，学生通过大量重复试验，体验用事件发生的频率去 刻画事件发生的可能性大小，从而得到概率的定义．对 概率意义的正确理解，是建立在学生通过大量重复试验 后，发现事件发生的频率可以刻画随机事件发生可能性 的基础上 . 结合学生认知规律与教材特点，这节课以用掷 硬币方法分配球票为问题情境，引导学生亲身经历猜测 试验—收集数据—分析结果的探索过程 . 这符合《新课标》 “从学生已有生活经验出发，让学生亲身经历将实际问 题抽象为数学模型并进行解释与应用的过程”的理念 .
贴近生活现实的问题情境，不仅易于激发学生的求 知欲与探索热情，而且会促进他们面对要解决的问题大 胆猜想，主动试验，收集数据，分析结果，为寻求问题 解决主动与他人交流合作 . 在知识的主动建构过程中，促 进了教学目标的有效达成 . 更重要的是，主动参与数学活 动的经历会使他们终身受益 .
2 ．随机现象是现实世界中普遍存在的，概率的教学 的一个很重要的目标就是培养学生的随机观念 . 为了实现 这一目标，教学设计中让学生亲身经历对随机事件的探 索过程，通过与他人合作
探究，使学生自我主动修正错 误经验，揭示频率与概率的关系，从而逐步建立正确的 随机观念，也为以后进一步学习概率有关知识打下基础 .
3 ．在教学中，本课力求向学生提供从事数学活动的 时间与空间，为学生的自主探索与同伴的合作交流提供 保障，从而促进学生学习方式的转变，使之获得广泛的 数学活动经验 . 教师在学习活动中是组织者、引导者与合 作者，应注意评价学生在活动中参与程度、自信心、是 否愿意交流等，给学生以适时的引导与鼓励题 : 25.2 列 举法求概率
教学目标：
知识与技能目标 学习用列表法、画树形图法计算概率，并通过比较 概率大小作出合理的决策。
过程与方法目标 经历实验、列表、统计、运算、设计等活动，学生 在具体情境中分析事件，计算其发生的概率。渗透数形 结合，分类讨论，由特殊到一般的思想，提高分析问题 和解决问题的能力。
情感与态度目标 通过丰富的数学活动，交流成功的经验，体验数学 活动充满着探索和创造，体会数学的应用价值，培养积 极思维的学习习惯。
教学重点：
习运用列表法或树形图法计算事件的概率。
教学难点： 能根据不同情况选择恰当的方法进行列举，解决
较 复杂事件概率的计算问题。
教学过程 1.
创设情景，发现新知
教材是通过P151 — P152的例5、例6来介绍列表法 和树形图法的。
例5 (教材P151):同时掷两个质地均匀的骰子，计 算下列事件的概率： (1) (2) (3)
两个骰子的点数相同； 两个骰子的点数的和是 9； 至少有一个骰子的点数为 2。
这个例题难度较大，事件可能出现的结果有 36种 若首先就拿这个例题给学生讲解，大多数学生理解起来 会比较困难。所以在这里，我将新课的引入方式改为了 一个有实际背景的转盘游戏 （前一课已有例2作基础）。
（ 1 ）创设情景 引例：为活跃联欢晚会的气氛，组织者设计了以下 转盘游戏：A、B两个带指针的转盘分别被分成三个面积 相等的扇形，转盘 A上的数字分别是1，6，8,转盘B上 的数字分别是 4， 5， 7（两个转盘除表面数字不同外，其 他完全相同）。每次选择 2名同学分别拨动 A、B两个转 盘上的指针，使之产生旋转，指针停止后所指数字较大 的一方为获胜者，负者则表演一个节目 （若箭头恰好停留 在分界线上，则重转一次） 。作为游
戏者，你会选择哪个 装置呢？并请说明理由。
【设计意图】 选用这个引例，是基于以下考虑：以贴近 学生生活的联欢晚会为背景，创设转盘游戏引入，能在 最短时间内激发学生的兴趣，引起学生高度的注意力， 进入情境。
（ 2）学生分组讨论，探索交流 在这个环节里，首先要求学生分组讨论，探索交流。
然后引导学生将实际问题转化为数学问题，即： “停止转动后，哪个转盘指针所指数字较大的可能 性更大呢？”
由于事件的随机性，我们必须考虑事件发生概率的 大小。此时我首先引导学生观看转盘动画，同学们会发
现这个游戏涉及 A、B两转盘， 即涉及2个因素，与前一 课所讲授单转盘概率问题（教材 P148 例 2）相比，可能 产生的结果数目增多了，列举时很容易造成重复或遗漏。 怎样避免这个问题呢？
实际上，可以将这个游戏分两步进行。 于是，指导 学生构造表格
（ 3 ）指导学生构造表格
A B首先考虑转动A盘：指针可能指向1, 6, 8三个 数字中的任意一个，可能出现的结果就会有 3 个。接着 考虑转动B盘：当A盘指针指向1时，B盘指针可能指向
4、 5、 7 三个数字中的任意一个,这是列举法的简单情 况。当A盘指针指向6或8时，B盘指针同样可能指向4、
5、 7 三个数字中的任意一个。一共会产生 9 种不同的结 果。
【设计意图】 这样既分散了难点,又激发了学生兴 趣,渗透了转化的数学思想。
（ 4）学生独立填写表格,通过观察与计算,得出结 论（即列表法）
A B（1, 4）（1, 5）（1, 7） 6 （6, 4）（ 6, 5）（ 6, 7） 8 （8, 4）（ 8, 5）（ 8, 7）
从表中可以发现： A 盘数字大于 B 盘数字的结果共有 5 种。
••• P（A数较大）=,P（B 数较大）••• P（A数较大）＞ P（B 数较大 ）
•••选择A装置的获胜可能性较大。
在学生填写表格过程中，注意向学生强调数对的有 序性。 由于游戏是分两步进行的，我们也可用其他的方法 来列举。即先转动A盘，可能出现 1, 6, 8三种结果； 第二步考虑转动B盘，可能出现 4，5，7三种结果。
（5）解法二：
由图知：可能的结果为： 7），
（1， 4）， （1 ， 5）， （1
，
7（6（6（6， 4）， 5），
， ， ），
（8， 4）， （85）， （87
， ， ）。
共计 9 种。
••• P（A数较大）=,P（B 数较大）••• P（A数较大）＞ P（B 数较大 ）
•••选择A装置的获胜可能性较大。
然后，引导学生对所画图形进行观察：若将图形倒 置，你会联想到什么？这个图形很像一棵树，所以称为 树形图 （在幻灯片上放映） 。列表和树形图是列举法求概 率的两种常用的方法。
【设计意图】 自然地学生感染了分类计数和分步计数 思想。 2.
自主分析，再探新知 通过引例的分析，学生对列表法和树
形图法求概率 有了初步的了解，为了帮助学生熟练掌握这两种方法， 我选用了下列两道例题（本节教材 P151 — P152的例5和 例 6 ）。
例 1：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件 的概率： （1） 两个骰子的点数相同； （2） 两个骰子的点数的和是 9； （3） 至少有一个骰子的点数为 2。
例 1 是教材上一道“掷骰子”的问题，有了引例作 基础，学生不难发现：引例涉及两个转盘，这里涉及两 个骰子，实质都是
涉及两个因素。于是，学生通过类比 列出下列表。 第2个
第 1 个 12（1，1）（1，2）（1，3）（ 1，4）（ 1， 5）（ 1，6） 2 6）
3 ( 3， 1) ( 3， 2) ( 3， 3) ( 3， 4) ( 3， 5) ( 3
，
6)
( ( 4 ( 4 ( 41) 2) ( 4 ， 3) 4 ( 4，4 ， ， 4) ， 5) ，
（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，
6)
( ( 5 ( 5 ( 51) 2) ( 5 ， 3) 5 ( 5，5 ， ， 4) ， 5) ，
6)
( ( 6 ( 6 ( 6( 6， 1) 2) ( 6 ， 3) 4) 5) 6
6 ， ， ， ， 6）
由上表可以看出，同时掷两个骰子，可能出现的结
果有 36 个，它们出现的可能性相等。由所列表格可以发 现：
（1） 满足两个骰子的点数相同（记为事件 A）的结 果有 6 个，即（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）， （5，5），（ 6，6），所以 P（A）= = 。 [ 满足条件的结果在表格的对角线上 ]
（2） 满足两个骰子的点数的和是 9（记为事件B）的 结
果有 4 个，即（3，6），（4，5），（5，4），（ 6，3）， 所以 P（B）= = 。
[ 满足条件的结果在（ 3，6）和（ 6，3）所在的斜线 上]
（3）至少有一个骰子的点数为 2（记为事件C）的结 果有 11 个，所以 P(C)= 。
[ 满足条件的结果在数字 2 所在行和 2 所在的列上 ] 接着，引导学生进行题后小结： 当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数 目较多时，通常采用列表法。运用列表法求概率的步骤 如下：
①
列表 ；
② 通过表格计数，确定公式 P(A)=中m和n的值； ③ 利用公式 P(A)= 计算事件的概率。 分析到这里，我会问学生：“例 1 题目中的“掷两
个骰子”改为“掷三个骰子”，还可以使用列表法来做 吗？”由此引出下一个例题。
例 2 ： 甲口袋中装有 2 个相同的球，它们分别写有 字母A和B;乙口袋中3个相同的球，它们分别写有字母 C、D和E;丙口袋中2个相同的球，它们分别写有字母 和 I 。从三个口袋中各随机地取出 1 个球。
(1)
取出的三个球上恰好有 1个、 2个和 3个元音 字母
H
的概率分别为多少？
(2)
取出的三个球上全是辅音字母的概率是多少？ 例 2 与
前面两题比较，有所不同：要从三个袋子里
摸球，即涉及到 3 个因素。此时同学们会发现用列表法 就不太方便，可以尝试树形图法。
本游戏可分三步进行。分步画图和分类排列相关的 结论是解题的关键。 从图形上可以看出所有可能出现的结果共有 12 个，即：
（幻灯片上用颜色区分） 这些结果出现的可能性相等。 （1）只有一个元音字母的结果（黄色）有 ACH ADH BCI, BDI, BEH 所以;
有两个元音的结果（白色）有 4 个，即 ACI， ADI， AEH BEI，所以;
全部为元音字母的结果 （绿色）只有 1 个，即 AEI ， 所以 。 （2）全是辅音字母的结果 （红色）共有 2 个，即 BCH， BDH所以。
通过例 2 的解答，很容易得出题后小结： 当一次试验要涉及 3 个或更多的因素时，通常采用 “画树形图”。运用树形图法
求概率的步骤如下：（幻灯片） ①
画树形图 ；
5 个，即
② 列出结果，确定公式 P（A）=中m和n的值； ③ 利用公式 P（A）= 计算事件概率。 接着我向学生提问：
到现在为止，我们所学过的用
列举法求概率分为哪几种情况？ 列表法和画树形图法求 概率有什么优越性？什么时候使用“列表法”方便，什 么时候使用“树形图法”更好呢？
【设计意图】 通过对上述问题的思考，可以加深学 生对新方法的理解，更好的认识到列表法和画树形图法 求概率的优越性在于能够直观、快捷、准确地获取所需 信息，有利于学生根据实际情况选择正确的方法。 3.
应用新知，深化拓展 为了检验学生对列表法和画树形图法
的掌握情况， 提高应用所学知识解决问题的能力，在此我选择了教材 P154课后练习作为随堂练习。
（ 1 ）经过某十字路口的汽车，它可能继续前行，也 可能向左或向右，如果这三种可能性大小相同。三辆汽 车经过这个十字路口，求下列事件的概率：
①
三辆车全部继续前行；
② 两辆车向右转，一辆车向左转； ③ 至少有两辆车向左转。
[ 随堂练习 （1）是一道与实际生活相关的交通问题， 可用树形图法来解决。 ]
（2）在 6 张卡片上分别写有 1——6 的整数，随机地 抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第二次取出 的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？
通过解答随堂练习（ 2），学生会发现列出的表格和 例 1 的表格完全一样。不同的是：变换了实际背景，设 置的问题也不一样。这时，我提出：我们是否可以根据 这个表格再编一道用列举法求概率的题目来呢？ 为了进一步拓展思维，我向学生提出了这样一个问 题，供学生课后思考：
在前面的引例中，转盘的游戏规则是不公平的，你 能把它改成一个公平的游戏吗？
【设计意图】 以上问题的提出和解决有利于学生发 现数学问题的本质，做到举一反三，融会贯通。 4.
归纳总结，形成能力 我将引导学生从知识、方法、情感三
方面来谈一谈 这节课的收获。要求每个学生在组内交流，派小组代表 发言。
【设计意图】 通过这个环节，可以提高学生概括能 力、表达能力，有助于学生全面地了解自己的学习过程， 感受自己的成长与进步，增强自信，也为教师全面了解 学生的学习状况、因材施教提供了重要依据。 5.
布置作业，巩固提高 考虑到学生的个体差异，为促使每一
个学生得到不 同的发展，同时促进学生对自己的学习进行反思，在第 五个环节“布置作业，巩固提高”里作如下安排：
1）必做题：书本 P154/ 3 ，P155/ 4 ，5
(2)选做题：
① 请设计一个游戏，并用列举法计算游戏者获胜的 概率。
② 研究性课题：通过调查学校周围道路的交通状况， 为交通部门提出合理的建议等。
【设计意图】 通过教学实践作业和社会实践活动， 引导学生灵活运用所学知识，让学生把动脑、动口、动 手三者结合起来，启发学生的创造性思维，培养协作精 神和科学的态度。 25 ．3 利用频率估计概率 疑难分析：
1 ．当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生 的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率．
2 ．利用频率估计概率的数学依据是大数定律：当试 验次数很大时，随机事件 A出现的频率，稳定地在某个 数值P附近摆动.这个稳定值 P,叫做随机事件 A的概率， 并记为 P(A)=P． 3 ．利用频率估计出的概率是近似值 . 例题选讲
例 1 某篮球运动员在最近的几场大赛中罚球投篮的 结果如下：
投篮次数 n8101291610 进球次数 m6897127 进球频率
(1) 计算表中各次比赛进球的频率；
(2) 这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少？
解答：( 1) 0.75,0.8,0.75,0.78,0.75,0.7 ；
( 2)0.75 ． 评注：本题中将同一运动员在不同比赛中的投篮视 为同等条件下的重复试验，所求出的概率只是近似值．
例 2 某商场设立了一个可以自由转动的转盘
( 如图 ) ，
并规定：顾客购物 10 元以上能获得一次转动转盘的机会， 当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖 品，下表是活动进行中的一组统计数据： (1) 计算并完成表格：
转动转盘的次数 n1001502005008001000 落在“铅笔”的次数 01 落在“铅笔”的频率
(2) 请估计，当 很大时，频率将会接近多少？ (3) (4)
转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少？ 在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心 角大约是
多少？ ( 精确到 1°)
解答：( 1)0.68、0.74、0.68 、0.69 、0.6825 、
0.701 ；
( 2)0.69 ； ( 3)0.69 ；
(4) 0.69 X 360°〜248°.
评注：( 1)试验的次数越多，所得的频率越能反映 概率的大小；( 2)频数分布表、扇形图、条形图、直方 图都能较好地反映
频数、频率的分布情况，我们可以利 用它们所提供的信息估计概率．
基础训练
一、选一选 (请将唯一正确答案的代号填入题后的括 号内) 1 ．盒子中有白色乒乓球 8 个和黄色乒乓球若干个， 为求得盒中黄色乒乓球的个数，某同学进行了如下实验： 每次摸出一个乒乓球记下它的颜色，如此重复 360 次， 摸出白色乒乓球 90 次，则黄色乒乓球的个数估计为 ( ) 新课标第一网 A ．90 个 B ．24 个 C．70 个 D．32 个
2 ．从生产的一批螺钉中抽取 1000 个进行质量检查， 结果发现有 5 个是次品，那么从中任取 1个是次品概率约 为( )． A ． B ． C ． D．
3 ．下列说法正确的是 ( ) ．
A ．抛一枚硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着 地的机会一样大；
B ．为了解汉口火车站某一天中通过的列车车辆数， 可采用全面调查的方式进行；
C ．彩票中奖的机会是 1％，买 100张一定会中奖； D ．中学生小亮，对他所在的那栋住宅楼的家庭进行 调查，发现拥有空调的家庭占
100％，于是他得出全市
拥有空调家庭的百分比为 100％的结论．
4 ．小亮把全班 50 名同学的期中数学测试成绩，绘 成如图所
示的条形图，其中从左起第一、二、三、四个 小长方形高的比是1 : 3 : 5 : 1.从中同时抽一份最低分 数段和一份最高分数段的成绩的概率分别是（ ）． A ． 、 B ． 、 C ． 、 D ． 、
5 ．某人把 50 粒黄豆染色后与一袋黄豆充分混匀， 接着抓出 1 00黄豆，数出其中有 10 粒黄豆被染色，则这 袋黄豆原来有（ ）． A . 10 粒 B . 160 粒 C . 450 粒 D . 500 粒
6 ．某校男生中，若随机抽取若干名同学做“是否喜 欢足球”的问卷调查，抽到喜欢足球的同学的概率是 这个 的含义是（ ）． A ．只发出 5 份调查卷，其中三份是喜欢足球的答卷； B ．在答卷中，喜欢足球的答卷与总问卷的比为 3 : 8;
C ．在答卷中，喜欢足球的答卷占总答卷的 ；
D ．在答卷中，每抽出 100 份问卷，恰有 60 份答卷是 不喜欢足球．
7 ．要在一只口袋中装入若干个形状与大小都完全相 同的球，使得从袋中摸到红球的概率为 ，四位同学分别 采用了下列装法，你认为他们中装错的是（ ）．
A ．口袋中装入 10 个小球，其中只有两个红球； B ．装入 1 个红球， 1 个白球， 1 个黄球， 1 个蓝球， 1 个黑球；
C ．装入红球 5 个，白球 13 个，黑球 2 个；
D ．装入红球 7 个，白球 13 个，黑球 2 个，黄球 13 个． 8 ．某学生调查了同班同学身上的零用钱数，将每位 同学的零用钱数记录了下来 （单位：元） ： 2，5， 0，5， 2，5， 6，5，0，5，5，5， 2，5， 8，0，5， 5，2， 5，5， 8，6， 5，2，5，5，2，5， 6，5， 5， 0， 6， 5，6， 5，2， 5，0.
假如老师随机问一个同学的零用钱，老师最有可能 得到的回答是（ ）．
A ． 2 元 B．5 元 C．6 元 D．0 元 二、填一填
9 ． 同时抛掷两枚硬币，按照正面出现的次数，可 以分为“2 个正面”、“1 个正面”和“没有正面”这 3 种可能的结果，小红与小明两人共做了 6 组实验，每组 实验都为同时抛掷两枚硬币 10 次，下表为实验记录的统 计表：
结果第一组第二组第三组第四组第五组第六组 两个正面 335142
一个正面没有正面 120 由上表结果，计算得出现“2 个正面”、“1 个正面”和“没有正面”这 3 种结果的频 率分别是 _____________________________ ．当试验组数增加到很大 时，请你对这三种结果的可能性的大小作出预测：
10 ．红星养猪场 400 头猪的质量 （ 质量均为整数千克 ） 频
率分布如下，其中数据不在分点上
组别频数频率 ~ 5040~ 5580~ 60160~ 6580~ 7030 71~ 7510
从中任选一头猪，质量在 65kg 以上的概率是
11 ．为配和新课程的实施，某市举行了“应用与创 新”知识竞赛，共有 1 万名学生参加了这次竞赛（满分 100 分，得分全为整数） 。为了解本次竞赛成绩情况，从 中随机抽取了部分学生的竞赛成绩，进行统计，整理见 下表：
组别分 组频 数频率〜59.5600.12 259.5 99.5b0.02
合 计 a1.00
表中 a= _______ ,b= _______ , c = _________ ; 若成绩 在 90 分以上 （含 90 分）的学生获一等奖，估计全市获一 等奖的人数为 ________________ ．
三、做一做
12 ．小颖有 20 张大小相同的卡片，上面写有 1~20 这 20 个数字，她把卡片放在一个盒子中搅匀，每次从盒 中抽出一张卡片，记录结果如下：
〜69.51200.2 〜79.51800 〜89.5130 〜
实验次数 20406080100120140160180200 3 的倍数的频数 513172632 的倍数的频率 （1） 完成上表;
（2） 频率随着实验次数的增加，稳定于什么值左右？ （ 3）从试验数据看，从盒中摸出一张卡片是 数的概率估计是多少？
（ 4 ）根据推理计算可知，从盒中摸出一张卡片是
3 3 的倍
的倍数的概率应该是多少？．甲、乙两同学开展“投球 进筐”比赛，双方约定：① 比赛分 6局进行，每局在指 定区域内将球投向筐中，只要投进一次后该局便结束;
② 若一次未进可再投第二次，以此类推，但每局最多只
能投8次，若8次投球都未进，该局也结束；③ 计分规 则如下： a. 得分为正数或 0；b. 若 8次都未投进，该局 得分为 0；c. 投球次数越多，得分越低； d.6 局比赛的 总得分高者获胜 . (1)
设某局比赛第 n(n=1,2) 次将球投进，请你按上 述约定，
用公式、表格或语言叙述等方式，为甲、乙两 位同学制定一个把n换算为得分M的计分方案； (2)
若两人 6 局比赛的投球情况如下 (其中的数字表
8
示该局比赛进球时的投球次数，“x”表示该局比赛 次投球都未进 )：
第一局第二局第三局第四局第五局第六局
甲 5X乙 82426X
根据上述计分规则和你制定的计分方案，确定两人 谁在这次比赛中获胜 .
四、试一试
16 ．理论上讲，两个随机正整数互质的概率为
P= ．请你和你班上的同学合作，每人随机写出若干对正 整数(或自己利用计算器产生) ，共得到 n 对正整数，找 出其中互质的对数
m计算两个随机正整数互质的概率，
利用上面的等式估算 的近似值． 解答
1 ．D2．B3．B 4 ． A5． C6． C 7．C8．B
9 ． ； 10. 0.1,0.2,0.4,0.2,0.075,0.025 ； 0． 50,10,0.26 ； 200
三、 12．（ 1）
0.25,0.33,0.28,0.33,0.32,0.30,0.33,0.31,0.31,0.31 （ 2）0.31 ；
（ 3）0.31 ； （4）0.3
13 ．解： （1） 计分方案如下表：
n（ 次）12（ 分 ）87654321
（ 用公式或语言表述正确，同样给分 .）
（2） 根据以上方案计算得 6 局比赛，甲共得 24 分， 乙共得分 23 分，所以甲在这次比赛中获胜．
四、略
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