插值型求积公式一般形式

求积是数学中常用到的一类计算问题，从微积分的定义中也可以明确看出，求积是求定积分的特殊情况。其中有一种情况，是用插值的方法来求积，即插值型求积公式。

什么是插值？通常而言，插值指的是在数据点之间，使用某种拟合函数来代替原始的数据，而将这种拟合的函数引入到求积的过程中，就形成了插值型求积公式。

一般而言，插值型求积公式均可以表示为： $$

int_{a}^{b}f(x)varphi_n(x)dx $$

其中，$f(x)$表示待求积函数，$a$和$b$分别表示积分区间的下限和上限，$varphi_n(x)$表示插值函数，插值函数的选择可以不同，比如有多项式插值法、拉格朗日插值法、牛顿插值法等等，它们的构造方式也各有不同。

一般来说，对于某种插值函数，它们都可以表示为： $$

varphi_n(x)=C_0+C_1(x-x_0)+C_2(x-x_0)(x-x_1)+cdots+C_n(x-x_0)(x-x_1)cdots(x-x_{n-1}) $$

这里，$C_0,C_1,ldots,C_n$表示插值函数中的常数系数，

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$x_0,x_1,ldots,x_{n-1}$表示分别是区间[a,b]内等分后的n个数据点。

假定某插值函数的形式已知，我们可以求解它的常数系数。一般的求解方法分为三步：

（1）选取待求积函数$f(x)$在n个等分点$x_0,x_1,ldots,x_{n-1}$的值$f(x_0),f(x_1),ldots,f(x_{n-1})$;

（2）令$C_0,C_1,ldots,C_n$为未知常数，将它们代入插值函数$varphi_n$中，构造出一个关于$C_0,C_1,ldots,C_n$的方程组； （3）将这个方程组求解，解出$C_0,C_1,ldots,C_n$便求得了插值函数$varphi_n$的形式。

有了插值函数，就可以使用插值型求积公式来计算积分值了，这是一种大大减轻了计算任务的积分计算方法。

插值型求积公式的应用比较多，特别是在积分计算的实际应用中，如果给定的待积函数的形式比较复杂，又不太好用普通定积分的方法求解，此时就可以采取插值型求积公式。它也常常用在用有限数据估计函数值的实际工程中。

从以上可知，插值型求积公式是一种比较重要的数学方法，它不仅可以简化积分计算的任务，还有很多的实际应用。

综上所述，插值型求积公式在解决一些新的积分计算问题中有着重要的作用，它具有简化积分计算任务的优点和很多的实际应用价值。因此，它是一个值得深入研究和发展的数学方法。

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