振动力学答案

习题与综合训练 第一章

2-1 一单层房屋结构可简化为题2-1图所示的模型，房顶质量为m，视为一刚性杆；柱子

高h，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。

解：由于两根杆都是弹性的，

可以看作是两根相同的弹簧的并联。

等效弹簧系数为k

则 mgk

其中为两根杆的静形变量，由材料力学易知

mgh3=24EJ

24EJ 则 k=h3

设静平衡位置水平向右为正方向，则有 \" mxkx

p24EJn 所以固有频率

mh3 

F F

h



mg

2-2 一均质等直杆，长为 l，重量为 W，用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题2-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。

解：给杆一个微转角

a2＝h

2F＝mg

由动量矩定理： IMI112ml2Fasincos2mga2mga2M8ha

其中

sincos21 1a212ml2mg4h0p23ga2nl2h T2πl2h2πlhp2πn3ga2a3g2-3 求题2-3图中系统的固有频率，悬臂梁

端点的刚度分别是k1和k3，悬臂梁的质量忽略不

计。

解：悬臂梁可看成刚度分别为k1和k3的弹簧，因此，k1与k2串联，设总刚度为k1ˊ。k1ˊ与k3并联，设总刚度为k2ˊ。k2ˊ与k4串联，设总刚度为k。即为

Fsin

1k2k1k2k 12k

k1kk2k32，

k1k2，

kk1k2k4k2k3k4k1k2k4k1k3k2k3k1k2k1k4k2k4 p2k1k2k4k2k3k4k1k2k4m(k1k3k2k3k1k2k1k4k2k4)

2-4 求题2-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭

转振动的固有频率。其中J1、J2和

J3是

三个轴段截面的极惯性矩，I是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为G。 解：

k1GJ1/l1 （1） k2GJ2/l2 （2） k3GJ3/l3 （3）

（4）

dE0dtR13I0m12m2R2xxk1Rk2xx22

得系统的运动方程为： 消去xR13Immxkk2122R21Rx022 系统的固有频率为：

Rk11k2R2p3Imm122R22k23GJ2J3/(J2l3J3l2)

Pn2(k1k23)/I由（1）(2)(3)(4)知Pn2G(J1J2l3J3J1l2J2J3l1)/Il1(J2l3J3l2)

2-5 如题2-5图所示，质量为m2的均质圆

2-6 如题2-6图所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为

I0盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I，忽略绳子的弹性、质量及个轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。

解：此系统是一个保守系统，能量守恒 系统的动能为：

11111xx2m2x2m2r2ITm1x22222rR22，求系统的固

有频率。

解：设曲臂顺时针方向转动的角为广义坐标，

系统作简谐运动，其运动方程为

sin(pnt)

2。很小，系统的动能为

T1112m1(a)2m2(l)2IO222 pncos(pnt)系统的势能为：

U1x12k1Rkx1222R2

2

所以，

11122222222TIpmpapnlOn1n131I21R11max2222 ETU2k1R2k2x2m14m22R2x2 取系统平衡位置为势能零点。设各弹簧在静2由于能量守恒

,,平衡位置伸长为123，由

总能量

mO(F)0，

k11am1gak33bk22l0（A）

由题意可知，系统势能为

V2-8l、质量为m的均质刚性杆铰 一长度为

接于O点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如题2-8

图所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数

111和阻尼固有频率的表达式。 k1[(a1)212]k3[(b3)232]k2[(l2)222]m1ga222解：图（1）为系统的静平衡位置，画受力（B）

图如（2）。由动量矩定理，列系统的运动微分方

将（A）式代入（B）式，可得系统最大势能为，

程为：

111cl2ka20I0Vmaxk12a2k32b2k22l2 222 1I0ml2TVmax3由， max

11122222IO2pnm12pna2pnl222得

c3ka20mml23ka2pml22n111k12a2k32b2k22l2222

k1a2k3b2k2l22pn22ImamlO12所以，有

2-7 一个有阻尼的弹簧--质量系统，质量为10 kg，弹簧静伸长是1cm，自由振动20个循环后，振幅从0.64 cm减至0.16cm，求阻尼系数c。

解：振动衰减曲线得包络方程为：XAent2n3cm

当n＝pn时，c＝cC

2nm2pnm2amkcC33l3

2-9 如题2-9图所示的系统中，刚杆质量不计，试写出运动微分方程，并求临界阻尼系数及

固有频率。

0.64e20nTd振动20个循环后，振幅比为：0.16

ln4Td20n Tln4242Td()22220nPN15n代入,得：

解：

Pn又

g10gdst

42ln42()2100gN20n＝

c = 6.9 N s /m 2acclmk3ka22p3，nml2

YO

XO

FK

O



FC

mg

Ikbbcaaml2kb2ca2kb2ca2ml2ml20p2kb2nml2pbknlmca22nml2当npn时ca2bk2ml2lmc2blca2mk224pdp2kbnn2ml2ca4m2l412ml4kmb2l2c2a422-10 如题2-10图所示，质量为2000 kg

的重

物以3 cm/s的速度匀速运动，与弹簧及阻尼器相撞后一起作自由振动。已知k =48020 N/m，c =1960 Ns/m，问重物在碰撞后多少时间达到最大振幅?最大振幅是多少?

解：以系统平衡位置为坐标原点，建立系统运动微分方程为

x2nxp2nx0

ck所以有 x+mx+mx =0

196048020其特征方程为：r2+2000r+2000=0 r =-0.494.875i

所以：x =c1e0.49tcos4.875t+c2e0.49tsin4.875t 由于n < pn，由已知条件， nc2m1960220000.49，

p2nkm48020200024.01，x00，x00.03m/s。

故通解为

xent(C1cospdtC2sinpdt)

其中，

pdp2nn24.875。

（代入初始条件，当t=0时，x=0, c1=0

当t=0时，x=0,

c2=0.006

x=0.006e0.49tsin4.875t

x=0.006e0.49t(-0.49) sin4.875t+0.0064.875cos4.875

当x=0时，振幅最大，此时t=0.03s。当 t=0.03s时，x=0.005m）

代入初始条件，得

Cnx0x01x00,Cx02p0.006dpd，得

xCnt2esinpdt

物体达到最大振幅时，有

xnCnt2esinpdtC2entpdcospdt0

既得t = 0.30 s时，物体最大振幅为

x0.006e0.490.3sin(4.8750.3)0.528 cm

2-11 由实验测得一个系统的阻尼固有频率为

pd，在简谐激振力作用下出现最大位移值的

激振频率为

m

，求系统的无阻尼固有频率

pn、

相对阻尼系数及对数衰减率。

22n解：mpn12， pdpnn2，

pn；

三个方程联立，解得：

p22dm2p22dm p2n2pd2m

222nT22dpnpdm21dppdmpd

习题与综合训练 第二章

2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m，作自由振动时

Ai4.的阻尼振动周期为1.8s，相邻两振幅的比值

A2i11，

若质量块受激振力F(t)360cos3tN的作用，求系统的稳态响应。

解：由题意，可求出系统的运动微分方程为

xp2nx2nx360mcos3t

得到稳态解

xBcos(3t)

其中

BB0360(12)2422B0k0.45m

tg2n2

p2n212

由

AiA4.2enTdi1 lnnTdTd1.8nln

T0.797pπd2dT3.489d

又

pdp2nn2

有

p222npdnpn3.579

p33.5790.838nnp0.7973.5790.223nB0.45(10.838)240.22320.83820.450.4081.103tg20.2230.83810.83820.3740.2981.25551.45所以 x＝1.103 cos(3t－5127)

2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率16rad/s时，系统发生共振；给质量块增

加1 kg的质量后重新试验，测得共振频率25.86rad/s，试求系统原来的质量及弹簧刚度。

解：设原系统的质量为m，弹簧常数为k

pknkmpn1由

，共振时m 6k所以 m

又由 当

p n2km15.86

②

①与②联立解出

m＝20.69 kg

k＝744.84 N/m

2-3总质量为W的电机装在弹性梁上，使梁产生静

挠度

st，转子重Q，重心偏离轴线e，梁重及阻尼可以

不计，求转速为时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。

解：列出平衡方程可得：

Wk(stx)Q2gwesinwtWgxWgxkxQgw2esin(wt)xkgWxQWw2esin(wt)

所以：

kgWQhw2eW PnWWkst即kst

又因为

ka2katgkmwkap0p0arctgp0 kmw2

1x(t)Bsinwt12p02k2asinwtarctgk2p将结果代入BhP2W22得：nB=Qw2estW(gw2st)

即为所求的振幅

2-4如题2-4图所示，作用在质量块上的激振力

F(t)F0sint，弹簧支承端有运动

xsacost，

写出系统的运动微分方程，并求稳态振动。

2-4图

解：选xs0时物块平衡位置为坐标原点O，建立坐标系，如右图，

则 mxk(xxs)p(t) 即mxkxkxsp(t)即 mxkxka

coswtp0sinwt （*）p0改成F0，下面也都一样

利用复数求解 ， 用 ejwt代换sinwt 并设方程

（*）的解为这里求的是特解，也就是稳态解。

x(t)Bejwt 代入方程（*）得Bp0jkakmw2Bej其中B为振幅，为响应与激励之间的相位差，有

22BBp0kmw2kakmw2=

p2p20p2200ka2m2p4p42a2nmm2p22na2nw2p422n1122

1p2012k2a2。

w其中

p,pknnm

2-5如题2-5图的弹簧质量系统中，两个弹簧的连接

处有一激振力

F0sint，求质量块的振幅。

题2-5图

解：设弹簧1，2的伸长分别为x1和x2，

题

则有，

xx1x2

（A）

由图（1）和图（2）的受力分析，得到

k1x1k2x2P0sint

（B）

mxk2x2 （C）

联立解得，

mxk1k2kkxk2kP0sint12k12 xk1k2(k)mxk2(kP0sint1k21k2)m

pk2nk1所以

m(k1k2)，n = 0，得，

BhH1(p22n2)2(2n)k(12)2(2)2-6在题2-6图示的系统中，刚性杆AB的质量忽略不计，B端作用有激振力

F0sint，写出系统运动微分

方程，并求下列情况中质量m作上下振动的振幅值∶(1)系统发生共振；(2)等于固有频率

pn的一半。

2-6图

解：图（1）为系统的静平衡位置，以为系统的广义坐标，画受力如图（2）

I2lc(2l)3lk(3l)3lP0sint

又 I＝ml2

4c

mkm3mlP0sint

则

p29knm

4c2nm,h3p0ml

Bh(p22n)2(2n)2BlBhl(p22n)2(2n)2

1）系统共振，即

pn

Bhl(3p0/ml)l2npn4c9kmmp0m

4ck

12）

2Pn

3p0mllBhl3227k24p22n(npn)Y4c29kA 4mm2m4p

01P0sint

9kXA 164

c2A



81mk

题

mg B

FC

FK

2-7写出题2-7图示系统的运动微分方程，并求系统固有频率

pn、阻尼比及稳态响应振幅。

题2-7图

解：以刚杆转角为广义坐标，由系统的动

量矩定理

4l2mk(lxs)lcl2

即

c4mk4mkalsint

pk令，

n4m，2nc4mnc，pn8mpn，

hka4ml，pn得到

Bh(p2n2)2(2n)2

kaBB2l4ml2l22ap22(12)2n(1n2p2)(2np)npn2-8一机器质量为450kg，支承在弹簧隔振器上，弹簧静变形为0.5cm。机器有一偏心重，产生偏心激振力

F202.254gN，其中是激励频率，g是重力加速

度。求(1)在机器转速为1200 r/min时传入地基的力；(2)

机器的振幅。

解：设系统在平衡位置有位移x， 则

E证明

F02k2mxkxF012222

x即又有

Fkx0mm

kmg 则

Ec2B2cos(t)dtcB20Tst（1）

F02Bk12（2）且所以机器的振幅为

mgkstBF0/k122422F02/k22Ec12422F02k22122pradn，40s（3）

p2kgn又有mst（4）

将（1）（2）（4）代入（2）得机器的振幅

B=0.584 mm 则传入地基的力为

pTkB514.7N

2-9一个粘性阻尼系统在激振力

F(t)F0sintx(t)Bsintπ作用下的强迫振动力为6，已知

F019.6N，B =5 cm ，20πrad/s，求最初1秒及

1/4秒内，激振力作的功W1及W2。

由已知可得:P(t)P0sinwt19.6sin20tx(t)Bwcos(wt6)cos(20t6)W11=0P(t)x(t)dt1019.6sin20tcos(20t6)dt4.93cos40t1140|04.90(1cos8015.39J同理可得:1W2400P(t)x(t)dt140019.6sin20tcos(20t6)dt0.0395J2-10 证明粘性阻尼在一周期内消耗的能量可表示为

2-11证明简谐激振力作用下的结构阻尼系统在

pn时振幅达最大值。

证明：设结构阻尼的应变幅度为B，则应变改变一周期内所消耗的能量

WsB2

为与材料有关的常数与频率无关，则等效粘性阻尼系数

cB2

eB2 BH由于振幅(km2)2(c2e)

所

以

，

BH1(km2)2(H)2k(12)2(2k)

 其中，

pn

Bht)dt221/(p222c2n)2对m求导得

dB-2hp22dpn(pn)n223/2(p2n2)2cm2， dB当pn时，dp0n，振幅B达到最大值 2-12无阻尼系统受题2-12图示的外力作用，已知x(0)x(0)0，求系统响应。



题2-12图

解：由图得激振力方程为

P10tt1F(t)P1t1tt20tt2

当 0 < t < t1时，F()P1，则有

x(t)tP10mpsinpdP1n(t)2[1cospntnmp]n 由于p2knm，所以有 x(t)P1k[1cospnt]

当t1 < t < t2时，F()P1，则有

x(t)t1P10mpsinpn(t)dntP1tsinpn(t)d1mpn

P1k[cospt)cospPn(t1nt]1k[1cospn(t1t)] 当 t < t2时，F()0，则有

x(t)t1P10mpsinpn(t)dntP1tsinp1mpn(t)dn+ 0

P1k[cosptPn(1t)cospnt]1k[cospn(t2t)cos 2-13如题2-13图的系统，基础有阶跃加速度bu(t)，

初始条件为x(0)x(0)0，求质量m的相对位移。

题2-13图

解：由牛顿定律，可得系统的微分方程为

mxc(xxs)k(xxs)

令

xr(xxs)，则有

mxrcxrkxrmbu(t) 得到系统的激振力为，F()mbu()，可得响应为

xr(t)tmbn(t)0mpesinpd(t)ddbpent[n22ensinppdnd(t)22ecosdnpdnPdbnentn2p2(1sinpdtentcospddpt)d22其中

pdpnnp2，

nkm，2ncm。

2-14上题系统中，若基础有阶跃位移au(t)，求零初始条件下的绝对位移。

解：系统振动的微分方程为

mxc(xxs)k(xxs)

即

mxcxkxkxscxs

基础有阶跃位移au(t),故

xs=0

xs=

aut，则有

mxcxkxkau(t) 得到系统的激振力为，F()kau()，可得响应

为

tFn(txt1t)]0etsinpd mptdtdtkaut0mpentsinpdtdtdx(t)tka0mpen(t)sinpd(t)ddkapdpdmpentnn2p2en[2nt(1dnensinpdtn2cospdtda[1epnt(pnpsinpdtcospdt)]dpnpntpna1esinpdtcospdtpd 其中

pdkcp2npnm，m。 ，

2n22n2-15 求零初始条件的无阻尼系统对题2-15图示激振力的响应。

题

2-15图

P0F(t)P00tt1t2tt2t10tt1t1tt2tt2

F()P0t1，则有

当 0 < t < t1时，

x(t)tP0Ptsinpn(t)d0[cospnt]0mptkt1n1F()P0t2t2t1

当t1 < t < t2时，

x(t))t1，则有

tt10，则有

解：由图得激振力方程为

tP(1)0t1F(t)00tt1tt1

P0sinpn(t)dmpnt1P0t2sinpn(t)dt1mpttn21

P0tsinpntt2(tt1)t2sinpn(tt1)[]kt1pnt1t1(t2t1)pnt1(t2t1) t1P0t1x(t)P0(1)sinpn(t)d[1cospntsinpF])0nt(0mptktpt当 t < t，则有 n11n21时，

t1P0当t < t1时，F()0，则有 x(t)sinpn(t)d0mptn1t11tPx(t)P0(1)sinpn(t)d00t20mptn1t1mpnt2t1sinpn(t)d + 0 P01{cospnt[sinpntsinpn(tt1)]}kpnt1 P0[sinpntsinpn(tt2)t2sinpn(tt1)]kpnt1pn(t2t1)pnt1(t2t1)2-16 零初始条件的无阻尼系统受题2-16图的外力

F()P0(1

当 0 < t < t1时，

作用，求系统响应。

题2-16图

解：由图得激振力方程为

F0tt,0tt11FtFtFt002,t1tt2t1t2t2t10,tt2解：

运动微分方程为

mxkxFt当

0tt1Ft时，

F0tt1

xttF0mpsinpntdntF00mpsinpntdnt1F0tmp(1cosp|t1n(t)0nt1pnp0n(t)d)ncospF0tktF0tktcospn(t)d110F0tF01sinpn(t)|tkt01kt1pnF0tF0ktsinpnt1kt1pnF0tsinpntkt1pnt1

当t1ttFtF0tFt2时，

t02t12t2t1 算法同上，

所以有

xttF0mpsinpntdnt1F0t0mpntsinpd11F0F0t2ntt1mpnt1t2tsin2t1F0t2tsinpntt2sinpntt1ktt21pnt1pnt1t2t1

当

tt2时，

Ft0

xtt1F00mptsinpntdn1t2F0t1mpttt2sinpntdn1t2t2t1+0

F0sinpntt2sinpntt1sinpntt2kpnt1pnt1t2t1pnt2t1



系统响应为

F0tsinpntkt,0tt11pnt1xtF0kt2tsinpntt2sinpntt1p,t1tnt1t2t1pnt1t2t1F0tsinpntt1sinpnttksinpnt2pnt1ptnt1t21pnt2t12-17 零初始条件的无阻尼系统受题2-17图的半正πtpn弦脉冲作用，若

1，求系统响应。

题

2-17图

解：由图得激振力方程为

F(t)P0sint0tt10tt2 当 0 < t < t1时，

F()P0sint，则有

x(t)tP0sintsinp)dP010mpn(t(sinnk1(p)2n当 t > t1时，F()0，则有

ntdx(t)t1P0mp 0sintsinpt)d0P0pnn([sinnk1(p2p)n2-18求无阻尼系统对题2-18图的抛物型外力

F(t)Ft2012t1的响应，已知x(0)x(0)0。

题2-18图

解：由图得激振力方程为

F(t)Pt20P0t20tt110tt1 t22F()P0P0当 0 < t < t1时，t21，则有 ,tt2x(t )tP00mp[122]sinpn(t)dP0[(1222)(1nt1kpnt1p2当 t < t2时，F()0，则有

sinpn(tt1)sinpntb[1]2pnt1pn

x(t)t10P02[12]sinpn(t)d0mpnt1

2-20 求零初始条件的无阻尼系统对题2-20图所示支承运动的响应。

P022{22[cospn(tt1)cospnt]sinpn(tt1)cospnt}kpnt1pnt1

2-19无阻尼系统的支承运动加速度如题2-19图所示，

求零初始条件下系统的相对位移。

题2-19图

解：系统运

动的微分方程为

mxk(xxs)

令

xrxxs，则

mxrkxrmxs

由图得支承运动加速度方程为

xbt0tt1st1btt1

F()mxsmb当 0 < t < t1时，t1，则

有

xtmbbtsinpr(t)0mpsinpn(t)dnt1p2(nt1pnt当 t > t1

时，F()0，则有

xr(t)

t1mb0mpsinpn(t)dnt1tmbtsinpn(t)d1mpn

题2-20图

解：系统运动的微分方程为

mxk(xxs)

mxkxkxs

由图得支承运动方程为

xa1(a1at2)t0tt1s10tt1 当

0

<

t

<

t1时

，

F()kxska1k(a1a2)t1，则有

x(t)tka1k(a1a2)0mpsinpn(t)da1(1cosnt1当 t < t1时，F()0，则有

x(t)t1ka1k(a1a2)0mpsinpn(t)d0nt1aa1a21cospntp[sinpntsinpn(tt1)]a2nt2-21 题2-21图为一车辆的力学模型，已知车的质量m、悬挂弹簧的弹簧常数k及车的水平行驶速度v，

ya2πs1cos道路前方有一隆起的曲形地面∶

lx)。 (1)

求车通过曲形地面时的振动； (2) 求车通过曲形地面后的振动。

nt1车通过曲形地面后tt1以初位移

(t1)y(t1)和初速度y作自由振动，即

y(t1)aa(2cosp22

题2-21图

解：由牛顿定律，可得系统的微分方程为，

myk(yys)

y2sa由曲形地面∶

1coslx，得到 mykykys

得到系统的激振力为，

F()ka(1cos2lx)。

xvtF()ka(1cos2lvt)

（1）车通过曲形地面时0tt1的振动为

y(t)tF()0mpsinpn(t)dnkamp[tsinp)dtn(tn00cossinpn(t)d]a(1cospnt)

apsin(pn)tn{sinpnt[2(p)sin(pn)t2(p]cospcos(nt[nn)2a(1cospappcostpncosn[n222nt)(pn)(pnaap22cospntp22(ncost)n （2）车通过曲形地面后的振动

pn，

y(tap22(2p21)nsinpnt1pnsint1)n

由

公

式

y(t)y(ty(t1)1)cospn(tt1)psinpn(tt1)n，得到

车通过曲形地面后的振动响应为

t)2y(ap22[cospntcospn(tt1)n

p2其中，

nk2m，lv。

或积分为

y(t)t1F()0mpsinpn(t)dnkat1t1mp[sinpn(t)dcossinpn(t)n00d]2ap22[cospntcospn(tt1)n

习题与综合训练 第三章

n)t)cos(pn)t2(ppn22]nn)pnt)]p(ppn2

3-1 复摆重P，对质心的回转半径为

外力矩中不出现，所以对转动轴取矩可直接建立刚体运

C，质心距

动微分方程。这是绕定轴转动微分方程的一般用法。在某些情况下也可用此方程求解未知力。如图(c)所示，若

题3-1图

转动轴的距离为a，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。

解:系统具有一个自由度，选复摆转角为广义坐标，原点及正方向如例图3-1（a）中所示。复摆在任意位置的外力图如题3-1(a)图。

根据刚体绕定轴转动微分方程 JOMO

JOP(22其中 gCa)

得到复摆运动微分方程为 P g(2Ca2)Pacos或

(22Ca)gacos0

d由d和初始条件t0,00,00

将上式分离变量积分可得到复摆在任意位置的角速度。

ga 0d02a2cosdC22ga

所以

22sinCa

0,22ga当

2时，2Ca2，此瞬时复摆的外

力图如图（b）。由质心运动定理

aCa0maCN2a2maCnNaCna2nP22g 所以

N  Ca 0，

(12a2NnP

2)Ca2

要点及讨论

（1）刚体绕定轴转动微分方程

JOMO可与质

点运动基本定律maF类比。运用此方程可解决定轴转动刚体的动力学问题，因通过转动轴的未知约束力在

已知皮带轮角加速度，可用定轴转动微分方程求皮带拉力T，T之间的关系。

（2）当刚体运动确定后,欲求转动轴处的未知约束力，可用质心运动定理，即

maCF

maFCnn

aC式中

Cdvdta，aCna2，a为质心距转动

轴的距离。

约束力沿质心切线与法线方向分解较为方便。 （3）刚体运动微分方程列出后，根据给出的初始

条件进行积分，可求得刚体任意瞬时的角速度及角位移。在本题中也可直接用定积分求出摆至铅垂位置时的角速度，积分式为

d

02ga02a2cosdc。

在铅垂位置处直接应用定轴转动微分方程，可求出此位置的角加速度，即JOMO，此时外力矩MO为

零，所以0。

（4）在本题中也可选例图13-2(d)所示角为广义坐标，此时微分方程为 P2gCa2pasin

。

读者试解释方程中的“一”号表示什么？并给出对应于角的初始条件，然后求解问题（2）。

3-2均质半圆柱体，质心为C，与圆心O1的距离为

e，柱体半径为R，质量为m，对质心的回转半径为C，

在固定平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。

题3-2图

（1）本题也可以用平面运动微分方程求解。系统的受力图与运动分析图如图（b）所示。列写微分方程

解：系统具有一个自由度，选为广义坐标。 mCFxCNmgym2mCF(Recos)Ne半圆柱体在任意位置的动能为：

T1mv212 2C2JC

用瞬心法求v

C： v2C(CC*)2(e2R22Recos)2



J2CmC故

T122m(e2R22Recos)12m2C2

系统具有理想约束，重力的元功为 Wmgesind 应用动能定理的微分形式

dTW

d12m(e2R22Recos)212m2C2mgesin m

(e2R22C)d2mRecosdmRe2sind等式两边同除dt，

m

(e2R22C)2mRecosmRe2sin0，等式两边同除 故微分方程为 m (e2R22Recos2C)mRe2sinmgesin

①

若为小摆动sin，cos1，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为

[(Rr)22C]ge0

要点及讨论

上述方程包含

xC，

yC，，F，N五个未知

量，必须补充运动学关系才能求解。建立质心坐标与广义坐标之间的关系

xCResinyCRecos，

xCRecosyCesin所以

xCRecosesin2⑤yCesinecos2⑥

运动学方程式⑤⑥与方程②③④联立，消去未知约

束力N，F，就可以得到与式①相同的系统运动微分方程。

因为在理想约束的情况下，未知约束力在动能定理

的表达式中并不出现，所以用动能定理解决已知力求运d动的问题更简便、直接。

（2）本题也可用机械能守恒定律求解。

系统的动能mgesin d

T122m(e2R22Recos)1m222C

选半圆柱体中心sinO1所在平面为零势面，系统的势能

Vmgecos 由

TVE

12m(e2R22Recos)21222mCmgecosE

两边对时间t求导数，即可得到与式①相同的运动

微分方程。

3-3 均质杆AB，长l，质量为m，沿光滑墙面滑下，如题3-3图所示。设水平面也为光滑的。列写该系统的运动微分方程。

mge

题3-3图

解：系统具有一个自由度，选为广义坐标。系统在任一位置的动能为

T1mv2122C2JC由瞬心法求质心的速度

vlC2J12，C12ml，

T11所以

23ml22

系统的主动力图为图（a）所示。重力的元功为

WmgdrmglC2sind由动能定理

dTW

所以

d(1122l

23ml)mg2sind系统的运动微分方程为

••3g

2lsin0

要点及讨论

T1J2（1）平面运动刚体可用式2C*计算刚体

动能，式中

JC*JCmd2为刚体对瞬心的转动惯量，d为质心与瞬心间的距离。

2在本题中质心的速度vCvCx2y2也可用式

CC计

算。其中

lxC2sin

ylC2cos

xlCcos2lyC2sin

（2）所谓广义坐标应包含坐标值（线位移或角位移）、坐标原点、坐标正方向。广义坐标的选择一般不是唯一的，例如在本题中也可选杆与水平线的夹角为

广义坐标，正方向如图（b）所示（顺时针），广义坐标选定后其它运动量（位移及位移的一阶、二阶导数）都根据广义坐标确定（包括大小与正方向）。如质心C的位移与速度，正方向应如图所示，大小分别为 vll

C2drCd，2 系统的动能

T11ml22

23

主动力的元功

Wmgl

2cosd

根据动能定理建立的方程为 d(11223ml2)mgl2cosd

所以

3g 2cos“—”号说明当取正值时l 为负，即反时针方向。

（3）本题也可用平面运动微分方程求解，读者试列出方程。

3-4 如题3-4图所示，均质圆柱体质量为m，半径为r，沿倾斜角为的三角块作无滑动滚动，质量为

M的三角块置于光滑的水平面上。列写该系统的运动

微分方程。

题3-4图

解：系统具有两个自由度，选x、xr为广义坐标。

系统具有理想约束，且在水平方向的外力为零，所以系

统机械能守恒：

TVE

11112xr2 222TMxm[(xxrcos)(xrsin)]mr22222r

1111Mx2mx2mxr2mxxrcosmxr22224

12Mx234mx21r2mx2mxxrcosVmgx

rsin

，水平方向动量守恒。

pxC

Mxm(xxrcos)C 整理后可分别列写两个方程

12(Mm)x21232mx2rmxxrcosmgxrsinE ①M

xm(xxrcos)C 式中①②为系统微分方程的首次积分，对时间t求导后，即可得到系统运动微分方程。

[3(mM)g2mcos21]xsincos0

要点及讨论

（1）在理想约束的情况下，动能定理建立了系统的动能与主动力之间的关系，直接给出了系统的速度（或角速度）与位移（或角位移）之间的关系，对时间

t求导一次可得到系统的运动微分方程。

（2）用动能定理建立系统运动微分方程的步骤为： ①分析系统受力，在理想约束的情况下只有主动力作功，所以一般在受力图上只画主动力。

②建立广义坐标，确定其原点和正方向；分析系统运动，重点是分析速度（角速度），将速度（角速度）用广义速度表示。

③计算系统在任意位置的动能，将动能表示为广义坐标、广义速度的函数。

④计算力的功，若用积分形式动能定理，则计算主动力在有限路程上的功，若用微分形式的动能定理，则计算力的元功。

⑤应用动能定理建立系统的受力与运动间的关系。 （3）在理想约束、主动力又为势力的情况下，可用机械能守恒定律建立系统运动微分方程。

（4）对于多自由度系统，如两个自由度系统，动能定理只给出一个方程，必须与其他定理，如动量定理或动量矩定理联合应用，才能得到另外一个方程。

②

题3-5图

3-5题3-5(a)图所示为刚性建筑模型。刚性基础质

量为m，刚性建筑的质量为M，对质心C的转动惯量为IC。两刚体在O处铰接并附有刚度系数为k1的扭转弹簧。其他参数如图示。设地基有水平运动z(t)，试建立系统

微幅运动微分方程。图中kkc22,c12。

解：应用牛顿矢量力学建立刚体运动的微分方程时，首先要画出每个刚体的受力图，如题3-5图(b)、(c)所示。

对于图(b)，建立刚体的水平运动微分方程为 mxk(xz)c(xz)FOx

(1)

对于图(c)：建立刚体在铅垂平面内的运动微分方程

为 MxCFOx

MyCFOyMg

ICk1FOyasinFOxacos

(4)

其中xC、yC及x均是对固定坐标系的坐标，同时考虑到

微小运动的假说，于是有 xCxasinxa

(5)

yCacosa

由方程(1)、(2)消去未知力，FOx并考虑式(5)得 (Mm)xMacxkxczkz

(7)

又由方程(2)、(3)和(4)消去未知力FOy、FOx，并考虑式(5)

和(6)，得 Max(ICMa2)(k1Mga)0

(8)

方程(7)和(8)为系统微幅运动微分方程，若令x和为确

定系统位置的广义坐标，写为矩阵形式

qx



那么，方程(7)和(8)改写为矩阵形式如下：

(Mm)Max0xMa(IMa)cC200k0xczkz 0(k1Mga)0

(9)

由此例题可以看出，应用牛顿矢量力学建立系统的

运动微分方程，一定要画受力图，于是必然要涉及未知约束力，因此较为繁琐，特别是该例中的组合刚体系统更是如此。然而对于多自由度系统，应用拉格朗日方程建立运动微分方程较为简单。

由动静法得,以整体为研究对象：

X0

mxMxk(xz)c(xz)MacosM2asin以M为研究对象：

题3-6图

mo0MxacosMaaIcMgasink1

0很小 sin＝，cos＝1



又忽略高阶小量2，所以以上两式化简后得：

(mM)xMac(xz)k(xz)0 Max(IcMa2)(k1Mga)0化成矩阵形式为：

(Mm)Maxc0xkMa(I2CMa)000(k1

(6)

3-6 题3-6图所示两端简支的均匀梁，已知弯曲刚度为EI，单位长度的质量为m，分布载荷为F(y, t)。试用哈密顿原理求运动方程。

解：若梁的挠曲函数为w(y, t)，则动能为 T12l0mw2(y,t)

(a)

应变（势能）为

12(y,t)dy0l0EIw2

(b)

外力功为 Al0F(y,t)w(y,t)dy (c)

将式(a)、式(b)与式(c)代入变分式 δIt2t(T)dtδ1t2tAdt01 (d)

得到

t2tlmxwδwdycdztkzt2lt21)0tEIwδwdydt10t1l0F(y,t)δwdydt0 0 (e)

对式(e)进行分部积分运算，得到

0Mga δwdymw0t2lt1

(2)

系统的势能为

t2t1t2l0t2δwdydtmwlt2t1(EIw)δw]l0dt[(EIw)δw]l0dt(EIw)δwdydtt2l dydtF(y,t)δwt1t10t10 (f)

由于，tt1t2时，哈密顿原理要求w = 0，因而式(f)

变为

t2lt10mwδwdydtt2t(EIw)δw]l0dt1t2t[(EIw)δw]l01t2lt(EIw)δwdydt10t2lty,t)δwdydt010F( (f)

因为，t1与t2区间的虚位移w不可能为零，由此，得到梁的边界条件

(CEIm)δWl00

(CEIW)δWl00

与运动方程 mw(EIw)F(y,t)

(i)

两端简支的梁，显然是满足边界条件式(h)的。

3-7 应用拉格朗日方程导出题3-7图所示系统的运动微分方程。

题3-7图

解：取各质量偏离其平衡位置的x1、x2、x3、x4为广义坐标。即 qixii1,2,3,4

(1)

则系统的动能 2m1x2222

T111112m2x22m3x32m4x4V12k212(x111x1k22x1)22k3(x3x2)2k4(x4x3)2

(3)

计算拉格朗日方程中的各项导数如下：

q1xdT1dtmx1xT1;01x1Vxk1x1k2(x2x1)(k1k2)x1k2x21qd2x2dtTm2xTx2;x022Vxk2(x2x1)k3(x3x2)k2x1(k2k3)x2qddtT3x3Tx3m3x3;x03V(h) xk3(x3x2)k4(x4x3)k3x2(k3k4)x3q4xdT4dt4m4xTx4;x04Vxk4(x4x3)k4x3k4x44将以上各项导数代入拉格朗日方程得

m1x1(k1k2)x1k2x20m2x2k2x1(k2k3)x2k3x30m3x3k3x2(k3k4)x3k4x40

m4x4k4x3k4x40

(4)

写成矩阵形式 mqkq0

其中

m1000m0m20000m30

000m4 质量矩阵

dtk1k2k200kk2k2k3k300k3k3k4k4

00k4k4 刚度矩阵

qTx1x2x3x4 位移列阵

3-8 在地震研究中，建筑物可简化为支承在两弹

簧上的质量为m的刚体，其中直线弹簧的弹性系数为k，扭转弹簧的弹性系数为kT，如题3-8图所示。设IG为建筑物相对质心G的转动惯量，试利用坐标x（相对于平衡位置的直线运动）及描述建筑物转动的坐标，求出运动方程。 （a） 题3-8图

运动的分离体图如图（b）所示。 地震中可设为微小角度，因此

m(xh)kx

IGm(xh)hkTmgh

因此运动方程为

mhhxkx0

mhx(mh2IG)(mghkT)0

如果Asint,xA2sint,则

mh2A1m2A2kA20

mh2A222(mhIG)A1(mghkT)A10

则频率方程为

mh2km22

(mhIG)2(mghkT)mh2

即

(mh2)2(km2)[(mh2IG)2(mghkT)]0 或

mIG42(mkh2IGkm2ghmkT)mghkkkT0

由动静法得，以刚体m为研究对象：

X0 mhcosmxm2hsinkx0

mo0mh2

IGkTmxhcosmghsin0很小 sin＝，cos＝1

又忽略高阶小量2

，所以以上两式化简后得：

mhmxkx0

（b）

mhx(mh2IG)(mghkT)0

图中：kx、mx

应反向。方程应为 xkx0mhh(mghk)0(mh2IG)xTmh

V2k2q22k2aq3q3

Vk1b(q1bq3)k1d(q1dq3)ak2(q2aq3)ak2(3-9 为了使结构隔离机器产生的振动，将机器安装在一很大的机座上，机座由弹簧支承，如题3-9图所示。试求机座在图示平面内的运动方程。

题3-9图

题3-10图

选择坐标q1、q2、q3，这些坐标已能完全描述该系统的运动，并相

互独立。设机器和机座的总质量为M，总质量对质心G

点的惯性矩为IG，则

T12Mq212Mq212Iq212G3

V12kbq111(q13)22k1(q1dq3)22k2(q2aq3)2式中，V为贮存在弹簧中的势能。

有：

x1q2aq3y1y40x4q2aq3y2q1bq3x2x30y3q1dq3由拉格朗日方程得

ddt(Tq)mq11ddt(Tq)mq22ddt(Tq)Ioq33T

q0T0T1q02V q3

qk1(q1bq3)k1(q1dq3)1

q3则运动方程为

Mq12k1q1k1(bd)q30Mq 22k2q22ak2q30

IGq3k1(bd)q12ak2q2(b2d2)k1q32a2k2q30

因此系统具有三坐标耦合的运动方程。假定qiAisint，由频率方程可求出系统的各阶固有频率。 3-10 题3-10图是一个带有附有质量m1和m2上的

约束弹簧的双摆，采用质量的微小水平平动x1和x2为坐标，写出系统运动的作用力方程。

解：利用刚度影响系数法求刚度矩阵k。x,x 设1120，分别画出m1与m2的受力图，并施加二物块力k11,k21，列平衡方程，

对m1：

X0，k11T1sin1T2sin2k10 Y0，

T1cos1T2cos2m1g0

对m2：

X0， k21T2sin20

Y0， T2cos2m2g0kq2

x

2(2设aqx13)0,21，分别画出m1与m2的受力图，

并施加二物块力k12,k22，列 平衡方程，

对m1：

X0， k12T2sin0

Y0， T1T2cosm1g0 对m2：

X0， k22k2T2sin0

Y0， T2cosm2g0

sin1sin11tan12tan2由，l1，l2，cos1cos21，cos1，

12

sintan1l2， 解得， (mm2)gm2gk11k11l1l2

k21mg2l2，，

k12m2gmgk22k22l2，l2

C

ll2l2k22Nk1k20244

llk21(k2k1)k12(k2k1)k11k1k2，2，2，

Y0， Nmg0

M0，

得作用力方程为

k22m2gx1P1(t) m1l2得作用力方程为

0mglP(t)2x22k0lA(m1m2)gm2gk110xl1l2mg2m2x2l2mgl(k1k2)42

l2l3-11 题3-11图为一刚性杆竖直支承于可移动的支座上，刚杆顶面和底面受水平弹簧的约束，质心C上受水平力PC和扭矩

MC的作用。设刚杆长度、横截面积

题3-12图

题3-11图

和质量密度分别为l、A及，以质心C的微小位移xC与

C为坐标，列出系统运动的作用力方程。

解：设xC质心的水平位移与C相对于质心的转角为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵k。

设xC1,C0，画出受力图，并施加物体力与力偶k11,k21，列平衡方程，

X0，k11k1k20 MC0， k21kl12kl220

设xC0,C1，画出受力图，并施加物体

力与力偶k12,k22，列平衡方程， X0， kkll1212k220

xCk1k2(k2k1)0Al3 12Cll22l(k2k1)2(k1k2)4mg23-12 题3-12图是两层楼建筑框架的示意图，假设梁是刚性的，框架中各根柱为棱柱形，下层弯曲刚度为

EJ1，上层为EJ2，采用微小水平运动x1及x2为坐标，

列出系统运动的位移方程。

解：由材料力学知，当悬臂梁自由端无转角12时，其梁的等效刚度为kEJl3，由此可将题

3-12图等效为(a)图，其中

k212EJ112EJ21h3k22，h312 广义坐标如图（a）示。利用刚度影响系数法求刚度矩阵k。

设x11,x20，画出受力图，并施加物体力

k11,k21，列平衡方程，可得到

k11k1k2，k21k2

同理可求得k12,k22。最后求得刚度矩阵为

k1k2kK2=k2k2

由刚度矩阵求逆得到柔度矩阵为

11k11k11k1k1k12得到系统的位移方程为 h31h31P x1 x24EJ124EJ12h3331m101h1h2P20m224EJ124EJ124EJ2也可由柔度影响系数法求柔度矩阵。即，对图（a）中的m1施加单位力，而m2不受力，此时

l2 1第一个弹簧变形为k1，第二个弹簧变形为零。由此可得位移为， 1k111211，k1 1121122同理求出

k1，k1k2。最后得到1112柔度矩阵为2122

h331Δ24EJ h1124EJ1h33124EJ h31h2124EJ124EJ2 A、B两点的受力分别为：

FAF1m1x1 FBF2m2x2系统运动的位移方程为：

h331h1x24EJ 1124EJ1F1mx1x 12h3331h1h2x224EJ F2m2124EJEJ1242

3-13 质量m1、m2以及长为l1、l2的无重刚杆构成的复合摆，如题3-13 (a)、(b) 图所示。假设摆在其铅垂平衡位置附近作微幅振动。试分别取1、2和x1，x2为广义坐标，求刚度矩阵。

题3-14图

解：首先求对于广义坐标1、2的刚度矩阵。 令1 = 1、2 = 0。如题3-13 (c) 图所示.此时是k11，k21分别代表施加于两个刚杆上的力矩，由静力平衡条件得 k21k11(m1m2)gl1 (1)

k210

由式(1)、(2)得

k11(m1m2)gl1 3-14 在题3-14图所示系统

中，刚杆AB不计质量，当质量M与m位于铅垂线上时为系统的平衡位置。试以x，为

广义坐标导出线性系统运动微分方程。

解：令q1x,q2，则质量m的坐标为

x2xlsiny2lcos

质量m的速度为 v2x22y22(xlcos)2(lsin)2

(1)

系统动能为

T1题23-15Mx2图1 2mv2

将式(1)代入式(2)，并整理得

T112 2(Mm)x22ml2mlcosx

(3)

考虑到微幅振动，令cos≈1，则将动能T写为x,的齐二次函数，有

题3-15图

3-15 质量为m2长为l的均质杆AB，其一端铰接于半径为R质量为m1的均质圆轮的中心A，圆轮在水平面上作纯滚动，如题3-15 (a) 图所示，试列写系统运动微分方程。

解：系统具有两个自由度，选图示AB与铅垂线的

夹角及圆轮中心A的位移xA为广义坐标。

分析圆轮A，受力图如图（b）所示。列写圆轮A的运动微分方程： m1xAXAF 0YANm1g

1

2m21RFR

运动学方程 xAR ④

分析杆AB，列写AB的运动微分方程，如图（c） m2xCXA ⑤ m

2yCYAm2g ⑥

1m2122lXll

(2) A2cosYA2sin⑦

运动学方程 xlCxA2sin,xl

CxA2cosyl C2cos,ylC2sinxxl CA22sinl2cos

⑧

题3-15图

ylC2sinl22cos

⑨

上述9个方程包含

xA,,xC,yC,,XA,YA,F,N等9个未知量，由上述9个方程消去未知的约束力可得到系统的运动微分方程。

由①③④⑤⑧得

32m1m2x1A2m2l2sin12m2lcos0

由①③④⑥⑦⑨得

① 1②1 223m2lm2lsin32m1xAcos③1

2m2l2sincosm2gsin0 将 (a) 式代入 (b) (b) 式，化简后得

2

3lxAcosgsin0

式(a)(c)为系统的运动微分方程。

要点及讨论

运用平面运动微分方程求解刚体动力学问题时，需分别分析每个刚体的运动与受力，列写每个刚体的运动微分方程及补充的运动学方程。未知量的数目应与方程

的数目相等。联立求解所列写的方程，即可得到所要求的结果。

用本题中的方法求解刚体系统动力学问题时，由于要将系统拆开成单个刚体，方程中出现了许多未知约束力，为消去未知力增加了许多繁冗的演算。这种方法不是列写刚体系统微分方程唯一的方法，但如果要求刚体间相互的约束力，其中某些方程可应用。

习 题 四

4-1 题4-1图所示的均匀刚性杆质量为

m1，求系统的频率方程。 解：设杆的转角和物块位移x为广

题4-1图

义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵k。

设1,x0，画出受力图，并施加物体力偶与力k11,k21，由平衡条件得到，

k2211k1bk2a， k21k2a

设0,x1，画出受力图，并施加物体力偶

与力k12,k22，由平衡条件得到，

k12k2a， k22k2a 得作用力方程为 123m1a0k1b2k2a2k2a00m2xk02ak2ax

由频率方程Kp2M0，得

kb2k112a23m1a2p2k2a0k2ak2am2p2

4-2

题

4-2图所示的系统中，两根长度为l的均匀刚性杆的质量为

m1 题4-2图

及

m2，求系

统的刚度矩

阵和柔度矩阵，并求出当m1m2m和k1k2k时系统的固有频率。

解：如图取1,2为广义坐标，分别画受力图。由动量矩定理得到，

I11k314l314lk314l324l

I22k314l314lk314l324lkl22l22整理得到，

I11k9116l21k9116l220

I92292l22k116l1(k116lk24)20则刚度矩阵和柔度矩阵分别得，

9l2k92K1lk1161692921216lk116lk14lk2，

K114164kl29k1l2k2l2KadjK244k222lk2l系统的质量矩阵

为

MI1013m1l200I270248m2l

由频率方程Kp2M0，并代入已知条件得，

9l2k193ml2p216kl21609kl21316kl2748ml2p216

整理得到112p4813p2km324k2m20,求得

p10.6505kkmp22.6145，m。

解：

2k3l911k1416k1l2kk9

1221k1l2

16

k99lk22k2k1l22l2k1l2416216

292kl161k9k1l2169k1l2169122k1lk2l164

2813488601k266m 

kk

p10.48p25.6m， m 

p2

4-3 题4-3图所示，滑轮半径为R，绕中心的转动

惯量为2mR，不计轴承处摩擦，并忽略绕滑轮的绳子219999kk1l2k1l2k2l2k1l2k1k2l40161641664 k1做

增

广

矩

阵

99kk1l21016k1l29k916161l2kl211k21642l01

9k291lk21l10160116 4kl211 =2

111609k41l242 =

01k2l2k2l

=

1041642k2l9kk22l41l2401k2l2kl22

164k14k2l29kl21k2l244

k22lk22l

当m1m2m ， k1k2k时， 1203mlM7048ml2

921Bkp2M16kl3p2ml2916kl222 133x813xy324yo ，

其中

xp2m ， yk 的弹性及质量，求系统的固有频率及相应的主振型。

题4-3图

解：如图选x1，x2，x3为广义坐标。利用刚

度影响系数法求刚度矩阵k。

设x11,x2x30，画出受力图，并施加物体k11,k21,k31，由平衡条件得到，

k11k， k210，k31kR 设x21,x1x30，画出受力图，并施加物体k12,k22,k32，由平衡条件得到，

k12= 0， k22k，k32kR 设x31,x1x20，画出受力图，并施加物体k13,k23,k33，由平衡条件得到，

k13kR，k23kR，k332kR2

则刚度矩阵和质量矩阵分别得，

k0kRK0kkRkRkR2kR2，

m00M0m0002mR2

由频率方程Kp2M0，得 kmp20kR0kmp2kR0kR9kl2kR2kR22mR2p2916kl 160 2展开为14kl22m7(48kp2mpml22)p2(mp22k)R20，解

ppk出频率为210，

m， 2kp3m。

2BKpM的伴随矩阵的第一由特征矩阵

ml2M00列，

adjB(1)(kmp2)(2kR22mR2p2)k2R2k2R2(kmp2)(2kR22mR2p2)2kR(kmp)000ml2

Kp2M0由频率方程，得 kh2mglml2p2kh2kh22kh2mglml2p20ml20kh20kh并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为

111A111

kh2mgl

展开为

(mglml2p2)[(mglml2p2)24kh2(mglml2p2)4k211R0R

4-4 三个单摆用两个弹簧联结，如

题4-4图所示。令

m1m2m3及题4-4图

k1k2k。试用微小的角1、2和3为坐标，以作用力方程方法

求系统的固有频率及主振型。

解：如图选1,2,3为广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵K。 设11,230，画出受力图，并施加物

体于k11,k21,k31，由平衡条件得到， kkh2mgl， k21121kh，k310 设21,130，画出受力图，并施加物体k12,k22,k32，由平衡条件得到，

kkh2， k2kh212222khmgl，k32

设31,120，画出受力图，并施加物体k13,k23,k33，由平衡条件得到，

k2130，k23kh，k33kh2mgl

则刚度矩阵和质量矩阵分别得，

kh2mglKkh20kh22kh2mglkh20kh2kh2mgl，

，

pgpgkh2解出频率为

1l，

2lml2，

g3kh2p3lml2。

由特征矩阵

BKp2M的伴随矩阵的第一列，

(2kh2mglml2p2)(kh2mglml2p2)adjB(1)kh2(kh2mglml2p2)k2h4并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为 A111102111

ml2 0 00 ml2 02解：质量矩阵M=0 0 ml 使1逆时针方向旋转弧度1,保持m2,m3不动, m1,m2,m3受力如图： m F=kh

Mo1k11Fhmgl0

k11Fhmglkh2

mgl

Mo2Fhk2102

k21FhkhMo3k310

,m3使2逆时针旋转弧度1，保持m1不动，对m1,m2,m3受力分析入图：

该系统的刚度矩阵为：

kh2mgl kh2  0Kkh2 2kh2mgl kh2220  kh khmgl特征矩阵：

kh2mglmp2l2 kh2 0Bkh2 2kh2mgl mp2l2 kh2220 kh khmglMo1Fhk12kh2k120

k2

12kh

Mo2k222Fhmgl0

k2222khmgl

Mo3k32Fh0

k32kh2

使

3逆时针旋转弧度1，保持m1,m2不动，对

m1,m2,m3受力分析入图：

Mo1k130

Mo2k23Fh0

k23kh2

Mo3k33Fhmgl02

k33khmgl

kh2mglmp2l2 kh2 0Bkh2 2kh2mgl mp2l2 kh20 kh2 kh2mglkh2mglmp2l2  2kh2mgl mp2l2kh2mglmkh22 kh2mglmp2l2kh2mglmp2l2kh2mgl

mp2l22kh2mglmpkh2mglmp2l2mglmp2l23kh2mglmp2l2令

B0，得

Pg1lPkh2 ，

2glml2 ，

Pg3kh23lml2

 kh2mglmp2l2  2kh2mgl mp2l2-kadjB kh2222  khmglmpl22kh kh2 2 1 将各频率依次带入伴随矩阵的第一列，令

即得各阶主振型 1A111

题4-5图

1

A2011A32

1

4-5 题4-5图所示的简支梁的抗弯刚度为EJ，本身质量不计，以微小的平动

x1、x2和x3为坐标，用位移

方程方法求出系统的固有频率及主振型。假设

m1m2m3m。

解：如图取广义坐标，用柔度影响系数法求柔度矩阵。

在m1处施加单位力，其余各质量块处不受力，解：如图选择广义坐标。求质量矩阵及利用

刚度影响系数法求刚度矩阵为

题4-6图

则由材料力学知识，得到三集中质量块处的静挠

度即为11,21,31。

同理可得到其它柔度矩阵的各列，最后得到柔度矩阵为

l39117768EJ1116119711得到系统的位移方程为

x9117m00xx12l311116110m0x2x768EJ3711900mx3LM1由系统的特征矩阵p2I，得频率方

程

L0，即

911711161107119ml3

其中

768EJ,1p2，展开频率方程为 (2)(232142)0解出131.556, 22,30.444。 由特征矩阵的伴随矩阵的第一列(16)(9)adjL121277211(9)12127(16)，分别代入特

征值，得到主振型为

1.0001.0001.000A1.4140.0001.4141.0001.0001.000。

4-6 如题4-6图所示，用三个弹簧连接的四个质量块可以沿水平方向平动，假设

m1m2m3m4m和

k1k2k3k，试用作

用力方程计算系统的固有频率及主振型。

kk00Kk2kk00k2kk00kk，

m0000m00M00m0000m 由频率方程Kp2M0，得 kmp2k00k2kmp2k00k2kmp2k000kkmp2因此可得到频率方程

p2p6m46kp4m310k2p2m24k3m0解出

p2 p210 ,

222km，p232kmp2(22)k， 4m

p解出频率为p2(22)k10，m，

p2kk3mp4(22)。m

由特征矩阵BKp2M,kp2mk00Bk2kp2mk00k2kp2mk00kkp2m特征矩阵的伴随矩阵的第一列，

(2kmp2)(kmp2)k2(2kmp2)k2(kmp2) 1223k(2kmp)(kmp)k 12(4)adjB(1) Ak2(kmp2)(12)3k 1 归一化 得3224263k6kpm5kpmpm 32242k3kpmkpm得系统的主振型矩阵为 k3k2p2mk3 k33A(1)k3将

pk103代入，即得

k 归一化 得

1A(1)111

 k3 A(2) 12k3 p2(12)k3将

222km代入，得

 k3

 1A(2) 12(12)归一化 得

 1

kA(3)kp22kk将

3m代入，得 k 归一化 得

 1A(3)11 1

 k A(4)12kp4(22)k将

m(12)k代入，得

 k

1111A1121121211121111各阶主振型如下图所示：

4-7 题4-7图表示一座带有刚性梁和弹性立柱的三层楼建筑。假设

m1m2m3m，h1h2h3h，

EJ13EJ，EJ22EJ，

题4-7图

EJ3EJ。用微小的水平平动

x1、x2和x3为坐标，

用位移方程方法求出系统的固有频率和正则振型矩阵。

解：由材料力学知，当悬臂梁自由端无转角时，其梁的等效刚度为

k12EJl3，由此可将题4-7图等效为(a)图，其中 k12EJ112EJ212h3k2231，h2，k212EJ33h33广义坐标如图（a）示。利用柔度影响系数法 求柔度矩阵。即，对图（a）中的m1施加单位力，

1其余不受力，此时第一个弹簧变形为k1，第二和第三个弹簧变形为零。由此可得个坐标位移为，1111 k211，k1，131k1同理求出其余各列。最后得到柔度矩阵为

2h322144EJ2552511

m00M0m0系统的质量矩阵为00m 得到系统的位移方程为 x222m00x12h32550m0x1x2x3144EJ251100mx3LM1由系统的特征矩阵p2I，得频率方程L0，即 222255025113 mh其中

144EJ,1p2，展开频率方程为 31825423630解出114.43, 22.62,30.954。

p解出固有频率为

19.979EJmh3p.07EJEJ255mh3p3151mh3由特征矩阵的伴随矩

阵的第一列(5)(11)2512adjL1022(11)1022(5)，分别代入特征值，得到主振型为

1.0001.0001.000A2.2951.3770.645.9291.0370.12203。 主质量振型为

21.6508m00M03.9243m0PATMA001.4303m Ai1AiN正则振型的第i列为Mi,由此得到正则振型振型为 0.21490.50490.8361AN1m0.49270.68480.53900.84320.52780.1017 m100M0m0解：质量矩阵为200 m3 F11，F2F30时：

h331h31h11124EJ12131，24EJ1，24EJ1 F21,F1F30时： h33331h2h1h22224EJ23124EJ2，24EJ124EJ2 F31，F1F20时：

h3331h3124EJ1h2321，

24EJ124EJ2，h3h32h2133324EJ124EJ224EJ3

h1324EJ1h3124EJ1h3124EJ1

h1324EJ1h13h2324EJ124EJ2

矩阵。

解：如图选择广义坐标。求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵为

h13h2324EJ124EJ2

m003kkKk3kM0m0kkh3124EJ1h3h31224EJ124EJ2h331h2h2324EJ124EJ224EJ3

Mmh3222144EJ255mh32, 5 11 设 144

1p2

222M1p2I2552

5 11 222255B2 5

11= 0

38235423630

mh3mh3

19.979EJ ， 255.07EJ ， mh33551.0EJ

9.979EJP255.07EJP21mh3 ，

2mh3 ，

P2151.0EJ3mh3

4-8 在题4-8图所示的系统中，各个质量只能沿铅垂方向运动，假设

m1m2m3m，

k1k2k3k4k5k6k，试求系统的固有频率及振型

题4-8图

00m，kk3k

由频率方程Kp2M0，得

3kmp2kkk3kmp2k0kk3kmp2

解出频率为

pkkk1mp22mp32，，m

由特征矩阵

BKp2M的伴随矩阵的第一列，

(3kmp2)2k2adjB(1)k2k(3kmp2)k2k(3kmp2)

pk将

1m代入得系统的第一阶主振型为

A(1)111T

A(2)满足如下关系：

(A(1))TMA(2)0，(Kp22M)A(2)0

以上二式得，A(2)(2)(2)展开1A2A30。取

A(2)(2)(2)20，A11，可得到A31。即有

A(2)101T(3)

A满足如下关系：

(A(1))TMA(3)0，(A(2))TMA(3)0(Kp23M)A(3)0展开以上二式得，A(3)( 3)(3)1A2A30，

A(3)A(3)(3)130，联立得A(3)1A3。取A(3)11，A(3)31，可得到

A(3)22。即得 A(3)121T主振型矩阵为

111A102111

4-9 试计算题4-4的系统对初始条件

000T000T和0的响应。 解：在习题4-4中已求得系统的主振型矩阵和

质量矩阵分别为

ApA1A2A3A411111 1 121(12)1 1 1 1 1(1 111ml200A102M0ml20111，00ml2

主质量振型为

300MATMAml2020P006

A(i)1NA(i)正则振型的第i列为Mi,由此得到正则振型振型为

231A16ml2202N231初始条件为

22mlAT60N(0)NM02，

N(0)ATNM0= 0

m正则坐标的响应为N13lcosp1t，N20，

N32m3lcosp3t由A(1)

3)NN1A(2)NN2A(NN3，展开得

到

11112cosp1t2cosp33t3311 pggkh2g3kh2其中

1lp，2lml2p，3lml2。

4-10 试计算题4-6的系统对初始条件

x0000T0和 x0v00vT的响

应。

解：在习题4-6中已求得系统的主振型矩阵和质量矩阵分别为

1111112112A1211121111，

m000M0m0000m0000m主质 量振型为

4.000000MATMAm00.41400P004.000000013.657A(i)1

NA(i)正则振型的第i列为Mi,由此得到正则振型振型为

0.50000.65730.50000.2706A10.50000.27060.50000.6533N0.50000.27060.50000.6533m0.50000.65330.50000.2706正则坐标初始条件为

0.50000.50000.5000x(0)AT0.65330.27060.2706NNMx0m0.50000.50000.50000.27060.65330.65330.50000.50000.50000.5000xT0.65330.27060.27060.653N(0)ANMx0m0.50000.50000.50000.50000.27060.65330.65330.2706xN(0)ATNMx0= 0，xTN(0)ANMx0=

mv0v0T

正则坐标的响应为xN1mvt，xN20，

xvmN3psinp3t3，xN40其中频率为

p2k3m。

最终得到响应,由

xA(1)Nx2)N1A(NxN2

3)A(NxN3A(N4)xN4，展开得到

x111xv12vt1cosp3tx3212p31x114于是

于是得

XN0AN1X00000XN0ANX0vm1T

0vm0T

XN1XN10tvtm1234xANxN1ANxN2ANxN3ANxN4

v2(tv2(tv1XN2sinp3t)p3

X0vm1XN3N3sinp3tsinp3tsinp3t)p3p3 p3

XXN40sinpt01XN20sinp2t0p2 (t2p3v12(tp3解：从6—6中可得主频率和主振型矩阵为

p10 , p222km,p2k3m , pk4(22)mm000

M0m0000m0由质量矩阵000m，可求出主质量矩阵

1000MT02200pAPMAP4m001000022则正则振刑矩阵为

1(22)122221212A122N2m12122222121222111

1(22)2222A1m2222N211112222222222

所以响应为 p 3 t )N4 p44

Xp

3tA)1XA234NN1NXN2ANXN3ANXN4， 

X111X2X1vt1v1212psinp3t3即X4131， 其中，

p32km. 4-11 试确定题4-7中三层楼建筑框架由于作用于第三层楼水平方向的静载荷P忽然去除所引起的响应。

解：在习题4-7中已求得系统的正则振型振型

和质量矩阵分别为

A10.21490.50490.8361m.49270.68480.5390N00.84320.52780.1017，

m00M0m0m00当作用于第三层楼水平方向的静载荷

P忽然去除时，相当于受到了初始条件的激励，即

xPh3200144EJ5x0011，0

正则坐标初始条件为

Ph3m12.1681.379xT144EJN(0)ANMx0=

0.099，sinsin10112tsinpt10p13p1R00N(0)ATxMxN0=  m211tsinp3t212.168cospt1p36p3NPh3m xN1.379cospt2144EJANN，展开得到

由0.099cospt3正则坐标的响应为 (2)(3)(1)xANxN1ANxN2ANxN31由，展开得1112(tsinp1t)2(tsinp3t)到 p1p3p3p1R11212.616cosp1t0.702cosp2t0.083cosp3txPh3144EJ5.999cosp1t0.938cosp2t0.05310.258cosp1t0.727cosp2t0.010p9.979EJEJ其中

1mh3p255.07mh3pEJ3151mh3。

4-12假定一个水平向右作用的斜坡力Rt施加与题

4-4中中间摆的质量上，试确定系统的响应。

解：在习题3-13中已求得系统的正则振型振型和质量矩阵分别为

231A1N6ml2202231，

ml200M0ml2000ml2由题意，施加的作用力为

0fRtl0将作用力变换到正则坐标：

1qTRt3NANfml026由方程（2-28）得到对于斜坡力的卷积积分，第

i个正则坐标的响应：

qNi1Nip2(tsinpit)ipi用正则坐标表示的位移矢量

p32(tsinp1t)(tsinpt)3mltpp1p21p3p333t 1p2(t11psinp1t)1p2(t1sinp3t)13p3 2pgpgkhg3kh2其中1l，2lml2p，3lml2。 4-13 试确定题4-6的系统对作用于质量m1和质量

m4上的阶跃力P1P4P的响应。

解：在习题4-6中已求得系统的正则振型振型和质量矩阵分别为

0.50000.65730.50000.2706A10.50000.27060.50000.6533Nm0.50000.27060.50000.65330.50000.65330.50000.2706m000M0m0000m0，

000m 由题意，施加的作用力为

Pf00P将作用力变换到正则坐标：

1qATP0NNfm10用正则坐标表示的位移矢量

coscos

t2P2m10p2(1cosp3t)3xN0

由xANxN，展开得到

t2412p2(1cosp3t)3t21P42p2(1cosp)3tmt231(142p2cosp3t)3t21(1cospx42p23t)3 p2k其中

3m。

4-14 在题4-7的三层楼建筑中，假定地面的水平运动加速度

xsasint，试求各层楼板相对于地面的稳

态水平强迫振动。

解：在习题4-7中已求得系统的正则振型振型

和质量矩阵分别为

0.2149A10.50490.8361Nm0.49270.68480.53900.84320.52780.1017，

m00M0m000m由题意，施加的作用力为

f*masintmasintSmasint将作用力变换到正则坐标：

1.5510masintq*AT*10.6604masintNSNfSm0.3988masint用正则坐标表示的位移矢量

1.55101p2masint1m0.66042p22x*Nr0.39883p23

x*A*由

rNxNr，展开得到

x*r0.333513p20.3334220.333421p2asintp0.76421233p20.451120.215021.30801p2p10.348420.040733p2p2212p31 i1()2pEJ其中p,（i =1,2,3）;19.979imh3,p55.07EJEJ2mh3p,3151mh3。

4-15 质量为m1的滑块用两个刚度分别为k1及k2的弹簧连接在基础上，滑块上有质量为m2、摆长为l的单摆，假设

m1m2m及

题4-15图

k1k2k，基础作

k水平方向的简谐振动

xsasint，其中

m，

试求∶(1) 单摆的最大摆角

max；（2）系统的共振频率。

解：如图所示选择广义坐标。

利用质量影响系数法求质量矩阵，

设x1,0，画惯性力及m11,m21，由平衡条件得到，m112m，m21ml。 设x0,1，画惯性力及m12,m22，由平衡条件

得到，m12ml，m222ml。

利用刚度影响系数法求刚度矩阵k。

设x1,0，画出受力图，并施加物块力

k11,k21，列平衡方程，得到

k112k，k210

设x0,1，画出受力图，并施加物块力k12,k22，列平衡方程，得到

k120，k22mgl

得作用力方程为

2mmlx2k0x2kamlml20mgl0sint

xB1B2sint令为稳态响应，代入上式得， 2k0mlB10mgl22mmlml2B2ka20

展开为

(2k2m2)B1ml2B22ka2

mlB1(mglml22)B20 k将

m代入可得到B2a2l。稳态运动时有(t)2alsint，则有

2amaxl

由频率方程Kp2M0，得

2k2p2mmlp2mlp2mglp2ml20展开

为(2k2mp2)(mglml2p2)(mlp2)20，解出频

率为

p1gk(gl)2klm(m)2，pg2k(gl)2(km)2lm即为共振频率。

4-16 题4-16图示的系统中，各个质量只能沿铅垂方向运动，假设在质量4m上作用有铅垂力

P0cost，试

求∶各个质量的强迫

题4-16图

振动振幅；系统的共振

频率。

解：如图选择广义坐标。利用刚度影响系数法求刚度矩阵为，

7kk2kKkk02k03k

4m00M0m0系统的质量矩阵为，02m0 由频率方程

Kp2M0，得

7k4mp2k2kkkmp2002k03k2mp2

p解得，

10.590kmp1.211k，2m，

p32.449km

由特征矩阵

BKp2M的伴随矩阵的第一列，

(kmp2)(3k2mp2)adjB(1)k(3k2mp2)2k(kmp2)并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为

1.0001.0001.000A2.4394.7420.6901.1043.4621.087主质量振型

为

12.386m00MATMA050.452m0P006.839m

A(i)1(i)NA正则振型的第i列为Mi,由此得到正则振型振型为

A10.2820.1410.382Nm0.6930.6690.2644880.4150.3140.正则坐标表示的微分方程

p2x1000p2N20xNqN00p23由题意，施加的作用力为

P0f0cost0将作用力变换到正则坐标：

qP0.2840Nfm0.141NATcost0.382用正则坐标表示的位移矢量

P0.2841100.14121cosxmt0.38231N 1i1其中p2i2，（i = 1,2,3）。

由

xANxNx，展开得到

P0.081110.020210.146310m0.197094110.210.10131cost

0.089110.069210.15931

4m0M00m0解：质量矩阵：

002m 7kk2kKkk0刚度矩阵：

2k03k 2由频率方程

KpM0得：

7k4mp2k2kkkmp2002k03k2mp2

p210.590kmp2k21.211mp232.449k解得m 列出运动方程:

4m00x17kk0m0x2kx1pkk0002m2x20x32k03kx30x1B1xB22cost设其稳态响应为：x3B3 所以原方程化为：

B1B1p0MBtKB2(2)cos2cost0costB3B30即

：

7k24mk2kB1p0kk2m0B202k03k22mB30所

以

：

Bp0(k2m)(3k2m2)1(7k4m2)(k2m)(3k2m2)k2(3k2m2)Bp0k(3k22m)2(7k4m2)(k2m)(3k2m2)k2(3k2m2)B2p0k(k2m)3(7k4m2)(k2m)(3k2m2)k2(3k2m2)2a2m,Z1434a441a28a6令k

Bp0(1a2)(321k.a2)ZBp0(32a2)2k.ZBp03则：k.2(1a2)Z

4-17 在题4-17图的有阻尼系统中，

c123km，左端的质题4-17图

量块受阶跃

力P的作用，

初始条件为零，求系统响应。

解：（1）写出无阻尼受迫振动方程

m012kkx1P0mxx2kx2k20（2）求固有频率和正则振型

cos由频率方程tKp2M0，得

2kmp2kk2kmp20 pkpk解得，

1m23，m。 0由特征矩阵

BKp2M的伴随矩阵的第一列，

2adjB(1)2kmpk并分别代入频率值，得系统的主振型矩阵为

A1111

MAT10PMA2m主质量振型为

01 A(i)1NMA(i)正则振型的第i列为

i,由此得到正

则振型振型为

A21N2m111（3）正则坐标表示的微分方程

xp210N0p2xqNN2（4）引入振型阻尼比

C建立阻尼矩阵

3ccc3c，求主阻尼矩阵CATCAc40P08。

C4c10N则有，

2m02。

所以cN14c2m21p1c，得

1km。

由

cN28c2c2m22p2，得

23km。

（5）引入振型阻尼比的正则坐标表示的微分方程

xN121p1N1pxN20202x10xN12p2xN20p22xN2由题意，施加的作用力为

fP0将作用力变换到正则坐标：

qATPNNfP（6）用正则坐标表示的响应

e1p1txPp1N1k[1psin(pd1t1)]d1

p2txP3k[1e2p2N2

psin(pd2t2)]d2

p2arctan12ii其中dipi1i，

i，i = 1,2。

（7）用物理坐标表示的响应

由

xANxN，展开得到

x1xN1xN2，x1xN1xN2

习 题

5-1 用瑞利法求题4-5

系

题4-5图

统的基

频。

解：由材料力学公式知：

3l9119768EJ111611柔度矩阵：

9119 mMm质量矩阵：

m 设振型为：A1,1,1T

ATMA3m

qATMMA96m2l3 768EJ

P2ATMAEJ1ATMMA24ml3

P4.899EJ1 所以基频为： ml3

5-2 用瑞利法求题4-7系统的基频。

解：系统的质量矩阵和柔度矩阵为

题4-7图

m0M0m00h1324EJ1h3124EJ1h3124EJ100m h1324EJ1h13h2324EJ124EJ2h13h2324EJ124EJ2*2***M*p2*0(Mp)a0M,将代入和

=>

126.206p2m2l34m0a03768EJh114m2p2l3a2024EJ102m33768EJh1h2解得：

24EJ124EJ2EJEJ333p4.934,p19.6hh1h12ml3ml3 2324EJ124EJ224EJ2解：由已知条件可求出系统的质量矩阵和柔度矩阵分

设A(123)T

R(A)12EJ=mh3

pEJ13.464mh3设A(356)T 则

ATMA70m MA418.58m2h3ATMEJ于是

R(A)0.1673EJ

8mh30.02091EJ=mh3

5-3 用里兹法求题4-5系统的第一、二阶固有频率。

题4-5图

解；

有已知条件得系统的质量矩阵和柔度矩阵分别为：

39117lm00768EJ111611M0m9071100m设振型

ψT1=(1.000,1.414,1.000) ψ2=(-1.000,0.000,1.000)T由

M*

TM,*TMM得 M*TMm4002*TMMml3126.2060768EJ04（把改成Δ）

别为

m00M0m0

00m l39117111611768EJ

7119 设振型

T10.000.501.000.200.601.00T2

0.000.200.500.60

1.001.00 则可得

M*TM1.251.30

1.31.40 *TMMl3m224768EJ28.4把它们代入下式

(M*p2*)a0

|M*p2*|0 可求得：

PEJ13.57ml3PEJ

217.43ml3

5-4 用邓克莱法求题4-5系统的基频。题4-5图

28.432.76

解：按材料力学挠度公式，则有 22l3l13l211443EJl256EJ l2l21l222223EJl48EJ l23l213l233443EJl256EJ,

mm1m2m3

由邓克莱公式得

11p221p2121p1122p33 11m122m233m3

3l3ml3m3l3m162EI48EI162EI 0.0442708l3mEI

p2EJ1ml322.588

pEJ14.75ml3 5-5 用邓克莱法求题4-7系统的基频。

题4-7图

解：由材料力学知，h3h31h311124EJ21124EJ131124EJ1

h3h31222同理：

24EJ124EJ2h3331h2h33324EJ124EJ224EJ3由邓克莱法知： 1P2mmmh311122233m318EJ p828EJ解之得：

12.mh3 5-6 用矩阵迭代法计算题4-5系统的固有频率和主振型。

题4-5图

解：由

材料力学的知

识得柔度矩阵为

39117lm00768EJ111611M0m0711900m

9117DMml3768EJ111611可得到动力矩阵：

7119 对初始假设矩阵A01,1,1T进行迭代

9117DA0ml3132731768EJ111611ml27ml711911768EJ3827768EJ1.41DAml391171ml331.477768EJ11161171191.40744.5123111768EJ31.477DAml391171ml331.544768EJ1116111.41444.51231271191768EJ31.544131.544ml3A2A3P21768EJ P21768EJ31.544ml3PEJ与之对应

14.93ml3的第一阶 主振型：

A11.000,1.414,1.000T下面是求第二阶主频率和主振型：

1TD*=DAA1MM21P1ml30.0014 -0.0002 -0.0012EJ-0.0002 0.0003 -0.0002-0.0012 -0.0002 0.0014

A201,1,1T

2T经过6次迭代，

A1.000,0.000,1.000

P2384EJ1ml3P119.6EJml3 下面是求第二阶主频率和主振型：

D=D3***A2A2TMM2P22222113mh1mh2DA025524EJ144EJ251113

3 0.0001 -0.0002 -0.0025ml -0.0002 0.0003 -0.0002EJ -0.0025 -0.0002 0.0001

A031,0,1TA1123T

经过1次迭代，

A31.000,0.000,1.000T2221mh3mh3DA12552144EJ12EJ25113

12.25003.7500

A212.253.753TP32EJ384EJP19.633

22213ml3ml 5-7 用矩阵迭代法计

算题4-7系统的固有频率和主振型。

解：得系统的质量矩

题4-7图

阵和柔度矩阵

m00M0m000m

3h1h3124EJ124EJ1h3Δ1h31h3224EJ24EJ1124EJ2h31h31h3224EJ1

24EJ124EJ2h3124EJ1h31h3224EJEJ1242h31h32h2324EJEJ124224EJ3取假设振动

A0111T

3222D=ΔMmh144EJ2552 5 11

DAmh144EJ2552.2500mh20.097222EJ225113.75003A312.28573.8929T

32221DAmh144EJ2552.2857mh330.0997032.25113.8929EJ3.A412.29103.9179T

3222DAmh1mh37144EJ2552.29210.1002132.25113.9233EJ3.A512.29193.9224T

3222DAmh1mh35144EJ2552.29190.1001982.25113.9224EJ3.AT612.29213.9232

322DAmh21mh36144EJ2552.29210.1002132.25113.9232EJ3.AT712.29213.9233

DAmh32221mh3144EJ552.2921720.10021325EJ2.113.92333.A812.29213.9233T

A7=A8

1mh3p20.1002131EJ

p29.979EJ1mh3

由于

p3.16EJ1mh3 与之对应的第一阶主振型 A11,2.2921,3.9233T

下面计算第二阶振型和频率：

M1T1=AMA1=20.6460mA11T2.29213.9233AMm12.29215.25378.99263.92338.992615.3923A2111T0

得到含清除矩阵的动力矩阵

1TD*=DAA1MMP211

30.0093 0.0033 -0.0043mhEJ0.0033 0.0104 -0.0069-0.0043 -0.0069 0.0051

2假设初始振型为A0111T，经过8次迭

代后得到

A21,1.3528, -1.0454T

p2EJ254.95mh3 pEJ27.41mh3 下面计算第3次振型和频率：

TD*A2A2Mmh30.0046 -0.0030 0.0006D**=MP2 =-0.0030 0.0019 -0.000322EJ 0.0006 -0.0003 0.0001用同样的方法可得经过三次迭代， p2EJ3151.0mh3 p12.3EJ3mh3 A31,0.6454, 0.1220T

最后的结果是： pEJEJ13.16mh3p27.41mh3pEJ312.3mh3

A11,2.2921,3.9233T

A21,1.3528, -1.0454T

A31,0.6454, 0.1220T

5-8 用矩阵迭代法计算题4-8系统的固有频率和主振型。

题4-8图

解：如图选择广义坐标。

求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵

为

m00kkM0m03kKk3kk0m0，kk3k

21114k121112

2114k1121可得动力矩阵D=112m00210m10m1210m 4k0=112

设初始假设振型 T 0=111

进行迭代 经过一次迭代后 得

21111m4k1211mD01121k1=

1m=k1 由于01 12m所以1k 即21km 与之对应的第一阶主振型为

(1)111

(1)T(1)()3m 1又由于

T(3)112 假设0TD**(03)303111m001110001m01110m0m111m(1)((1))T18k24km(3)30321100m1118k1所以可得含清除矩阵的动力矩阵

(1)(1)TD*D()211m21211112k112

)选取初始假设振型

(20111T

m12k21112111D*(2)01121=

1m6k21m6k(2)=1

m12k211121第二次迭代

D*(2)1112112m4k21=1m=4k(2)2

(2)(由于

2)12 12m2所以24k 所以

24km

与之对应的第二阶主振型为 (2)=121T

由于2((2))T(2)6m 1(2)((2))T2m001210m0m100m所以可得动力矩阵303D**D*(2)((2))Tm00022224k033

= D**(3)第二次迭代

1m24k3031100003m4k0m4k(3)23011

(3)(3)由于

23 1mk所以

234k所以

234m

所以第三阶振型为

(3)101T

111120综上所得可以写出主振型

111 固有频率为

1km，

22km，

32km

5-9 用子空间迭代法计算题4-5系统的第一、二阶固有频率和主振型。

题4-5图

解：系

统的质量矩阵、

刚度矩阵、柔度矩阵

m0M00m0,K192EJ232297l3223222,2010m92223243291177682lEJ11116117

119。 TA1210现取假设振型

101 由

动

力

矩

阵

迭代得到

113MA0ml911710011768EJ11161101020971100111ml3382768EJ540382分别归一化得到

11.4211T

11101求得M*1、K1*

M1*1TM1m4.0194002K1*1TK1198EJ3.567907l3028再由李兹法特征植问题为

*

(K1p2M*1)a10

即 3.56704.019400228a1(0a1)20 7mp2l3其中

192EJ。由上述方程非零解的条件得频率方程解

题5-10图

10.0714,20.8877

a01(1)(2)1.00001.0000,a20T

111.421111a

101 A11.42111T1所以

101 重复上述过程进行第二次迭代，有

TMA0ml3202768EJ31.631644.736831.6316101T 归一化得

11.40961 则有

M*TMm2003.9870K*TK198EJ2807l303.5383

由(K*p2M*)a0 有

2820a103.53833.9870a020 a()(1)得

10,a()(2)01 Ta10111.40961A

则a

结束迭代，求得系统的前二阶固有频率及相应的主振型

p121.9584EJml3,p2224.3483EJml3A(1)100T

A(2)11.40961T

5-10 用传递矩阵法求题5-10图所示系统的固有频率和主振型。

5-11 题5-11图示的悬臂梁质量不计，抗弯刚度为EJ，用传递矩阵法求梁横向弯曲振动的固有频率和主振型。

题5-11图

5-12 用传递矩阵法求题4-5系统的固有频率和主振

型。

题4-5图

题6-2图

图所示；

(3) 两个大小相等、方向相反的常力F作用于杆的四分之一点及四分之三点处如题图6-2(c)所示。

习 题 六

解：6-1 一等直杆沿纵向以等速v向右运动，求下列情况中杆的自由振动∶

(1) 杆的左端突然固定； (2) 杆的右端突然固定； (3) 杆的中点突然固定。

解；(1)杆的左端突然固定； 杆的初始条件为：ux,0u0x0

ux,0V

pa有

题

可

知

ii2l,i1,3,5uixDiisin2lx,i1,3,5l2

ADixD20isin2ldx1i得

Alu2ixAlsini2lx lii00AVDisin2lxdx ，i00

AVD2lii

0iisinpit所以有：pi进而有：

ux,tiiut1,3,5iDx2l2liiisin1,3,52lAVDiiiasin%

ui全部改成：U~i

6-2 求下列情况中当轴向常力突然移去时两端固定的等直杆的自由振动∶

(1) 常力F作用于杆的中点，如题6-2(a) 图所示； (2) 常力F作用于杆的三分之一点处，如题6-2(b)

（1） 根据题意 ，t0时杆内的应变 /2 0PEA 杆的初始条件为

ux,0u0xl/20x{0x0lxl/2xl 因为干两端固定，可解得固有频率及主

振型为

Piiali1,2,UiixDisinlxi1,2,aE 将主振型代入归一化条件，得

2l0ADiisinlxdx1D2i Al 得到正则振型

U~2iixsinxi1,2,  8 Vl得到以正则坐标表示的初始条件为1Alilxi  2a i 1,3,5 i 2sin

2lsina2lt 0li2l2ii0Au0xDisinlxdxA0Dii22sin2•ix0i1,2, 得到以正则坐标表示的对初始条件的响应

ii0cospit

pit 于是杆的自由振动

~ux,t i 于是杆的自由振动

i0cospit

ux,ti2l2i UtDsinxADsincosptiiil0i22i~i2i1,2,i1,2,il2i

UtDsinxADsincosiii0i22 i 4sin0l22isinilxcospti2i1,2, i12pl122EAsinixcosiati21,3,ill （2） 根据题意 ，t0时杆内的应变

2P/3P/3P1EA2EA设0EA 杆的初始条件为

ux,0u1x0xl/30x{2lxl/3xl

230x0xl/3{130lxl/3xl

因为干两端固定，可解得固有频率及主振型为

Piaili1,2,UiixDisinlxi1,2, 将主振型代入归一化条件，得

l20ADiisinlxdx1D2i Al 得到正则振型

U~2ixAlsinilxi1,2, 得到以正则坐标表示的初始条件为

0l0Auil2ii0xDisinlxdxA0Dii22sin3•ix0i1,2, 得到以正则坐标表示的对初始条件的响应

i1,2,i1,2,li3 i 2sin0l32sinii1,2,i2lxcospit 2pl1iiEAxcosa2sinti1i2ll

（3） 根据题意 ，t0时杆内的应变 P 0 杆的初始条件为

EA

0x0xl/4ux,0u0x{0l/2xl/4x3l/40lx3l/4xl

因为干两端固定，可解得固有频率及主振型为

Piiali1,2,UiixDisinlxi1,2, 将主振型代入归一化条件，得

2l0AiDisinlxdx1D2i Al 得到正则振型

U~2ixAlsinilxi1,2, 得到以正则坐标表示的初始条件为

lil2i00Au0xDisinlxdxA0Dii2•ix0i1,2, 得到以正则坐标表示的对初始条件的响应 i0cospit 于是杆的自由振动 i

ux,t

ixp08l3siniil2i3i~x,sint)Uipit•Di22(UiitDisinxA0Di22sinu(i(t)Disincos~i1,2,i1,2,li 2sini3i24sin40l2sinixcospiti1,2,il i24pl14iia2EAsinxcosti2,6,102ill6-3 如题6-3图所示，

一端固定一端自由的等直杆受到均匀

题6-3图

p分布力

0F0l的

作用，求分布力突然移去时杆的响应。

p0x解：t-=0时的应变为EA

杆的初始条件为

uxp0yp0x20(x)0EAydy2EAu.0(x)0 一端自由一端固定，可知杆的因有频率和主振型为

piai2l(i1,3,5......)U(x)Diiisin2lx(i1,3,5......)将主振型代入上式归一化为

li0A(Disin2lx)2dx1D2iAl以正则坐标表示初始条件为

3lii(0)0Au0(x)Disin2lxdxp08lsini2EDii22(2.i(0)0(i1,3,5......)p308li22EDii22(sin2i)以正则坐标表示对初始条件的响应为 ii(0)cospit于是杆的自由振动为

44i1,3,5...

i1,3,5...2l2Ei16p0l2π3EA1iπxiπai3sincost1,3,i2l2l u(x,t)16F0l1iπxiπaπ3EAi1,3,i3sin2lcos2lt杆左端固定端，右端为自由端 ux,tU(x)(AcosptBsinpt) U(x)CcospxpxaDsina边界条件

dUU(0)0xl得固有频率，主振型

dx0

p(2i1)i2laU(2i1)i=1,2,……

i(x)Disin2lx u(x,t)x2l(Aiaiaicos2ltBisini1sini,3,2lt)杆在x处的应变

F0x0lx0EAdx2

F0x 2EAl初始条件

u(x,0)uF30x0(x)0x2EAl

u•(x,0)u•0(x)0•u•

由u(x,0)0(x)0得

Bi0

u(x,t)) i1sinixi,3,2lAcosai2lt 再利用三角函数正交性

Alil 0sin2(x2l)dxixi00xsin2ldx

l3 F0xix02EAlsin2ldxA16Fl

0 得ii33EA u(x,t)i1sinix,3,2lAiaicos2lt16F0l1

i33EAi1,3,i3sinixia2lcos2lt

2

2i6-4 假定一轴向常力F突然作用于题6-2的等直杆的中点处，初始时刻杆处于静止平衡状态，求杆的响应。

解

：

U(x)CcospaxDsinpax

U00由题意知，边界条件为

Ul0

Piai(i1,2,....)由此解出固有频率l

U(i)Dix

iisinl lAU2idx1将主振型代入归一化条件0，得

l20ADiisinlxdx1D2i Al 得到正则振型

U~2iixAlsinlxi1,2,

l由

2ipii0q(x,t)Uidx因为P(t)P为集中力，

不是分布力

lx,t)Ul0q(idx0p(t)(x)Uidxp(t)Ui()P所以

由上式得稳态响应

2lP2iiπai(t)i22a2Alsin2(1coslt)(i1,2,3...) 2U(x,t)Ui(x)i(t)j0,1,2i2AlsinixllPi22a21,2,...i2 u(x,t)2Pl(1)2π2EAi2siniπxiπi1,3,l(1cosalt)（i=1，2，3…）

6-5 假定题6-3的等直杆上作用有轴向均匀分布的

F0sint干扰力l，求该杆的稳态强迫振动。

解： 因

为杆是一端固定，可得固

有频率和主振型为

Piia2li1,3,5UiixDisin2lxi1,3,5



将主振型代入归一化条件，得

2l0AiDisin2lxdx1D2i Al 得到正则振型

U~ix2Alsini2lxi1,3,5 又第i个正则方程为

2l ipii0qx,tUidx

lF00lsintsini2lxdx

2DiF0isint1,3,5 所以可得正则坐标的稳态响应为

2Dit iF0p22sintii 杆的稳态响应振动为

sinixux,tU~iitl 

i1,2,U~iiti1,3,5,

2i4F0sintiπa1Alsin2(1Alcosi1,3,5lt)ip22sinii

2lx piaEi 其中

2l,a。

6-6 一根两端自由的等直杆，中央作用有一轴向力

2F(t)Ft1t1，其中F1、t1为常数，假设起初杆处于

静止，求杆的响应。

U(x)CcosppE解：

axDsinaxa 

dUpCsinpxpDcosp dxaaaax 2Al由题意知，边界条件为

dUdUdx0,0x0dxxl 有这些边界条件得

D0,ppiaCsinal0pa，所以

l piila i0,1,2,3U(x)Ci

所以

iicoslx i0,1,2,3 lA(Cix)2icosdx1Ci2由0l 所以 Al i0,1,2,3U(x)2cosiix所以 All i0,1,2,3

lp(t)Pt由

2ipii0q(x,t)Uidx21( 由于

t)1集中

力，而非分布力 所

以 l0q(x,t)Uidxl0p(t)(x)Uidxp(t)Ui()CiP1(CPtt)2cosit2ii1(CiP1()12,i0,2,4,12t1，

l因为是在中央作用力，所以题6-7图

2 所以 ，由上式求得稳态响应

(t)1t2ip2CiP1()cosiit1当i2,4,时，

pi

0，

1tii(t)p20CiP21(1sinpi(t)dit)11pC1iiP1t212t2t2cospit22cospiti1当

i0时，p0

i，

dvPt21(t)1dtAlt2t3vtP1(t)P121t10Aldt3Alt4P1t)tt211(0vdt12Al所

以U(x,t)jUi1t2i(x)i(t)0,1,2jCicosx2CiP()0,1,2lp1itco12Pt21(1)jiAlt22cosx1j0,1,2pil

t4P1U(x,t)t2112At4P12t112Ali2,4,6-7 一根等直圆轴

的两端连接着两个相同的圆盘，如题6-7图所示，已知轴长l，轴及圆盘对轴中心线的转动惯量分别为

Is及

I0，

求系统扭转振动的频率方程。

)2cosi22解： t2a2x2a2G（） 设(x,t)U(x)(AcostBsint) 代入运动微分方程得 d2U(x)2dx2a2U(x)0 上式的解可表示为U(x)CcosxxaDsina 其边界条件

dU当x=0时， G(2I0Is)dxKU(0) 当x=l时， G(2I)dU0IsdxKU(l)

U（0）=U( l )

I ltanl20aIsa(I0I)2( l)21a2Gsa , 其中

 6-8 题6-8图中的等直圆轴一端固定，另一端和扭

tt1转弹簧相连，已知轴的抗扭刚度为长度为l，弹簧的扭转刚度为程。

GJp，质量密度为

，

U(x)Ccosk，求系统扭转的频率方

ppxDsinxaau(x,t)U(x)(AcosptBsinpt)

U(0)0,得

2a22x tGa2题6-8图

22由

C0，

uppDcosx(AcosptBsinpt)xaa

2up2Dpsinx(AcosptBsinpt)（） 2ta 设

由条件（2）(x,t)U(x)(AcostBsint 得

代入运动微分方程得：

d2U(x)dx22a2U(x)0

U(x)Ccosx上式的解可表示为

aDsinxa （a）

其边界条件为 U(0)0，在xl处

GJdUFdxkU(l) （b）

将（b）中第一式代入（a）得：C0U(x)Dsinal （c）

GJ将（b）中第二式代入（a）得：

Falksinal tanl

aGJp lEka2la , 其中 

6-9 写出题6-9图所示系统的纵向振动频率方程，并写出主振型的正交性表达式。

题6-9图

解

：

边

界

条

件

为

：

U(0)0, EAuxxlm2ut2ku(x,t)xl

EADpacospalmDp2sinppalkDsinal

U所以

i(x)Disinpiax

EA p acos p al  ( mp 2  k )sin paltgpEApala(mp2k)

这就是我们所要求的频率方程

所以主振型关于质量的正交性

lAUUdx0(i0ijj)l0AUiUjdxMpj(ij)Mpj为第j阶主质量

主振型关于刚度的正交性为

lUd0j(EAdUi)dx0(idxdxlEAdUidUjdx0(i0dxdxldUld0EA(jdx)2dxUj0dKpj称解：⑴ 该题中杆的振动方程为：

u(x,t)U(x)[AcosptBsinpt]...........<1>

其中

U(x)Ccos(px/a)Dsin(px/a).........(a2E/)由于边界条件中U（0）=0

代入U（x）中得C=0

再将U（x）代入<1>中 ，由<1>知：

upDxsinpla(AcosptBsinpt)xl=a 2u2plt2pDsin(AcosptBsinpt)xla再由边界知：

uku(x)2uEA

xxlmxlt2xl

tanpl得：a(mp2k)EApa atanplEA即：

pamp2k ⑵ 已知方程

A2uut2x(EAx)将1代入该式中得ddx(EAdUdx)p2AU取一特解Ui,p2i及另一特解Uj,p2j得：d(EAdUidxdx)p2iAUi.......2

由2乘并对杆积分得l0UddUi2ljdx(EAdx)dxpi0AUiUjdx所以

UEAdUlilldx)00EAdUidUjj(dxdxdxp2i0AUiUjdxEAuku(x)2uxlmt2由

xxlxl EAdU(x)dx(mp2k)U(l)得：

xl及U(0)0代入3得p2[mUlii(l)Uj(l)0AUiUjdx]i,j互换p2[mUll''ji(l)Uj(l)0AUiUjdx]0EAUiUjdx两式相减得：l0AUiUjdxmUi(l)Uj(l)ij将上式代入5得lEAU'U'0ijdxkUi(l)Uj(l 所以，其解为正交。

6-10 试求具下列边界条件等截面梁的横向弯曲振动频率方程及主振型∶

(1) 两端固定；

(2) 一端固定、一端简支；

(3) 一端简支、一端自由。

6-11 求下列情况中常力F突然移去时等截面简支梁的自由振动∶

(1) 常力F作用于x = a处，如题图6-11(a)所示；

(2) 两个大小相等、方向相反的常力F作用于梁的四分之一点及四分之三点处，如题图6-11(b)所示。

题6-11图

6-12 假定上题的简支梁承受强度为p0的均匀分布

力，求分布力突然移去时梁的响应。

6-13 一简支梁在t = 0时除两端点外梁上所有点都得到横向速度v，求梁的响应。

6-14 一常力F突然加在简支梁的中点，求梁的响应。l2l6-15 一简支梁在距左端3和3处作用有两个横向

干扰力

F0sint，求梁的稳态响应。

6-16 一简支梁在左半跨上作用有强度为

p0sint的分布力，求梁中央处的振幅。

6-17 试求简支梁在正弦分布的横向干扰力

p(x,.....t)p3sinx0

lsint作用下的稳态响应。 6-18 简支梁受分布干扰力

p(x,t)p0sint作

用，求梁的稳态响应。

p(x,t)xlpsint6-19 简支梁受分布干扰力0的作用，求梁的稳态响应。

l0EAU6-20 ''iUj一简支梁在dxkUi(l)Ux = jl(l端的支座有).....4yl(t)bsint的横向运动，求梁的稳态响应。

kU6-21 U如题6-21图所示，等截面悬臂梁的自由端有一弹性支撑，其弹簧刚度为i(l)j(l).....5k，求频率方程和主振型的正交性条件。

p26-22 频率方程及主振型正交性条件。j试求两端附有集中质量m的自由等截面梁的

..........)

题6-21图 题6-23图

6-23 如题6-23图所示，简支梁上附有两个相等的集中质m，m值等于全梁质量的一半，试用瑞利法求系统的基频，并用里兹法求基频和第二阶固有频率。

6-24 如题6-24图所示，一根矩形截面杆一端固定一端自由，其长度为l，厚度为b，横截面积A按直线规

xA(x)A01l，其中A0为自由端的截面律变化∶

积，试用里兹法求纵向振动的第一及第二阶固有频率。假设基频函数

x2x31(x)122(x)13l l

题6-24图

题6-25图

6-25 两端固定的等截面梁，中央有一集中质量m，如题

2πY(x)Y01cosxl，用6-25图所示，设振型函数

瑞利法求梁横向振动的基频。

6-26 题6-26图所示为一等截面悬臂梁，(1) 选基础

223xxx1(x)2(x)2ll用里兹法l，函数

求第一及第二阶固有频率，并与精确值比较；(2) 分别

取

1(x)及2(x)作振型函数，用瑞利法求梁的基频，并与(1)的结果比较。

题6-26图