广东省中山一中等六校2013届高三12月联考数学理试题与答案(纯净WORD)

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理科数学试题 命题人：宝安中学、中山一中

本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。 参考公式：2012-12-26 Wednesday

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概

kk率PnkCnP1Pnk

锥体体积公式：V1Sh，S为底面面积，h为高． 3一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集UR，集合M{x|2x40}，则ðUM=

A．{x|x2} B．{x|x2} C．{x|x2} D．{x|x2}

2．复数在复平面中所对应的点到原点的距离为

A． B．1 C． D．

3．如图所示，一个空间几何体的主（正）视图和左（侧）视图都是边长为 1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为

A．

3π B．2π C．3π D．4π 2

4．执行右边的程序框图，若p=4，则输出的S=

A．

171531 B． C． D． 16816322a,n5．数列an满足an12a1,n则数列的第2012项为

0an121an12，若a13， 5

A．

1234 B． C． D． 5555

6．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别

x·y

交于M，N两点，且AM＝xAB，AN＝yAC，则的值为

x＋y

A．3

1

B． C．2

3

1

D．

2

7．一植物园参观路径如右图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同

的参观路线种数共有

A．6种 C．36种

B．8种 D．48种

8．函数yx22x在区间[a,b]上的值域是[1,3]，则点（a，b）的轨迹是 图中的 A．线段AB和线段AD B．线段AB和线段CD C．线段AD和线段BC

D．线段AC和线段BD

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9-13题）

149．在二项式x2的展开式中，含x的项的系数是 ．

x

10．某单位为了了解用电量y度与气温xC之间的关系，统计了某4天的用电量与当天气温，

数据如下表： 气温（0C） 用电量（度） 18 24 13 34 10 38 51 64 ˆbxa中的b2，预测当气温为10C时，该单由表中数据可得线性回归方程y位用电量的度数约为_______度．

xy1011．已知不等式组xy10表示的平面区域为D，若直线y=kx +1将区域D分成面积

3xy30相等的两部分，则实数k的值是 ． 12．

20(21x)dx ．

213．若对于任意a[1,1]，函数f(x)x(a4)x42a的值恒大于零，则x的取值

范围是 ．

（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）

π14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点22,作圆4sin的切线，则

4切线的极坐标方程为 ．

15．（几何证明选讲选做题）如图，圆O的割线PAB交圆O于A,B两点，割线PCD经过圆心O，已知PA6，AB圆O的半径是 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）

在△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，cosA（1）求角C的值；

（2）若a4，求△ABC面积．

17．（本小题满分12分）

某同学向如图所示的圆形靶投掷飞镖，飞镖落在靶外（环数记为0）的概率为0.1，飞镖落在靶内的各个点是随机的．已知圆形靶中三个圆为同心圆，半径分别为30cm、

020cm、10cm，飞镖落在不同区域的环数如图中标示．

8（1）若这位同学向圆形靶投掷3次飞镖，求恰有2次落在9环区域内的概率； 9（2）记这位同学投掷一次得到的环数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．

10

18．（本小题满分14分）

如图，等腰梯形PDCB的底角为45，PB3,DC1,PDBC2, A为

第15题图 22，PO12，则35，tanB3． 5PB边上一点，且PA1,将PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．

（1）求证：CD⊥平面PAD；

（2）若M为PB的中点，试求异面直线AM和BC所成的角的余弦值；

（3）在侧棱PB上有一点Q，使截面AQC把几何体分成的两部分的体积之比

VPDCQA:VQACB7:2，求PQ的长．

A PP MM AA BB PBDCDD C C19．（本小题满分14分）

x2y23已知椭圆C1：221 （a>b>0）的离心率为，直线l：xy20与以原点为

ab3圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．

（1）求椭圆C1的方程；

（2）设椭圆C1的左焦点为F 1，右焦点F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直直线l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程； （3）若A（x1，2）、B（x2 ，y2）、C（x0，y0）是C2上不同的点，且AB⊥ BC，求yo的取值范围．

20．（本小题满分14分）

已知函数f(x)(x23x3)ex定义域为2,t（t2）． （2）求证：f(t)f(2)； （3）当1t4时，求满足

21．（本小题满分14分）

已知曲线C:xy1 ，过C上一点An(xn,yn)作一斜率kn一点An1(xn1,yn1)．

（1）求xn与xn1之间的关系式； （2）求证：数列{（1）试确定t的取值范围,使得函数f(x)在2,t上为单调函数；

f(x0)2(t1)2的x0的个数． x0e31的直线交曲线C于另xn211}是等比数列；

xn23（3）求证：(1)x1(1)2x2(1)3x3(1)nxn1(nN*)

2012-2013年度12月六校联考理科数学答案

一、选择题： 题号 正确答案 二、填空题：

9．10； 10．80； 11．14．cos2； 15．8． 三、解答题：

16．在△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，cosA（1）求角C的值；

（2）若a4，求△ABC面积． 解：（1）在△ABC中，由cosA1 C 2 C 3 A 4 C 5 D 6 B 7 D 8 A 1； 12．3； 13．(,1)(3,)； 35，tanB3． 5525得sinA，tanA2，……………3分 55tanCtan(AB)又0C，∴ C（2）由

tanAtanB1， ……………5分

1tanAtanB． ……………6分

4acsinCa10， ……………8分 可得，csinAsinCsinA由tanB3得，sinB3， ……………10分 10所以，△ABC面积是

1acsinB6． ……………12分 2

17．某同学向如图所示的圆形靶投掷飞镖，飞镖落在靶外（环数记为0）的概率为0.1，飞镖落在靶内的各个点是随机的．已知圆形靶中三个圆为同心圆，半径分别为30cm、20cm、10cm，飞镖落在不同区域的环数如图中标示．

（1）若这位同学向圆形靶投掷3次飞镖，求恰有2次落在9环区域内的概率； （2）记这位同学投掷一次得到的环数为随机变量X，求X的分布列及数学期望． 解：（1）由题意可知，飞镖落在靶内各个区域的概率与它们的面积成0正比，而与它们的质量和形状无关． 8由圆的半径值可得到三个同心圆的半径之比为3：2：1，面积比为99：4：1， 10所以8环区域、9环区域、10环区域的面积比为5：3：1， 则掷得8环、9环、10环的概率分别设为5k，3k，k

根据离散型随机变量分布列的性质有0.1+5k+3k+k=1，解得k=0.1． ……………3分

所以，这位同学向圆形靶投掷1次飞镖，落在9环区域内的概率为0.3，

所以，P（向圆形靶投掷3次飞镖，恰有2次落在9环区域内）

2C30.32(10.3)0.189． ……………6分

（2）随机变量X的取值为0，8，9，10， ……………7分

P(x0)0.1，P(x8)0.5，P(x9)0.3，P(x10)0.1，

所以，离散型随机变量X的分布列为： X 0 8 9 10 P 0.1 0.5 0.3 0.1 ……………11分 E（X）=0×0.1+8×0.5+9×0.3+10×0.1=7.7． ……………12分

18．如图，等腰梯形PDCB的底角为45，PB3,DC1,PDBC2, A为PB边上一点，且PA1,将PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD． （1）求证：CD⊥平面PAD；

（2）若M为PB的中点，试求异面直线AM和BC所成的角的余弦值；

（3）在侧棱PB上有一点Q，使截面AQC把几何体分成的两部分的体积之比

VPDCQA:VQACB7:2，求PQ的长．

PAB PP MM AA BB DCDD C C（1）证明：依题意知P45，PA1,PD2，ADAB， 又CD∥AB，CDAD，

又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD， zPCD平面PAD． …………………4分

（2）由PADPAB90知PA平面ABCD，

如图，分别以AD,AB,AP所在的直线为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系Axyz，

xDAMByC则易得各点的坐标为A(0,0,0)，P0,0,1,D1,0,0,C1,1,0,B0,2,0.

11故PB的中点的坐标为M0,1,,故AM0,1,,又CB1,1,0,

22

AMCBcosAM,CBAMCB1110.

5150111024210． ……………9分 5所以异面直线AM和BC所成的角的余弦值为（3）解：∵VPDCQA:VQACB7:2，∴VQACB2VPABCD………………11分 9

又由PADPAB90知PA平面ABCD，又

113SABCDDCABAD121,SABC1．

222设Q到平面ABCD的距离为h，则

1212S231hSABCPASABCDhABCD.……………………12分 3939SABC923

又

hBQBQ122,故PQPB5，……………………14分 PABPBP333

x2y2319．已知椭圆C1：221 （a>b>0）的离心率为，直线l：xy20与以原

ab3点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．

（1）求椭圆C1的方程；

（2）设椭圆C1的左焦点为F 1，右焦点F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直直线l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程； （3）若A（x1，2）、B（x2 ，y2）、C（x0，y0）是C2上不同的点，且AB⊥ BC，求yo的取值范围．

c2a2b2132222a3b解：（1）e，所以，e2，所以，， ……………2分 2aa33222

又因为直线l：xy20与圆x＋y＝b相切，

所以，分

222

＝b，所以，b＝2，b＝2，a＝2， ……………………32x2y21． ……………………4分 所以，椭圆C1的方程是32（2）因为|MP||MF2|，

所以，动点M到定直线l1:x1的距离等于它到定点F2(1,0)的距离， 所以，动点M的轨迹是以l1为准线，F2为焦点的抛物线，且

p＝1， 2所以点M的轨迹C2的方程为y2＝4x． ……………………8分

y02y22（3）由（1）知A（1,2），B(,y2)，C(,y0)，y02，y0y2，

44y02y22y224则AB(,y22)，BC(,y0y2)，…………………………10分

44y224y02y22 BC，所以，ABBC0，于是又AB⊥(y22)(y0y2)0

442

整理，得：y2＋（y0＋2）y2＋16＋2y0＝0， …………………………12分

2

此方程有解，所以∆＝（y0＋2）－4（16＋2y0）≥0，解得：y0≤－6或y0≥10，

所以，点C的纵坐标y0的取值范围是(,6][10,)．…………………………14分

20．已知函数f(x)(x23x3)ex定义域为2,t（t2）． （1）试确定t的取值范围,使得函数f(x)在2,t上为单调函数； （2）求证：f(t)f(2)； （3）当1t4时，求满足

2f(x0)2(t1)2的x0的个数． x0e3xxx（1）解：因为f(x)(x3x3)e(2x3)ex(x1)e …………2分 由f(x)0x1或x0；由f(x)00x1，所以f(x)在(,0),(1,)上递增，在(0,1)上递减， 欲f(x)在2,t上为单调函数，则2t0． ……………4分

（2）证：因为f(x)在(,0),(1,)上递增，在(0,1)上递减，

所以f(x)在x1处取得极小值e， ……………………………………6分 又f(2)13e，所以f(x)在2,上的最小值为f(2) …………8分 e2从而当t2时，f(2)f(t) ……………………………………………………9分 （3）因为

f(x0)f(x0)222222xx(t1)xx(t1)，所以即为， 0000x0x0ee33

令g(x)xx222(t1)2，从而问题转化为求方程g(x)x2x(t1)2=0 33在(2,t)上的解的个数， …………………………………………12分 因为g(2)622(t1)2(t2)(t4)，3321g(t)t(t1)(t1)2(t2)(t1)，

33所以当1t4时，g(2)0且g(t)0，但由于g(0)所以g(x)0在(2,t)上有两解． 即，满足

2(t1)20， 3f(x0)2(t1)2的x0的个数为2． ……………………………………14分 x0e321．已知曲线C:xy1 ，过C上一点An(xn,yn)作一斜率kn于另一点An1(xn1,yn1)． （1）求xn与xn1之间的关系式； （2）求证：数列{1的直线交曲线Cxn211}是等比数列；

xn23（3）求证：(1)x1(1)2x2(1)3x3(1)nxn1(nN*) 解：（1）直线方程为yyn1(xxn),因为直线过点An1(xn1,yn1)， xn2yn1yn1111(xn1xn)(xn1xn)xnxn1xn2． xn2xn1xnxn2……………………………………………4分

（2）设an11,由（1）得 xn23an11111112()2an

xn123xn23xn232xn又a120,故{11}是等比数列； ……………………8分 xn23

（3）由（2）得an(2)xn2n11(2)3n

(1)nxn(1)n2112n(1)n3 ……………………10分

当n为偶数时，则

(1)n1112n2n12n2n1xn1(1)xnnn1n1n

1122222n2n12n139n(1)x1(1)2x2(1)3x3...(1)nxn2311112...n1n1；…………12分 2222nn当n为奇数时，则(1)x1(1)x2(1)x3...(1)xn1(1)xn 而xn212n130,所以1(1)nxn1xn1

(1)x1(1)2x2(1)3x3...(1)nxn1

综上所述，当nN*时，(1)x1(1)2x2(1)3x3(1)nxn1成立．………14分