抛物线题型分类

抛物线

题型一 抛物线的定义及其应用

【典型例题】

1. 设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A 为垂足，如果直线AF的斜率为-3，那么|PF|＝( ) A．43 B．8

C．83 D．16

2. 已知点P是抛物线y2＝4x 上的动点，点P在y 轴上的射影是M，点A 的坐标是(4，a)，则当 |a|>4时，|PA|＋|PM|的最小值是________．

3. 已知点P(2，y)在抛物线y2＝4x 上，则P 点到抛物线焦点F的距离为( ) A．2 B．3 C.

3 D. 2

【提分秘籍】

1．定点F不能在定直线l上，因为若定点F在定直线l上，则动点的轨迹为过点F且垂直于l 的直线而非抛物线．

2．抛物线的定义实质上给出了一个重要的内容：可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．

3. 利用抛物线的定义可解决的常见问题

(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线； (2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意利用两者之间的转化在解题中的应用．

提醒：注意一定要验证定点是否在定直线上．

题型二 抛物线的标准方程与几何性质

【典型例题】

1. 已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP 的面积为( )

A．18 B．24 C．36 D．48

2. 已知抛物线C与双曲线x2 －y2 ＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是( ) A．y2 ＝±22x B．y2＝±2x

C．y2＝±4x D．y2＝±42 x

3. 如图，过抛物线y2 ＝2px(p>0)的焦点F 的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC| ＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )

A．y2 ＝9x B．y2 ＝6x

C．y2 ＝3x D．y2 ＝3 x

4. 过抛物线y2 ＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为( ) A.

2 B. 22 C.

32 D．2 22

【提分秘籍】

1.抛物线焦点弦的几个常用结论

设AB 是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F 的弦，若A(x1,y1 )，B(x2 ，y2 )，则

p2 (1)x1x2 ＝ ，y1y2 ＝－p2 .

42p (2)弦长|AB|＝x1 ＋x2 ＋p＝ (α为弦AB 的倾斜角)． 2sin112 (3) 

|FA||FB|p

(4)以弦AB 为直径的圆与准线相切．

2.求抛物线的标准方程的方法及注意事项

(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以，只需一个条件确定p 值即可；

(2)注意事项：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．

题型三 直线与抛物线的位置关系

【典型例题】

1. 如图，在直角坐标系xOy 中，点P (1,

15) 到抛物线C：y2 ＝2px(p>0)的准线的距离为,点24M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB 被直线OM平分．

(1)求p，t的值；

(2)求△ABP 面积的最大值．

2. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l与抛物线y2 ＝4x相交于不同的A、B两点． (1)如果直线l过抛物线的焦点，求 OA· OB的值；

(2)如果OA· OB＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．

【提分秘籍】

设直线方程Ax＋By＋C＝0与抛物线方程y ＝2px(p>0)联立，消去x 得到关于y 的方程my2 ＋ny＋l＝0.

(1)位置关系与其判别式Δ的关系： 方程特征 交点个数 位置关系 1 直m=0 直线与抛物线的对称轴平行或重合，两者相交 线 2 相交 与m≠0, ∆>0 抛m≠0, ∆=0 1 相切 物线 m≠0, ∆<0 0 相离

(2)相交问题的求解通法：

涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系，采用“设而不求”“整体代入”等解法．

注意：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．

【跟踪练习】

1．曲线y＝e＋2在点(0，3)处的切线方程为________．

2．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C在第一象限相切于点B，记C的交点为F，则直线BF的斜率为（ ）

A.

5x1234 B. C. D. 2343

3．已知抛物线C：y2 ＝8x 的焦点为F，准线为l，P 是l上一点，Q是直线 PF 与C的一个交点．若FP＝4FQ，则|QF|＝( ) A. C.

7 B．3 25 D．2 2

4．已知两条抛物线E1 ：y2＝2p1 x(p1＞0)和E2：y2＝2p2 x(p2＞0)，过原点O的两条直线l1 和l2 ，l1 与E1 ，E2分别交于A1 ，A2 两点，l2 与E1 ，E2 分别交于B1 ，B2 两点．

(1)证明：A 1B2 ∥A1 B2 ；

(2)过O作直线l(异于l1 ，l2)与E1，E2 分别交于C1 ，C2 两点，记△A1 B1 C1 与△A2 B2 C2 的面积分别为S1 与S2 ，求

S1 的值． S2

5．在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F(1，0)的距离比它到y 轴的距离多 1. 记点M 的轨迹为C.

(1)求轨迹C的方程；

(2)设斜率为k 的直线l过定点P(－2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．

6．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a，b(a＜b)，原点O 为AD 的中点，抛物线y2 ＝2px(p＞0)经过C，F两点，则

b ＝________． a

7．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝

5|PQ|. 4 (1)求C的方程；

(2)过F 的直线l与C相交于A，B两点，若AB 的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M， B，N 四点在同一圆上，求l 的方程．

8．设F 为抛物线C：y2＝3x 的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C 于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( ) A.

6393393 B. C. D.

32448

9．已知抛物线C：y2 ＝2px(p＞0)的焦点为F，A 为C上异于原点的任意一点，过点A 的直线

l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．

(1)求C的方程．

(2)若直线l 1∥l，且l 1和C有且只有一个公共点E.

①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标．

②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

y2x210．如图所示，曲线C 由上半椭圆C1：221(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2

ab3＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为 .

2 (1)求a，b 的值；

(2)过点B 的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．

2y11．抛物线y2＝4x 的焦点到双曲线x1的渐近线的距离是( )

313 A. B. C．1 D. 3 3

222

12．若抛物线y2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p＝________；准线方程为 ________．

22xy13．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线B 两点，若△ABF 1相交于A，

33为等边三角形，则p＝________.

14. 设抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是 ( )

A．y2＝－8x B．y2＝－4x

C．y2＝8x D．y2 ＝4x

15．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2 ＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( )

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

16．若抛物线y2 ＝2px(p>0)上一点P 到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p 的值为( )

A．2 B．18 C．2或18 D．4或16

17．已知点P 为抛物线y2＝2x上的动点，点P 到准线的距离为d，且点P在y 轴上的射影是M，点A（A.

7，4），则|PA|＋|PM|的最小值是( ) 27 B．4 29C. D．5 218．若点P 到定点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0 的距离小1，则点P 的轨迹方程是( )

A．y2 ＝－16x B．y2 ＝－32x

C．y2 ＝16x D．y2 ＝16x 或y＝0(x<0)

19．已知直线l：4x－3y＋6＝0和直线l ：x＝－1，抛物线y2＝4x 上一动点P到直线l和直线l的距离之和的最小值是( )

35 B．2 511C. D．3

5A.

20．已知A、B为抛物线C：y2＝4x 上的不同两点，F为抛物线C的焦点，若FA ＝－4FB ，则直线AB 的斜率为( )

2 B．± 33C．± D．±

4A．± 3 24 3

21．已知过点P(4,0)的直线与抛物线y2＝4x相交于A(x1，y1 )、B(x2 ，y2 )两点，则y12＋y22 的最小值是________．

22.如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水位下降1m后，水面宽____________m.

23. 直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y 相切于点A.

(1)求实数b 的值；

(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．

24. 抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1 ，y 1)，B(x 2，y 2)均在抛物线上．

(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；

(2)当PA与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y1 ＋y2 的值及直线AB的斜率．

25. 设P(x1 ，y1 )，Q(x2 ，y2 )是抛物线y2＝2px(p>0)上相异两点，Q，P 到y 轴的距离的积为4且 OP· OQ＝0，PQ 交x轴于E.

(1)求该抛物线的标准方程；

(2)过Q的直线与抛物线的另一交点为R，与x轴的交点为T，且Q为线段RT 的中点，试求弦PR长度的最小值．