等差数列的性质

3.2等差数列的性质

教学目标：

1、掌握等差中项的概念和应用。

2、理解等差数列的简单性质。

3、理解和掌握等差数列通项公式的一般形式anamnmd以及其推导过程。

教学重难点：

1、 等差中项的应用。

2、 等差数列通项公式的一般形式anamnmd的推导及应用。

3、 等差数列其他性质的推究。

内容分析：本节是在学习了等差数列的概念及其通项公式的基础上进一步探究，学习等差数列的性质。

教学过程：

1、 复习回顾：

等差数列的概念：从第二项起，每一项于它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用d表示。

等差数列的通项公式：ana1n1d，（n=1、2、3……）

an是等差数列，取下标为奇（偶）数的项，按原来的顺序组成的新数列a2n1a2n还是等差数

列，公差是2d。

新课讲授：

ⅰ思考题目：在x、y之间插入一个数A，使得x、A、y成等差数列，问A与x、y之间有何关系。（让学生思考，上黑板写出自己的答案，老师分析推导过程）

评讲及过程分析： A—x=y—A ………………（根据等差数列的定义）

2A=x+y

xy A=2

xy归纳：若x、A、y成等差数列，则A=2。

xy提问 反过来若A=2，是否能推倒出若x、A、y成等差数列？

（先让学生思考）显然，将上述的过程逆向推导便可知A—x=y—A，则x、A、y成等差数列。

xy 总结：x、A、y成等差数列 A=2（充要条件）

定义：若x、A、y成等差数列，则A叫做x、y的等差中项。

拓展提问：

①等差数列中的任意连续3项，中间项与两端项有何关系？

（中间项×2=两端项之和）

②等差数列中，任一项是它两端项的等差中项？合理吗?

（对于有穷数列，除首、尾两项外的项都是它两端项的等差中项

对于无穷数列，除首项外的项都是它两端项的等差中项）

例：在，9、17之间插入3个数，使这5个数成等差数列，这三个数分别是多少？

分析讲解：设这3个数分别是x、y、z，由9、x、y、z、17成等差数列，等差数列中下标为奇数的项也成等差数列，则

9179y913y17131713111522222y=，x=，z=

ⅱ提问：等差数列的通项公式ana1n1d，求an，若不知a1，已知a2是否可以求an？

a3、a4呢？（讨论思考）

解答分析：思路一

ana1n1d ana1n1d ana1n1d

n2dn3d（a13d）n4d =（a1d） = （a12d） =

=a2n2d =a3n3d =a4n4d

观察：所求项的下标=已知项的下标+d的系数

才想：是否可以一般化为anamnmd （请同学们思考，请同学回答） 讲评分析：ana1n1d① ama1m1d② ①-②得： anama1n1da1m1d=mnd

所以anamnmd（当m=1时，即为通项公式）

思路二：a1、a2、a3am1,aman成等差数列，将a1、a2am1去掉，余下的aman ，n-m+1项仍

为等差数列，则am为新的等差数列的首项，公差d不变，由通项公式有

anamnm11damnmd；

问：n、m的大小有规定吗？

① n>m时，从推导过程看成立；

② n=m时，成立；

amanmndanamnmd③

n，移项得：

总结：anamnmd成立，只需满足m、n即可。

例：等差数列中，a1895,a32123,an199，求n.。（让学生思考解答）

首先确立函数的方程，由

anamnmd 有

a32a183218d1239514dd2 ana18n182199952n18n70 归纳：两次运用了anamnmd

ⅲ 提问：从等差数列中取4项，下标分别为：n ,m ,k ,l 且n+m=k+l，则相应的项an,am,ak,al有什么关系？（请学生思考解答）

分析讲评：ana1n1d① ama1m1d② aka1k1d③ ala1l1d④ ①+②得 anam2a1nm2d

akal2a1kl2d ③+④得

由n+m=k+l 得

2a1nm2d2a1kl2d

anamakal

当k=l时n+m=2k anam2ak，ak为an、am的等差中项。

例 a3a4a5a6a7450，问 a2a8？（学生思考回答）

分析讲评： a3a7a4a62a5a590

则a2a82a5180

巩固练习：

（1）已知a39，a912求a12

（2）an是等差数列，已知a1a612问a47求a9

（3）3个数成等差数列，他们的和为18，平方和为116，求这3个数。

课堂小结：

（1）若x、A、y成等差数列，则A叫做x、y的等差中项，且满足

xyx、A、y成等差数列 A=2（充要条件）

（2）取等差数列中下标为奇（偶）数的项，按原来的顺序组成的新数列还是等差数列，公差是2d

(3) 等差数列通项公式的一般形式:anamnmd( m、n)

（4）取等差数列中的4项，an,am,ak,al，若n+m=k+l，则anamakal

课后作业：

课本第115页，第3、、11题。

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