“隐形圆”

第一讲 “形\"现“圆”形

问题 如图所示，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝2，点P为等腰直角三角形ABC所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC的取值范围是__________．

B

P

C

A 圆是高中数学中一种简单但又非常重要的曲线，近几年高考题和高考模拟题中，经常会出现一类有关圆的题目，这类题目在条件中没有直接给出有关圆方面的信息，而是以隐性的形式出现，但我们通过分析和转化,最终都可以利用圆的知识求解．

这类题目构思巧妙，综合性强，，充分考查了学生的数形结合、转化和化归等数学思想方法，处理这类题目关键在于能否把”隐形圆\"找出来．

圆作为几何图形，找“隐形圆\"的一个角度可以从“形”的角度来发现． 策略一 由圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆

例1（1）如果圆（x－2a）2＋（y－a－3）2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是________．

（2）（2016年南京二模）已知圆O：x2＋y2＝1,圆M：（x－a）2＋（y－a＋4）2＝1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线,切点为A，B，使得∠APB＝60°，则a的取值范围为_________．

（3）(2017年苏北四市一模）已知A、B是圆C1:x2y21上的动点，AB=3，P是圆

2C2:(x3）(y4)21上的动点,则PAPB的取值范围是_________．

（4）若对任意R,直线l:xcos＋ysin＝2sin（＋

)＋4与圆C：(x－m）2＋(y－3m)26＝1均无公共点，则实数m的取值范围是_________．

（5）(2016年南通三模）在平面直角坐标系xOy中，圆C1:x12y22，

圆C2:xm2ym2m2，若圆C2上存在点P满足：过点P向圆C1作两条切线PA、PB,切点为A、B，ABP的面积为1，则正数m的取值范围是_________．

策略二 由动点P对两定点A、B张角是900(kPAkPB1，或PAPB0）确定隐形圆 例2 （1）已知圆C:(x3)2(y4)21和两点A(m,0)，B(m,0)(m0), 若圆上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是_________．

（2）（海安2016届高三上期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点P(−1，0）， Q(2，1）,直线l：axbyc0其中实数a，b,c 成等差数列，若点 P 在直线 l 上的射影为 H，则线段 QH 的取值范围是_________．

(3）设mR，直线l1:xmy0与直线 l2：mxy2m40交于点P(x0,y0),则x02y022x0的取值范围是_________．

策略三 由圆周角的性质确定隐形圆

例3 （1)已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边，a2，(a+b）（sinA-sinB）=（c—b）sinC则ABC面积的最大值为_________．

（2）（2017年常州一模）在△ABC中,∠C＝45o，O是△ABC的外心，若OCmOAnOB(m,n∈R),则m＋n的取值范围是_________．

策略四 由四点共圆的定理来确定隐形圆(如一个四边形的对角互补,则该四边形四点共圆）

例4 设向量a,b，c满足|a｜＝|b｜＝1,a·b＝－错误!，若a－c与b－c的夹角为60°，则|c｜的最大值等于 ．

【同步练习】

1.点A，B分别在x轴与y轴的正半轴上移动，且AB＝2，若点A从(3,0)移动到(错误!，0），则AB中点D经过的路程为 ．

2．已知O为坐标原点，向量OB(2,0)，OC(2,2)，CA(2cos,2sin)，则OA与OB夹角的范围为 ．

B(2,0)连线的斜率之积为1，3．已知直线l:x2ym0上存在点M满足与两点A(2,0)，

则实数m的取值范围是 ．

4．已知圆C：x2＋y2＝1，点P(x0，y0)在直线x－y－2＝0上,O为坐标原点，若圆C上存在一点Q，使得∠OPQ＝30°，则x0的取值范围是________．

5．如图，已知点A(－1，0）与点B（1，0)，C是圆x2＋y2＝1上的动点（与点A，B不重合），连接BC并延长至D，使得|CD|＝|BC｜，则线段PD的取值范围 ．

第5题

P A O B x y D C

第二讲 “数”现“圆”形

解析几何中，找“隐形圆”的另一个角度可以从“数”的角度(求出其方程）来发现． 策略五 直接由圆（半圆）的方程确定隐形圆

例1 (1）（2016年泰州一模)已知实数a，b，c满足a2b2c2，c0，则围为__________．

（2）若方程3－4xx2＝x＋b有解，则b的取值范围是 ．

（3）已知实数x、y满足xx1y3y，则x+y的最大值是__________．

策略六 直接由圆（半圆）的参数方程确定隐形圆

例2（1) 已知,tR,则(cost2)2(sint2)2的取值范围是__________．

（2）函数f(x)=

b的取值范a2csinx1（0≤x≤2) 的值域是________．

32cosx2sinx

策略七 由两定点A、B，动点P满足PAPB（是常数），求出动点P的轨迹方程确定隐形圆

例3 已知圆C:(x3)2(y4)21和两点A(m,0),B(m,0)(m0)．若圆C上存在点P，使得PAPB1，则m的取值范围是__________．

策略八 由两定点A、B，动点P满足PA2PB2是定值确定隐形圆

例4（1)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:(x－a）2＋(y－a＋2）2＝1，点A（0，2）,若圆C上存在点M，满足MA2＋MO2＝10,则实数a的取值范围是__________．

（2) （2017届盐城三模）已知A，B，C，D四点共面，BC2，AB2AC220,CD3CA，则|BD|的最大值为 ．

策略九 由两定点A、B，动点P满足

PA(0,1)确定隐形圆（阿波罗尼斯圆） PB例5(1）（2016年南通一模）在平面直角坐标xOy中，已知点A(1,0),B(4,0),若直线1xym0上存在点P使得PAPB,则实数m的取值范围是________．

2

（2）（2016届常州一模)在平面直角坐标系xOy中,已知圆O：x2＋y2＝1，

O1：（x－4)2＋y2＝4，动点P在直线x3yb0上，过点P作圆O，O1的两条切线，切点分别为A，B，若满足PB2PA的点P有且仅有两个，则b的取值范围_________．

（3）已知曲线C的方程x2y21，A2,0，存在一定点Bb,0b2和常数，对曲线C上的任意一点Mx,y,都有MAMB成立，则点Pb,到直线

mnxny2n2m0的最大距离为_________．

例6(2017年南通二模)一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线)3。8海里的A处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑,缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．

（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向,使得用最短时间在领海内拦截

3,335.7446) 成功；（参考数据:sin17°

6(2)问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截?并说明理由．

北

(例6)

l 领海 公海B

30° A

【同步练习】

1．已知圆C:（x－3）2＋(y－4）2＝1，点A(0，－1），B(0,1)．P是圆C上的动点，当|PA|2

＋|PB｜2取最大值时，点P的坐标是 ．

2．（2016年盐城三模)已知线段AB的长为2，动点C满足CACB(为常数)，且点C

总不在以点B为圆心，

3．（2016年苏北四市一模）已知A(0,1),B(1,0)，C(t,0)，点D是直线AC上的动点，若

AD≤2BD恒成立,则最小正整数t的值为 ．

1为半径的圆内，则负数的最大值是__________． 2

4．在平面直角坐标系xOy中，M为直线x＝3上一动点，以M为圆心的圆记为圆M，若 圆M截x轴所得的弦长恒为4．过点O作圆M的一条切线，切点为P，则点P到直线 2x＋y－10＝0距离的最大值为 ．

5．已知x、yR且满足x22xy4y26，则zx24y2的取值范围是 ．

错误!未定义书签。第三讲 “隐圆”综合

隐藏圆问题可以和很多知识点结合,在三角形、向量、圆锥曲线等背景的一些问题中看上去和圆无关，但却隐藏着圆． 一、三角形中的隐形圆

例1(1）（2017年南京、盐城一模）在ABC中，A，B，C所对的边分别为a,b,c，若a2b22c28，则ABC面积的最大值为__________．

（2）(2008年高考江苏卷）若AB=2，AC=2BC,则SABC的最大值是__________．

例2 (1）在ABC中，BC＝错误!，AC＝1，以AB为边作等腰直角三角形ABD (B为直角顶点，C、D两点在直线AB的两侧）．当∠C变化时，线段CD长的最大值为 ．

（2)在ABC中，点D在边BC上，且DC＝2BD，AB∶AD∶AC＝3∶k∶1，则实数k的取值范围为 ．

二、向量中的隐形圆

例3 (1）已知向量a、b、c满足a2，bab=3,若(ca)(cb)0，则bc的最大值是__________．

(2)在平面内，定点A，B，C，D满足DA=DB=DC,DADB=DBDC=DCDA= —2，动点P,M满足AP=1，PM=MC，则BM的最大值是__________．

例4 已知OA，OB为非零的不共线的向量，设OC1rOAOB． 1r1r2定义点集M{K|KAKCKBKC}．当K1、K2M时，若对任意的r≥2，不等式|KA||KB||K1K2|≤c|AB|恒成立，则实数c的最小值为__________．

例5 (2014年常州高三期末卷）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O:x2y216，点P(1,2)，M、N为圆O上两个不同的点，且PMPN0,若PQPMPN,则PQ的最小值为__________．

三、圆锥曲线中的隐形圆

例6 在平面直角坐标系xOy中,已知圆O1,圆O2均与x轴相切且圆心O1，O2与原点O共线，O1，O2两点的横坐标之积为6，设圆O1与圆O2相交于P，Q两点，直线l：2xy80，

则点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值为__________．

例7 设椭圆E：错误!＋错误!＝1，是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB？

【同步练习】

1． 若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·（b－c）≤0，则|a＋b－c｜的最大值为

_________．

2．已知曲线C：x＝－错误!,直线l：x＝6，若对于点A(m,0)，存在C上的点P和l上 的点Q使得AP＋AQ＝0，则m的取值范围为 ．

3．已知圆C:x1y21，点D(3,0),过动点P作圆C的切线PQ，切点为Q， 若PD2PQ，则△PCD面积的最大值为__________．

4．设点A,B是圆x2y24上的两点，点C(1,0),如果ACB90，则线段AB长度的取值

范围为__________．

2

5．已知ABC是边长为3的等边三角形，点P是以A为圆心的单位圆上一动点，点Q满足

AQ21APAC,则BQ的最小值是__________．33