北京各区2021年中考模拟分类汇编之圆(数学)

北京各区2021年中考模拟分类汇编

圆（数学）

（2021昌平一模）21. 如图，已知A、B、C分别是⊙O上的点，∠B=60°，P是直径CD的延长线上的一点，且AP=AC.

（1）求证：AP与⊙O相切； （2）如果AC=3，求PD的长.

（2021昌平一模）21. （1）证明：连接OA.

∵B60. ∴AOC120. ∴AOP60. ∵OA=OC,

∴OACACO30. ………………… 1分 ∵AP=AC,

∴PACP30. …………………… 2分 ∴PAO90. ∴OAPA.

又∵点A在⊙O上，

∴PA是⊙O的切线. ………………………………………………………… 3分 (2)在Rt△PAO中，P30，

∴PO2AO. 又∵AC=3， ∴AP=AC=3.

根据勾股定理得: AOPBDOACPBDOAC3. …………………………………………………… 4分

∴AODO3，PO23.

∴PD3. ……………………………………………………………………………5分

»上一点，∠DAC=（2021东城一模）21. 如图，AB是⊙O的直径，点E是BDAED．

∠

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（1）求证：AC是⊙O的切线；

»的中点，连结AE交BC于点F，当BD=5， CD=4时，求DF的值． （2） 若点E是BD

（2021东城一模）21．（本小题满分5分） 解：（ 1）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=∠ADC=90°．

∵∠B=∠AED =∠CAD，∠C=∠C，

 CCADCB90.∴∠BAC=∠ADC=90°．

∴AC是⊙O的切线．………………2分 （2）可证△ADC∽△BAC．

∴

ACCD2

．即AC=BC×CD=36． BCAC

解得 AC=6．

»的中点， ∵点E是BD∴∠DAE=∠BAE.

∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD， ∴CA=CF=6，

∴DF=CA﹣CD=2．………………5分

（2021房山一模）21．如图， AE是⊙O直径，D是⊙O上一点，连结AD并延长使AD=DC，连结CE交⊙O于点B，连结AB.过点E的直线与AC的延长线交于点F，且∠F=∠CED. （1）求证:EF是⊙O切线； （2）若CD=CF=2，求BE的长.

（2021丰台一模）20. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长交BC的延长线于点F．

（1）求证：∠BDF=∠F；

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FCDBOEA

（2）如果CF＝1，sinA＝

3，求⊙O的半径． 5DAOEBCF（2021海淀一模）21．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点， DFAC于F．

（1）求证：DF为⊙O的切线； （2）若cosC

（2021海淀一模）21． 解：（1）连接OD,AD.

∵AB是⊙O的直径， ∴ADB90o. 又∵ABAC， ∴D为BC的中点. 又∵O为AB的中点， ∴OD//AC. ∵DFAC， ∴DFOD.

又∵OD为⊙O的半径，

∴DF为⊙O的切线．………………………………………………………………2分 （2）∵DFAC，CF9,

C3，CF=9，求AE的长． 5DCFEBOACF. CDCF3∴CD915.…………………3分

cosC5∴cosCBDFEA第3页（共10页）

O

∵ADB90o， ∴ADC90o.

CD. ACCD3∴AC1525. . ……………………………………………………4分

cosC5∴cosC连接BE.

∵AB是⊙O的直径， ∴AEB90o. 又∵DFAC， ∴DF//BE. ∴

CFCD1. EFBD∴EFCF9.

∴AEACEFCF25997． ……………………………………5分

（2021门头沟一模）20.如图8，⊙O的直径AB=4，点P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O 的切线，

切点为C，连结AC.

（1）若∠CPA=30°，求PC的长；

（2）若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M. 你认为∠CMP的大小是否发生变

化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠CMP的大小.

（2021门头沟一模）20.解：（1）连结OC，QAB4,OC2,

………..1分

图8

A M A O B P O B P C M C QPC为⊙O的切线，CPO30,

PCOC2····················· 2分 23. tan3033（2）CMP的大小没有变化 ··········································································· 3分

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QCMPAMPA

11·················································································· 4分 COPCPO ·

221(COPCPO) 21···························································································· 5分 9045 ·

2

（2021密云一模）21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点

E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F． （1）求证：BD=BF；

（2）若CF=1，cosB=，求⊙O的半径．

（2021密云一模）21. （1）证明：连接OE， ∵AC与圆O相切， ∴OE⊥AC，…………….1分 ∵BC⊥AC， ∴OE∥BC，

又∵O为DB的中点，

∴E为DF的中点，即OE为△DBF的中位线， ∴OE=BF， 又∵OE=BD，

则BF=BD；……………………………………….2分 （2）设BC=3x，根据题意得：AB=5x， 又∵CF=1， ∴BF=3x+1， 由（1）得：BD=BF， ∴BD=3x+1， ∴OE=OB= ∵OE∥BF，

∴∠AOE=∠B，……………….4分

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，AO=AB﹣OB=5x﹣=，

∴cos∠AOE=cosB，即=，即=，

解得：x=， 则圆O的半径为

（2021平谷一模）20. 如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．

（1）求证：AC=CD．

=．…………………………………………….5分

B（2）若AC=2，AO=5，求OD的长．

（2021平谷一模）20． (本小题满分5分)

解：（1）∵OA=OB，∴∠OAB=∠B． --------------------------------------------------------------1分

∵直线AC为⊙O的切线，

∴∠OAC=∠OAB+∠DAC=90°． ------------------------------------------------------2分 ∵OB⊥OC，∴∠BOC=90°．

∴∠ODB+∠B=90°．∴∠DAC=∠ODB． ∵∠ODB=∠CDA，∴∠DAC=∠CDA，

∴AC=CD． -----------------------------------------------------------------------3分

（2）在Rt△OAC中，AC=CD=2，AO=5，OC=OD+DC=OD+2，--------------------------4分 根据勾股定理得：OC=AC+AO，即(OD2)222(5)2，

解得：OD=1．----------------------------------------------------------------------------------------------5分

2

2

2

ODAC

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（2021顺义一模）21. 如图，AB经过⊙O上的点C，且OA=OB，CA=CB，⊙O分别与OA、OB的交点D、E恰好是OA、OB的中点，EF切⊙O于点E，交AB于点F．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若∠A=30°，⊙O的半径为2，求DF的长．

（2021顺义一模）21．（1）证明：连结OC，

∵OA=OB，CA=CB，

∴OC⊥AB．…………………… 1分 ∵OC是半径，

∴AB是⊙O的切线．…………… 2分

（2）解：过点D作DM⊥AB于点M，

∵D、E分别是OA、OB的中点，⊙O的半径为2，∴OD=OE=AD=BE=2． ∵OA=OB，∠A=30°， ∴∠B=∠A =30°． ∵EF切⊙O于点E， ∴EF⊥OE． ∴∠BEF =90°. ∴EF233，BF433． 在Rt△ADM中，∠A =30°，AD=2， ∴DM=1，AM3．

第7页（共10页） ODEACFBODEAMCFB

在Rt△AOC中，∠A =30°，OA=4， ∴AC23．AB2AC43． ∴MFABAMBF4334533． 33523)221．… 5分 33在Rt△DMF中，DF

DM2MF212(（2021通州一模）21．如图，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，OE∥BD，交BC于点F，交AE于点E.

E

（1）求证：∠E=∠C；

B

时，求EF的长.

F C

O

D

A

（2）当⊙O的半径为3，cosA＝

45（2021通州一模）21． (1) 证明：连接OB CD为⊙O的直径

CBDCBOOBD90 AE是⊙O的切线. .

ABOABDOBD90 ABDCBO

OB、OC是⊙O的半径 OB=OC CCBO  OE∥BD，

EABD

EC

(2)解： 在Rt△OBA中，cosA＝

4，OB=3 5AB4,AO5

AD=2 . . ……………… (3分) BD//OE

 ABADBEOD42 BE3BE6 . . …………………. (4分)

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 OE∥BD，

EFBCBDOBE90

在Rt△OBE中，tanE＝

在Rt△FBE中，tanE＝

OB31 BE62FB1 FE2设FB为x

EB2EF2BF2 62(2x)2x2

5 x  6 （舍负） 5EF= . . …………………..(5分)

1255（2021西城一模）21. 如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，连接OD，

过点D作⊙O的

切线，交AB延长线于点E，交AC于点F。 （1）求证：OD//AC；

A 5（2）当AB10，cosABC时，求AF及BE的长。

5

E B O F D C （2021燕山一模）21. 如图，点C是以AB为直径的圆O上一点，直线AC与过B点的切线相交于点D，点E是BD的中点，直线CE交直线AB于点F. （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）若EDCDE33，tanF， 24AO 求⊙O的半径.

（2021燕山一模）21.（1）证明：连接CB、OC，

BF ∵AB是直径， ∴ACB90. ………………1分 ∴BCD90. ∵E是BD的中点， ∴CEEB.

CDEAOBF第9页（共10页）

BCECBE 90CBA，

CABACO. ∴OCF90，

∴OCCF. ………………2分 ∵OC是⊙O的半径，

∴CF是⊙O的切线. ………………3分 （2）解:∵E是BD的中点，BD、CF是⊙O的切线，

3，EBFOCF90. 2BE342， ………………4分 ∴BFtanF23522 ∴EFEBBF.

2 ∴EBED 设⊙O的半径为r.∵BEF∽COF，

35 ∴22，∴r3. ………………5分

rr2 ∴⊙O的半径为3.

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