2001湖南高考数学

数学(理工农医类)

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟. 参考公式

三角函数的积化和差公式

sincoscoscos1212[sin()sin()], cossin12[sin()sin()] 12[cos()cos()]

[cos()cos()], sinsin正棱台、圆台的侧面积公式

S台体12(cc)l,

其中c、c分别表示上、下底面周长, l表示斜高或母线长.

台体的体积公式

V台体13(SSSS)h,

其中S、S分别表示上、下底面积, h表示高. 第I卷（选择题60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

(1) 若sincos0，则在

(A) 第一、二象限 (B) 第一、三象限 (C) 第一、四象限 (D) 第二、四象限 (2) 过点A(1,1)、B(1,1)且圆心在直线xy20上的圆的方程是 (A) (x3)2(y1)24 (B) (x3)2(y1)24 (C) (x1)2(y1)24

(B) (x1)2(y1)24

(3) 设an是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 6 (4) 若定义在区间(1,0)内的函数f(x)log2a(x1)满足f(x)0，则 a的取值范围是

(A)0,111 (B)0, (C) , (D) (0,) 222 (5) 极坐标方程2sin的图形是

4第 1 页 共 100页

(6) 函数ycosx1(x0)的反函数是 (A) yarccos(x1)(0x2) (C) yarccos(x1)(0x2)

(B) yarccos(x1)(0x2) (D) yarccos(x1)(0x2)

(7) 若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)，F2(3,0)，则其离心率为 (A)

34 (B)

23 (C)

,12 (D)

14

(8) 若04sincosa,sincosb，则

(A) ab (B) ab (C) ab1 (D) ab2 (9) 在正三棱柱ABCA1B1C1中，若AB2BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为

(A) 60° (B) 90° (C) 105° (D) 75° (10) 设f(x)、g(x)都是单调函数，有如下四个命题：

① 若f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)g(x)单调递增; ② 若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)g(x)单调递增; ③ 若f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)g(x)单调递减; ④ 若f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)g(x)单调递减; 其中，正确的命题是 (A) ① ③ (B) ① ④

(C) ② ③ (D) ② ④

(11) 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：① 单向倾斜；② 双向倾斜；③ 四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3．

若屋顶斜面与水平面所成的角都是，则

第 2 页 共 100页

(A) P3P2P1 (B) P3P2P1 (C) P3P2P1 (D) P3P2P1

(12) 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为

(A) 26 (B) 24 (C) 20 (D) 19

二、填空题: 本打题共4小题, 每小题4分, 共16分, 把答案填在题中横线上.

(13) 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是_________．

x2 (14) 双曲线

9y2161的两个焦点为F1、F2, 点P在双曲线上．若PF1PF2，则点P到x轴

的距离为_______________.

(15) 设an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．若Sn是等差数列，则q_________． (16) 圆周上有2n个等分点 (n1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为_____________．

三、解答题: 本大题共6小题, 共74分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤． (17) (本小题满分12分)

如图，在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中，ABC90，SA面ABCD，

SAABBC1，AD12．

(I) 求四棱锥SABCD的体积；

(11) 求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值． (18) (本小题满分12分)

3已知复数z1i(1i)

(I) 求argz1及|z1|;

(II) 当复数z满足|z|1，求|zz1|的最大值．.

第 3 页 共 100页

(19) (本小题满分12分)

设抛物线y22px (p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点．点C在抛物线的准线上，且BC//x轴．证明直线AC经过原点O． (20) (本小题满分12分)

已知i，m，n是正整数，且1imn.

iii (I) 证明 niPmmPn；

(II) 证明 (1m)n(1n)m. (21) (本小题满分12分)

从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该

51项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加

14．

(I) 设n年内 (本年度为第一年) 总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元．写出an，bn的表达式；

(II) 至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ (22) (本小题满分14分)

设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x1对称，对任意x1，x20,，都有

21f(x1x2)f(x1)f(x2), 且f(1)a0．

(I) 求f11及f； 24 (II) 证明f(x)是周期函数；

1，求lim(lnan)．

n2n(III) 记anf2n

数学试题（理工农医类）参考答案及评分标准

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．

(1) B (2) C (3) B (4) A (5) C (6) A (7) C (8) A (9) B (10) C (11) D (12) D

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分．满分16分． (13) 2 (14) 三、解答题：

第 4 页 共 100页

165 (15) 1 (16) 2n(2n1)

(17) 本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分． 解：(I) 直角梯形ABCD的面积是 M底面=

1210.5234 ( BC+AD) AB＝1 ……2分

∴ 四棱推S-ABCD的体积是

V131413SAM34底面1

……4分 (II) 延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱 ……6分

∵AD∥BC，BC=2AD， ∴EA=AB=SA，∴SE⊥SB，

∵SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线， 又BC⊥EB，∴BC⊥面SEB， 故SB是CS在面SEB上的射影，

∴CS⊥SE，

所以∠BSC是所求二面角的平面角． ……10分

SBSA2ABBCSB2222,BC1,BCSB

tgBSC

即所求二面角的正切值为

22. ……12分

(18) 本小题考查复数的基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．满分12分．

第 5 页 共 100页

解:(I)z1i(1i)22i,,得33分将z1化成三角形式77z122cosisin,44argz174,|z1|22.则6分(II)设zcosisin,,

zz1(cos2)(sin2)i|zz1|(cos2)(sin2)222

942sin,4当sin1时,4从而得到29分|zz1|取最大值942.12分|zz1|的最大值为221. (19) 本小题考查抛物线的概念和性质, 直线的方程和性质, 运算能力和逻辑推理能力. 满分12

分．

证明一：因为抛物线y22px (p>0) 的焦点为F(F为

p,0，所以经过点F的直线AB的方程可设2

xmy22 代人抛物线方程得y2pmyp0,

p2

若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，y2是该方程的两个根，所以

y1y2p.

2

因为BC∥x轴，且点C在准线xp2上，所以点C的坐标为(-,y2，故直线CO的斜率为 2p第 6 页 共 100页

ky2p22py1y1x1.

即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O． 证明二：如图，

记x轴与抛物线准线l的交点为E，过A作AD⊥l，D是垂足．则 AD∥FE∥BC． ……2分 连结AC，与EF相交手点N，则

|EN||CN||AC||AF||AB|,|BF||AB|,

|AD||NF||BC|

……6分 ……8分

根据抛物线的几何性质，|AF|=|AD|，|BF|=|BC|, |EN||AD||BF||AB||AF||BC||AB||NF|,

即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O．……12分 (20) 本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．满分12分．

(I)证明:对于1im,有pmm(mi1),pmmiiimmim1mmi1m,4分 nknmkm, 同理pnnn1ni1,innnn由于mn,对整数k1,2,,i1,有所以pnniipmmii,即mpnnpm.iiii6分第 7 页 共 100页

(II) 证明:由二项式定理有(1m)(1n)niiimCn,i0mnmiinCm,i0iii8分(1imn),i由(I)知mPnnPm而iCmiPmi!ii,iCniiPni!,10分所以,mCnnCmm(1imn).因此0mi20iiCn00iinCm.i21nm又mCnnCm1,mCmnCmmn,mCn01ii(min).mi0iiCniinCm.i0m 即(1m)n(1n)m.决实际问题的能力．满分12分．

12分

(21) 本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解

解．(I) 第1年投入为800万元．第2年投入为8001n11万元，……，第n年投入为5180015万元.

所以，n年的总收入为 an118008001800155nk1n11 80015k140001

n4;53分第 1年旅游业收入为 400万元，第 2年旅游业收入为4001n11万元，……，第n年旅游 41业收人为400×(1+40014万元．

所以，n年内的旅游业总收入为

第 8 页 共 100页

11bn40040014001441 40014k1nk1n1

5n16001;46分 (11) 设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此

bnan0n5n4即16001400010.4545化简得5270,544设x,代入上式5nnn9分 5x7x20,解此不等式得x25,n2

x1(舍去).254即5,由此得n5. 答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入 …12分

(22) 本小题主要考查函数的概念、图象，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力，满分14分．

1(I) 解:因为x1,x20,,都有f(x1x2)f(x1)f(x2),所以2xxf(x)ff0,x[0,1].2211111f(1)ffff, 22222111111fffff,244444f(1)a0,11112fa,fa4.242

3分26分第 9 页 共 100页

(II) 证明:依题意yf(x)关于直线x1对称,故f(x)f(x1x),即f(x)f(2x),xR,8分

又由f(x)是偶函数知f(x)f(x),xR,f(x)f(2x),xR,将上式中的x以x代换,得f(x)f(x2),xR这表明f(x)是R上的周期函数,且2是它的一个周期.(III) 解:由(I)知f(x)0,x[0,1].f12f111n2nf(n1)2n2nf12nf(n1)12nnf11112nf2nf2nf2n,f11a2,21f1a2n2n,f(x)的一个周期是2,12分f2n1f11,因此a2nna2n2n,

lim(lna1n)limnlna2n0.14分n

10分第 10 页 共 100页