医学高等数学习题解答

第一章 函数、极限与连续习题题解(P27)

一、判断题题解

1. 正确。设h(x)=f(x)+f(x), 则h(x)= f(x)+f(x)= h(x)。故为偶函数。 2. 错。y=2lnx的定义域(0,+), y=lnx2的定义域(,0)∪(0,+)。定义域不同。 3. 错。limx01。故无界。 2x4. 错。在x0点极限存在不一定连续。 5. 错。limx10逐渐增大。 x6. 正确。设limf(x)A，当x无限趋向于x0,并在x0的邻域内，有Af(x)A。 xx07. 正确。反证法：设F(x)=f(x)+g(x)在x0处连续，则g(x) =F(x)f(x)，在x0处F(x)，f(x)均连续，从而g(x)在x=x0处也连续，与已知条件矛盾。 8. 正确。是复合函数的连续性定理。 二、选择题题解 1. f(x)x2,(x)2x,f[(x)]2x2. y=x (C) 222x (D) 10 (A) x0x1xsinx0 (B) 4. limx0cosx3. limxsin5. limf(x)lim(3x1)2, limf(x)lim(3x)2, limf(x)2f(1) (B) x1x1x1x1x16. 9x0x3 (D)

7. 画出图形后知：最大值是3，最小值是10。 (A)

8. 设f(x)xx1,则f(1)1,f(2)13，f(x)连续，由介质定理可知。 (D)

42三、填空题题解

1. 0x121x3

2. yarctan(x)是奇函数，关于原点对称。 3. 312,T6。 34. xy,可以写成yx。

t21t12lim2 5. 设xt，x1,t1，lim3t1t1t1tt1366. arctanx2有界，lim10，故极限为0。 xxx24x2lim4 7. limx2sin(x2)x2sin(x2)x28. xaxb(1x)(xc)x(c1)xcbc,a(c1),而lim(xc)5，得c=6, 从

x122而b=6, a=7。 1x1sinxsinxx9. lim(1sinx)lim(1sinx)x0x0e1 tan2xsin2xsin2x5x122limlim x0sin5xx0cos2xsin5xx02xsin5xcos2x55u11lim1 11. 设u=ex1，lim1u0ln(1u)u0lneln(1u)u10. lim12. 由x0处连续定义，lim(ax)alime1，得：a=1。 x0x0x四、解答题题解 1. 求定义域 (1) xx0x0, 定义域为[1,)和x=0 x0x(x1)0x114x6(2) 5定义域为[4,5]

5x5225x0(3) 设圆柱底半径为r，高为h，则v=r2h, hv2v2S2r2rh2，则罐头筒的全面积r，

rr2其定义域为(0,+)。

(4)

经过一天细菌数为N1N0N0rN0(1r)，经过两天细菌数为

N2N1N1rN1(1r)N0(1r)2,故经过x天的细菌数为NN0(1r)x，其定义域为[0,+)。

2. f(x)ux222ab24，f(ab) (ab1)。 ，f(2)x121ab133. ye,uv,vsint,t1。 x4. 证明：f[x(x1)]lnx(x1)lnxln(x1)f(x)f(x1)。

(t1)2 , 0t11(t1)2 , 1t25. 令x+1=t, 则x=t1。f(x1)f(t)，所以：

2(t1) , 1t122(t1) , 2t3(x1)2 , 1x2f(x)。 2(x1) , 2x36. 求函数的极限 12n14(1) 原式=lim11/2。 n11n13311/31(2) 原式=lim1n111111lim1=1。 n223n1nn13(1xx2)(1x)(2x)2xlimlim1。 (3) 原式=lim=x1x1(1x)(1xx2)x11xx21x32233(4) 原式=limn3。 n2132sin2xsinxsin2xsinx=（P289常见三角公式提示） lim44。

x0x0x22xx1arcsinxarctanxarcsinxt(6) 原式=lim，令arcsinxt，则sintx，limlim1

x0x0t02xxxsintarctanxtt1令arctanxt，则tantx，limlimlimcost1，原式=。

x0t0tantt0sintx2(5) 原式=lim(7) 原式=lim13tanxx0n2133tan2x12=lim13tanx3tan2x= e3。 x03

(8) 原式=lim1x22x12x12122x11222=lim1lim1= e2。 x2x1x2x122xsinx2xsinx(9) 原式=lim=2limx0x0xxxsin2sin2(1xsinx1)2211。

1xsinx1ea(et1)ea(填空题11)。 (10) 令txa，则xat，原式=limt0t7. S1131aa31aa3aasin2a2，S2sin4a2，S322sin6a2，， 2322223222232,

Sn1aa3n1n1sin2na222232111n3214411S3a22n=3a2a(n) 14443148. 指出下列各题的无穷大量和无穷小量 sinx0，为无穷小量。 x01cosxarctanx(2) lim0，为无穷小量。 x1x2(1) lim(3) limesinx0，为无穷小量。 xx(4) limx1，为无穷大量。 x0sinx9. 比较下列无穷小量的阶 lim1x111x3是同阶无穷小。1x与(1x2)是等阶无穷，，当x1时，1x与1xlim13x11x3x11(1x2)22小。

时，x2是无穷小量，当

x时，x2是无穷大量；当

10. 当x0

x21x21x±1时，3是无穷小量，当x0时，3xx是无穷大量；当x+时，ex是无穷小量，当x时，ex是无穷大量。

11. yf(3)f(1)(231)(211)19316。 12. limx0221sinx1，limxsinbb，b=1，f(0)a2=1，a=1

x0xx2x11xe2ekk2 lim1(x1)1e2，limf(x)f(1) , x1x1x2213. limxx114. 设f(x)e2，f(0)10，f(2)e20，由介质定理推论知：在(0,2)上至少存在一

x点x0使得f(x0)0，即e20。

15. 设f(x)asinxbx，它在[0,a+b]上连续，且f(0)b0，f(ab)a[sin(ab)1]0，若

f(ab)0，则a+b就是方程f(x)0的根。若f(ab)0，由介质定理推论知：至少存在一点(0, a+b),

使得f()0,即是f(x)0的根。综上所述，方程xasinxb至少且个正根，并且它不超过a+b。 16. (1)w(0)26262626263wlim26(g)；(2)(g)；(3) tln305(周)。max02t2tt332130e312130e130e17. 设F(x)f(x)g(x)，则F(x)在[a,b]上连续，F(a)f(a)g(a)0，F(b)f(b)g(b)0，由介质定理推论知：至少存在一点(a, b), 使得F()0。即f()g()0f()g()。所以yf(x)与

yg(x)在(a,b)内至少有一个交点。

第二章 一元函数微分学习题题解(P66)

一、判断题题解

1. 正确。设y=f(x), 则limylimx0yyxlimlimx)y00。 (x0xx0xx02. 正确。反证法。假设F(x)f(x)g(x)在x0点可导，则g(x)F(x)f(x)在x0点也可导，与题设矛盾。故命题成立。 3. 错。极值点也可能发生一阶导数不存在的点上。 4. 错。如图。 5. 错。拐点也可能发生二阶导数不存在的点上。 6. 错。不满足拉格朗日中值的结论。 7. 错。设f(x)x, g(x)yoabx1，则：F(x)f(x)g(x)1， x显然f(x)在x0点的导数为1，g(x)在x0点的导数不存在，而F(x)在x0点的导数为0。是可导的。 338. 错。设yx和y3x，显然它们在(,+)上是单调增函数，但在x0点yx的导数为0，y3x的导数不存在。 二、选择题题解 1. 设切点坐标为(x0,y0)，则切线的斜率kyxx2x0，切线方程为：yy02x0(xx0)过(0,1)得01y02x20，又有y0x20，解方程组1y02x02得：y01，x01，切线方程为：y2x1。(A) 2y0x02. 可导一定连续。(C) 3. 连续但不可导。(C) 4. 因为(x2,x1)(a,b)。(B)

5. y1x ,y23x，在x=0处导数不存在，但y1在x=0处切线不存在，y2在x=0处切线存在。(D)。 6. f(0)limsin(0x)0sinx(0x)0lim1,f(0)lim1可导。(C)

x0x0xx0xx

x5xx5x7. f(e)e，f(e)5e。(B)

(0x)2sin8. limx01010xlimxsin0。(B)

x0xx三、填空题题解

1. f(x)1xx12,f(2)12(2)12123。

2. (cscx)cscxcotx 3. [sin(xy)]x(xy)xcos(xy)(yxy)1y, y4. d(esinx)esinxcosx22xdx。 5. f(x)6x6x366(x2)(x3)，当2x3时，f(x)0，单调调减小。 222ycos(xy)1。 1xcos(xy)f(x)f(x)g(x)111f(x)g(x)6. lny[lnf(x)lng(x)]yy。 2y2f(x)g(x)2g(x)f(x)g(x)52211237. f(x)xx，f(x)xx335x2，当x时，f(x)由减变增，取得极小3353x5323值。 8.

dydx11。 1ex，dxdydy1exdx四、解答题题解 11210(1t)g(1t)10g122lim10ggt10g 1. S(1)limt0t0t2(0x)sin2. (1)limx01010x不存在，f(x)在x0不可导。 limsinx0xx(0x)2sin(2) limx01010xlimxsin0，f(x)在x0可导，且f(0)0。

x0xx

(0x)01lim1不可导。 3. limx0x0xx4. 过(1,1)与(2,4)两点的割线斜率为k得x4123，抛物线yx过x点的切线斜率为y2x，故2x3，213939,y，,即为所求点。 24242x2y05. 过(x0,y0)点作抛物线yx的切线，设切点为(x,x)，应满足2x方程，若方程有两个不

xx02等的实根x，则说明过(x0,y0)点可作抛物线的两条切线。整理方程得：x2x0xy00，当

224x024y00时，方程有两个不等的实根。也就是要满足y0x0即可。 6. 求下列函数的导数。 nxn1x(1) y(xa)nxalna (2) y(xlnx5)1n1 xn1(3) y(xsinxcosxx)nxsinxxncosxsinx1 tanxx2sec2x2xtanx112tanx1(4) y(2arctanx) xx41x2x2cos2xx31x2(5) y(sin2xlnx)cos2xlnx12sin2x 2xsecx(1x)secxtanxsecxln(1n)(6) y 2(1x)1x7. 求下列函数的导数。 (1) yn(1x)nn1(1xn)n(1xn)n1nxn1n2xn1(1xn)n1

2222(2) y(x)tan3xx(tan3x)2xtan3x3xsec3x

(3) y[lnsinxln(1x)]2cosx2x2xcotx 22sinx1x1x(4) y[ln(2x1)]1(2x1)2

ln(2x1)ln(2x1)2x1(2x1)ln(2x1)

(5) y[ln(1sinx)ln(1sinx)](6)

cosxcosx2cosx2secx 21sinx1sinxcosx(ln3x)3(ln2x)(lnx)3ln2x6ln(ln3x)33yln(lnx)2ln(lnx)[ln(lnx)]2ln(lnx)32ln(lnx)2ln(lnx)3

lnxln3xxlnxxlnx23333n(t)kn0ekt8. n(t)[n0e]kn0e，k。

n(t)n0ektktkt9. 求下列函数的导数。 (1) lnysinxlnx，sinx1sinxsinxycosxlnx，yxcosxlnx xyx(2) lny112cos2x1ln2ln(x1)ln(x3)lnsin2x，1y1，

y2x1x3sin2x2(3) lnyxx,xlnlnyxlnx，(lny)lnx1lny，y lny(lnx1)y，

y ylny(lnx1),yexxx(lnx1) (4)

lnyxlnarctanx，yx1lnarctanxyarctanx1x2,

x y (arctanx)xln(arctanx)2(1x)arctanx10. 求下列函数的n阶导数。 x2(n)xn(1) y5，y5ln5，y5ln5，…，y5ln5 xx(2) yacosbx，yabsinbxabcosbx2，

3yab2sinbxab2cosbx，yab3sinbxab3cosbx，…，

2222y(n)abncosbxn

2(3) ylnx，y1x1，yx2，y2x3，…，y(n)(1)n1(n1)!xn x

11. 求下列隐函数的导数。

x2ay(1) (xy3axy)x0，3x3yy3a(yxy)0，y

axy23322(2) 同填空题3。[sin(xy)]x(xy)xcos(xy)(yxy)1y, yycos(xy)1。

1xcos(xy)(1xy)exy(3) (yxe)x(cosy)xyexe(yxy)sinyyy

1sinyx2exyxyxyxy1yx2y2yxy(4) [arctan(xy)y]x(x)x y1y2221xxy1(xy)12. 求下列函数的微分。 (1) dyd(esinx)esinxd(sinx)esinxcosxdx 2x(2) dyd(arcsine)d(e2x)1(e)2x2e2xd(2x)1e4x2e2xdx1e4x 11(3) dyd[sin(xarccosx)]cos(xarccosx)d(xarccosx)cos(xarccosx)1x2(4) dyd(e2arctanxdx )e2arctanxd(2arctanx)e2arctanx22e2arctanxdxdx 1x21x213. 求5、sin31近似值。 (1) 设f(x)x，则f(x)12x2，取x02.24.84，x0.16，则f(x0)4.842.2，

f(x0)10.227，故5f(x0x)f(x0)f(x0)x2.20.2270.162.236

24.84(2) 设f(x)sinx，则f(x)cosx，取x0306，x1180，则f(x0)sin301，2f(x0)cos303130.515 ，故sin31f(x0x)f(x0)f(x0)x22218014. 证明下列不等式。

22(1) 设f(x)xtanx，则f(x)1secxtanx0，f(x)在,上单调递减。当x,0时，

222f(x)f(0)，即xtanx，当x0,时，f(x)f(0)，即xtanx，当x0时，f(x)f(0)，即xtanx，

2综上所述，当x,时，xtanx。

22(2) 设f(x)11xx10,有ln(1x)1ln(1x),当x0时,f(x)22(1x)1x(1x)1x1xf(x)f(0),即x1xln(1x)；设f(x)xln(1x),当x0时,f(x)10,有f(x)f(0),1x1x1xxln(1x)x。 1x即xln(1x)；综上所述，当x0时，有xxx(3) 设f(x)e1x，则f(x)e1，当x0时,f(x)0，有f(x)f(0)，即e1x0；当x0时,f(x)0，有f(x)f(0)，即e1x0；综上所述e1x (x0)。 xx15. 求下列函数的极限。 5sin5xln(cos5x)55sin5x2xcos2x25(1) lim=limcos5x=lim= x0ln(cos2x)x0x02sin2x225xsin2xcos5x4cos2x(2)

qlnq1xq(q1)lnq2xq(q1)(qn1)lnqnxlnqxlimxlnxlimp=lim=lim=…=lim=0 px0pxx0x0x0x0x(p)2xp(p)nxppq(分子和分母分别求n阶导数，使n>q) (3) limxx0sinxlimex0sinxlnxex0limsinxlnx=e1

01sin2x2sinxcosxlnxx0 =lim=lim=limlimsinxlnxlimx0cosxxsinxx0x01x0cosxx0xcosxsinxsin2x(4) limxx111xlimex1lnx1xelimlnxx11x=e11limx1x(1)=e

1

sinx(5) limx0x1x2limex01sinxlnxx2ln=ex0limsinxxx2=exxcosxsinxx2limsinxx02x=excosxsinxx02x2sinxlim=e161 6elim1 6x0cosxsinxxcosxsinxcosxxsinxcosxlimlim====lim22x0x0x04cosx2(cosxxsinx)4sinx2xcosx2xsinx4xsinx2xcosx(6) lim(cotx)x01lnxlimex0lncotxlnxelncotxx0lnxlim=exx0sinxcosxlime1

16. 证明下列不等式。 (1) 令f(x)sinxx,因为f (x)cosx10 (x0), 所以当x0时f(x)↘, f(x)f(0)0  sinxx ； 令g(x)sinxxx/6, 则：g(x)cosx1x/2，g(x)   sinxx, g(x)=  cosx10 (x0), 有g(x)↗

32g(x) g(0)0g(x)↘, g(x)g(0)0g(x)↗g(x) g(0)0  sinxxx3/6。综上所述： xsinxxx3/6

pp(2) 令f(x)x(1x), f(x)在[0,1]连续且f(0)f(1)1，f (x) pxp1(1x)p1,令f (x)0得x=1/2为驻点。

111111ppf (x)p(p1)xp2(1x)p20,有极小值fp1，p1f(x)1p1x(1x)1

22222217. 确定下列函数的单调区间。 322(1) yx6x，定义域(,+)，y3x63(x2)，令y0，解得x2，增减性如下表：

ppx y y (,2) 2 (2,2) + ↗ 0  ↘ 0 (2,+) + ↗ (2) yxsinx，定义域(,+)，y1cosx0，令y0，解得x(2k1),k0,1,2,，均是孤立驻点，故在(,+)单调递增。

322 (3) y2x3x12x7，定义域(,+)，y6x6x12

x (,1) 1 (1,2) 2 (2,+) y y + ↗ 0  ↘ 0 + ↗ =3(x2)(x1)，令y0，解得x1,2，增减性如右表：

18. 求下列函数的极值。

(1) yxln(1x)，定义域(1,+)，y1得x0，极值见右表：

(2) yxlnx，定义域(0,+)，yx (1,0)  0 0 极小值 (0,+) + 1x=，令y0，解1x1xy y ↘ 为0 2↗ (e,+) lnx1lnx2=， 2x2xxx y y 2(0,e)  ↘ 0 极小值为2e 1+ ↗ 令y0，解得xe，极值见如右表：

2(3) yx112，定义域(,0)∪(0,+)，y12，y3，令y0，解得x1，y(1)20有xxx极大值y(1)2，y(1)20有极小值y(1)2。 19. 求下列函数在所给区间内的最大值和最小值。 (1) f(x)54x是[1,1]上的连续函数，f(x)20减函数且无驻点，但有一个不可导54x点x(2) 51，它不在[1,1]上，故fmax(1)3，fmin(1)1。 4f(x)x23x2是[10,10]上的连续函数，此函数可用分段函数表示

3(x23x2) , 1x22x3 , 1x2，f(x)2，令f(x)0，得：x，f(1)f(2)0，f(x)222x3 , x1或x2x3x2 , 其它31f()，f(10)132，f(10)72，比较得：fmax132，fmin0。 24(3) f(x)2x222x , x2是[5,5]上的连续函数，此函数可用分段函数表示f(x)x2，分段点为2 , x222xln2 , x273，无驻点。f(5)2，f(5)2，比较得：fmax128，fmin1。 x2，f(2)1，f(x)x22ln2 , x2y3ax2bx，y6ax2b，20. yaxbx，因为(1,3)为曲线的拐点，所以有3226a2b0，32a1b13解之得：a39，b。 222(x1)(x24x1)x22x1x121. y2，y，y，令y0，解得x11，x2,323，2322(x1)(x1)x1

y11，y2,3131313,23,是曲线的三个拐点。，可验证(1,1),23,444下面论证此三点在一条直线上。只要证明过任意两点的直线的斜率相同即可。

1333133311yy1yy144k1214，k2314，k1k2得证。 x2x1x3x1231334231334kt22. wbeww0(1b)，ww0(1b)ktkt两端对t求导数：wb(kewew)0 kt1bebkektwbkw0(1b)ektw ktkt21be(1be)222223．设RR0dR0.020.2t，vRr(0.020.2t)r， dv2(0.020.2t)0.2(0.0080.08t)cm/min2。 dtC(t)122(e24. (1)求出现浓度最大值的时刻：解得唯一驻点ln0.180.820.18tet),C(t)122(0.18e0.18tet),令C(t)0，

。tln0.180.82ln0.180.82) 9415041C(t)122(0.182e0.18tet)，

0.18ln0.18C()122(0.182e0.829ln0.184150ln0.1841e=122(0.18e值。 2e)=122(0.180.180.18)=122(0.180.18)0有极大值。也为最大

291415041(2)求出现浓度变化率最小值的时刻：令C(t)0，解得唯一驻点tln0.18。 0.41ln0.180.41C(t)122(0.18e100ln0.1841330.18te)t,0.18ln0.183C()122(0.18e0.41e ln0.180.41)=

122(e0.18e18ln0.1841)

184110041=122(0.18100410.180.18)=122(0.1830.1814141)0有极小值。也为最小值。

25. 求w何时达最大值。lnwln(341.5w)k(t1.66)w341.5…①， k(1.66t)1e11kwwkw(341.5ww2)…②，

341.5w341.5wk341.5w2wwk341.52ww，令w0，得：w0,w341.5。 w341.5341.52由w0(341.5w)w0，而w0w=341.5，由①得ek(1.66t)0无解。

k341.5k(1.66t)341.5w2(w)22ww， 1，得：t1.66是唯一驻点。we341.52341.5341.5当t1.66时，w，wk，w0，w0有极大值。也为最大值。

24由w26. 讨论下列函数的凹凸性和拐点

a22a2x(a0)，定义域(,+)，y2(1) y2，222(ax)ax2a(3xa)a3yx，令，得，，列表讨论。 yy0(a2x2)343222x + 0 拐点 3/4  凸 0 拐点 3/4 + 凹 y 凹 (2) yxsinx,定义域(,+),y1cosx,ysinx,令y0,得xk,(k0,1,2,),当 x(2k1),2k时,y0,曲线是凹的。当x2k,(2k1)时,y0,曲线是凸的。拐点为：k,k。 27. 讨论下列函数的单调性、极值、凹凸性、拐点和渐进线，并画出它们的大致图形。 (1) yex，定义域(,+)，是偶函数，limex2x20，有水平渐进线y0，y2xex，2y2[exxex(2x)]ex(2x21) x + 0 拐 y 点 (2) yln 大 +  0 0 0 极 点    0 拐  + + + 222yyex2ox1x1x1x，定义域(1,1)，f(x)f(x)是奇函数，limln，limln有垂直渐x1x11x1x1x2进线x1，y无驻点，但当x1时导数不存在。1x21x4xy，令y0，得x0。

(1x2)2x 1 (1,0) 无 无 +  0  0 (0,1) + + 1 无 无 yyln1x1o1x

y 3 拐点 0 2(3) yx6x，定义域(,+)，是奇函数，无渐进线。y3x6，y6x，令y0，得驻点

x2，令y0，得x0，列表讨论。f(0)0,f(6)0,f(2)22 x +  0  极 y 大 点   0  0 拐 小 + +  0 + + 极 y22oyx36x6226x22exexexexexex(4) y，定义域(,+)，是偶函数，无渐进线。y，y，令y0，222得驻点x0，而y0，列表讨论。 x  + 0 0 + 极小 1 + + yexexy2y 1.5431oxx1arctan1yx(5) yxarctanx，定义域(,+)，是奇函数，alimlim1，blim(yax) xxxxx=lim(xarctanx)x，有两条渐进线：yx。x222x1y无驻点，，令y0，得x0 y10222(1x)1xx + + 0 0 + 拐点 0 +  yyxarctanx2ox22y 21x2(6) yarccos，定义域(,+)，是偶函数，1x2y1x2limarccosarccos(1)，有2x1x/21x2yarccos1x21o1x

4x2 , x04x1x2 , x02x(1x2)20，一条水平渐进线y=,y=，y=24x(1x2)x2 , x0(1x) , x0222(1x)1xf(0)arccos10，f(1)arccos0x   0 无 无 +  2。

y 极小0 28. 已知不在同一直线上的三点A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)；试用xi,yi表示ABC的面积。 解：由P55例42知：直线ykxb到(x0,y0)的距离为：dy0kx0b1k2。那么，直线AB的方程

为：yy1y2y1yyxyxy(xx1)y21x2112，AB两点间的距离为：

x2x1x2x1x2x12(x2x1)(y2y1)，ABC的面积=2y3kx3b122 (x2x1)(y2y1)221k=1(x2x1)2(y2y1)22y3y2y1xyxyx32112x2x1x2x1y2y11xx212 =1(x2x1)2(y2y1)22y3(x2x1)(y2y1)x3(x2y1x1y2)x2x1(x2x1)(y2y1)x2x122 =

11y3(x2x1)(y2y1)x3(x2y1x1y2)=(x1y2x2y3x3y1)(y1x2y2x3y3x1) 22x2y229. 椭圆221(ab)的切线与x轴y轴分别交于A、B两点，(1)求AB之间的最小距离；(2)求三

ab角形OAB的最小面积。

yA(x0,y0)oxB

b2xx2y2解：椭圆方程：221…①如图。设切点坐标为(x0,y0)，则y2…②，此点切线斜率为：

ayabb2x0b2x0k2，切线方程为：yy02(xx0)。

ay0ay02a2y02b2x02a2y0a2a2令y0，xx02，坐标A(,0)。 2bx0bx0x0x0222b2x0b2x0a2y0b2b2令x0，yy02，坐标B(0,)。

ay0a2y0y0y0a4b42a42b4a4b43y(1) ABoAoB22。可设l22，令lxx0，将②代入得：3xyxyx0y0222b32a4b4b2xa3b3220ya3x，代入①得驻点：xab，yab。 x3y3ay262b642b642b445445bx434 2y4xy2lx=6ax2axa2xy=6axa2y4xyyaaya4b42b644b2262la(ab)b(ab)(ab)=6ax2有极小值。，yxy0332abaaabab44故AB之间的最小距离是ab。 (2) 可设面积1a2b2122Sab(xy)12xy2，

122122b2x22， Sab(xy)(yxy)=ab(xy)yx222ayb22ab令S0，得：y2x，代入①得驻点：x，y(三角形边长取值应大于零)。 a2221231222131Sbyabxy=b2y4ya2b22x3y1x2y2y

222223b4xa2b2b4324b2x1223122bx=253ab2xyxy=by 3222ayxy2xy2ay2ay

3b4abS,222a2值。

aa2b2b464b2b62b2==0有极小533abaaabababab222222a2b2abS,ab，故三角形的最小面积为ab。 ab22222第三章 一元函数积分学习题题解(P108) 一、判断题题解 1. 错。是原函数的全体，记作f(x)dxC。 2. 错。f(x)的任意两个原函数之差为常数。 3. 错。是F(x)C。 4. 正确。 5. 错。被积函数在x=0处无界。 6. 正确。ysinx，yx00 7. 正确。被积函数是奇函数，积分区间对称。 8. 正确。 二、选择题题解

1. f(x)xxf(x)被积函数是奇函数，积分区间对称，定积分为零。或

 11xxdx=

 01xdxx2dx

02113111=xx3=0(1)(10)0。(A)

333130 0111 00dxdxdx2. =+=+=arctanxarctanx0。(A) 1x2 01x2 01x222 01

3. 正确的是C。 4.

 aaf(x)dxdxdu令uxa af(u)du=f(x)dx。(D)

a a5. 令baxu，adxdu，f(bax)dx6. 令F(x)e，则f(x)e7.

xx111==f(u)duF(u)CF(bax)C。(B) aaa，xf(x)dxxexdx=xdex=xexexdx=e(x1)C。(D)

xx 11tdtdtdu2u4令tux 1x1111dxduudu，x。(D) 1t4dt==1u 12 1u2xdx2u2dx111442或x  11tdt=1(x)(x)=1xdx2x2x8. 1122x2x2==，， df(x)f(x)Cf(x)f(x)dxf(x)df(x)f(x)ef(x)2xe22211222x2x2C。(B)  f(x)C=2xeC=2xe22三、填空题题解 1. 2xln(1x)dx=12xdx112222222(1x)ln(1x)(1x)==ln(1x)d(1x)(1x)ln(1x)2xdx 221x22=1(1x2)ln(1x2)x2C。 2111cos2kx22. sinkxdx=dx=xsin2kx= 。 222k   3. arctanxdx=xarctanx x12=dxxarctanxln(1x)C。 21x2 11114. sinkxsinlxdx =cos(kl)xcos(kl)xdx=sin(kl)xsin(kl)x=

22klkl 0。

dexex1xdxarctaneC。 5. x===dxx22xx1(e)e1eedx216. costdt=cos(x21)(x21)=2xcos(x21)。 dx 017. sin2xdx=cos2xC。

28. 这是积分上限函数，由定理3知：Φ(x)f(x)，yxe。

x

四、解答题题解

1. 分别对三个函数求导数，结果皆为2. (1) 错。F(x)C是不定积分。 (2) 错。

2，所以它们是同一函数的原函数。 xf(x)dx是f(x)所有原函数。

(3) 正确。设F(x)C是f(x)的一个原函数，则F(x)0f(x)。 (4) 正确。因为积分变量不同，造成被积函数不同。 (5) 正确。因为n1时，xdx3. 求下列不定积分 (1)

32xxC =(13x)dxn1n1xC。 n12x13xC (2) (2x)dx=ln23x2xx2x1C=x22x2C dx=(xx)dx=(3) 113x1122(4)

1212112112312x(x3)dx=x3x)dx=x22x2C 5321253x21x2111dx=xarctanxC dxdx(5) ==2221x1x1xx21x2111x11dxdxdx(6) ===1x22ln1xxC 1x21x2(7)

1cosx12x==sindxdx(xsinx)C 222121dx=cotxxC =cotxdxsin2x(8)

4412444(9) 12xxdx=1xxdx=(xx)dx=x4x4C

7x33571e2x1dx=(ex1)dx=exxC (10) xe1

(11)

cos2xcosxsinxdx=(cosxsinx)dx=sinxcosxC 1111dxdx==arctanxC x2(1x2)x21x2x111dx=tanxcotxC =dxcos2xsin2xcos2xsin2x(12)

(13)

(14)

1x21x4dx=11x2dx=arcsinxC

(15)

111sinxcosxdx=xcosxsinxC 224. 求下列不定积分 2(1) (2x)dx=(2x)d(2x)=(2x)2C 7(2)

52527dx1d(12x)1==(12x)22(12x)22(12x)C (3)

dx23x2=3d2x3312x2=13arcsinxC 23xddxxdx2(4) ===cotC xx1cosx2sin22sin222(5)

3xadx=13x13x=ad(3x)aC 33lnad(x2x3)2x12dx=2(6) 2=lnxx3C

xx3xx312xxx2x=eeC (ee)dx21(8) (sin5xsin5a)dx=cos5xxsin5aC

5(7) (9)

1d(1x2)dx==1x2C

21x21x2x

11333233(10) x1xdx=(1x)3d(1x)=(1x)3C

34141x(11) =dx4x44x21x2d=arctanC 22242x121(12)

1dxdx=2x(1x)1xx2322=2arctanxC

(13)

xe1x21x22dx=ed(x)=eC

22dx=cosxd(cosx)=2cos12(14)

sinxcos3xxC=2C cosx(15)

31144d(cotx)=4C dxcotx=cotxsin2x4cotx3(16)

arctanx12==dx(arctanx)C arctanxd(arctanx)1x22dexex1xdxarctaneC(填空题5) (17) x===dxx22xx1(e)e1ee11x1x11x11xlndln(18) =lndx=lnC 21x1x41x1x21x(19)

21111x111dxlnC dx===lnx1lnx3C(x1)(x3)4x1x344x3111x1dxdxarctanxarctanC ==(x21)(x22)x21x2222(20) (21)

sin3xsinxdx=411111cos4xcos2xdx=1sin4xsin2xC=sin2xsin4xC

242248213111cos2x212cos2xcos2xdxxsin2xsin4xC (22) sinxdx===dx484322231552224===sinxsinxsinxC cosxdx(1sinx)dsinx(12sinxsinx)dsinx351232(24) tanxdx=tanx(secx1)dx=tanxdtanxtanxdx=tanxlncosxC

2(23)

e1(25) 2dx=exd=exC

xx(26) (27)

1x1112132==lnxdxlnxC lnxdlnxx3sinxsinxsinxeC ==ecosxdxedsinx(28)

111111123x1dxln23xln23xClnC ===dx49x2423x23x4331223x(29) (arcsinx)dx21x2=d(arcsinx)1=(arcsinx)2arcsinxC (30) d(x1)dx=x22x2(x1)21=arctan(x1)C (1ex)212exe2x2exxdxdxx2arctaneC (31) ===1dx2x2xx21e1e1(e)(32) x27(x22x3)2x10d(x22x3)d(x1)(2x2)12x12dxdxxdx===x22x322(x1)2 x22x3x22x3x22x3=xlnx2x3122x112(x1)C lnC=xlnx22x33lnx3222(x1)5. 求下列不定积分 363(1) x1xdx(1u)udu=(u2uu)du=u3u3u3C dxdu471023令1xu2131343734710363=(1x)3(1x)3(1x)3C 4710(2)

4710令2xu3111x2(2u)2832522dxdu=(4u4uu2)du=8u2u2u2C

dxdu35u2x=22u(6020u3u2)C=328x3x215152xC

(3)

1ex11u12du1C dxC=ln=du=ln22uduxxu1u1u1u1dx21e11eu11令1exu(4)

arctanxarctanx2=dx2x(1x)1(x)2d(x)=2arctanxd(arctanx)=(arctanx)C

(5)

(1x)2dx32dxcosudu令xatanu令xsinucosudu(1sinu)232=

xduC ==tanuCcos2u21x=

2(6) (7)

(xdx2a)232dxasecudu2asec2udu(atanua)2223x11C ==cosudusinuC222a2a2axa2tanusecudu令3x2secu11dx123lnsecutanuCln3x9x4C ===secudu222339x4dx3tanusecudu4secu43(8) 令xasecua2sec2ua2x2a2dxatanusecudu=atan2udu=asec2u1du=a(tanuu)C dxatanusecuduxasecux2a2aaarccosC=x2a2aarccosC =aaxx(9) 25=1sinxsinxd(sinx)=cosxsinxdxsin212x2sin52xsin92xd(sinx)

432232472211225=sinxsinxsinxC=sinxsinxsinxsinxC 71137113(10) 31lnx1lnx12122dxd(1lnx)===(1lnx)2(1lnx)C 1lnxd(1lnx)x1lnx1lnx31lnx=21lnxlnx2C 3(11) edxx2ex1due2x2令uex22dx1udx11112du12du2ln1ulnu==C 2uu2uu1uuu1ex21u11C=2ln1ex2ex2C =2=2lnlnCxx22uueedx132(12) ==cotxcotxC cotx1d(cotx)sin4x3(13)

1u2du1312666u1du66uuln1uC6xxln1x===C 32dx6u5du1u1u22xxdx令xu6(14)

tan3u11112secududcosuC ==2432dxsec2udusecucosucosucosu3cosu1xx3dx令xtanu

=(1x2)13321x2C

6. 求下列不定积分 (1)

arctanxdx=xarctanxnx1=dxxarctanxln(1x2)C 21x21n1xn111n1n1n(2) xlnxdx (n1)=xlnxC lnxdx=xlnxxdx=n1n1n1n1xn11lnx=C n1n1(3) 33232242232222xlnxdx=lnxdx=xlnx2xlnxdx=xlnxlnxdx2 33332=

2322832xlnxxlnxxdx39=23228323xlnxx2lnxx2C393=

232248xlnxlnxC 339(4) (5) uuuuuuC=2e2uee===edx2eudu2ude2ueedux令xudx2uduxx1C xlnx1xdxxlnx1x1=x1x21x222xxdxdx=xlnx1x2 21x=xlnx1x21x2C (6) (7) 22xxedx=xcosxdx=xdsinx=xsinxsinxdx=xsinxcosxC 122x122x122x122x2x2xxe2xedxxexdexexe2xe2xdx ===xde2222=122x12x12x212xxexeeCexx=C 2222323===secxdxsecxd(tanx)secxtanxtanxsecxdxsecxtanx(secxsecx)dx (8)

=secxtanxsecxdxlnsecxtanx，secxdx=

33(9)

sin(lnx)dx=xsin(lnx)cos(lnx)dx=xsin(lnx)xcos(lnx)sin(lnx)dx

1secxtanxlnsecxtanxC 2

1sin(lnx)dx=xsin(lnx)cos(lnx)C

2(10)

1axb1axbax1axbaxaxesinbxecosbxesinbxdx==esinbxecosbxdxesinbxdx aaaaaaeaxasinbxbcosbxC esinbxdx=

a2b2ax(11)

a21a2a2axdxacosudu=1cos2udu=usin2uC=usinucosuC

dxacosudu222222令xasinu2222a2xxaxarcsin=2aaa2aC=arcsinxxa2x2C 2a2(12) 22x(arcsinx)x2arcsinx=(arcsinx)dxdx1x2=x(arcsinx)2arcsinxd(1x)

222=x(arcsinx)221xarcsinx1x2=x(arcsinx)221x2arcsinxxC 1x2dx(13) cosxln(sinx)2dxcotxln(sinx)cotxdx===ln(sinx)d(cotx)cotxln(sinx)cscsin2xx1dx sinx=cotxln(sinx)cotxxC (14) 2xcosxdx=1cos2x1111xdx=x2xd(sin2x)=x2xsin2xsin2xdx 24444=1211xxsin2xcos2xC 4427. 求下列不定积分 令x1ux11x1u21223CC dxuuC(1) ====duu2ududxduu3x1(x1)2(x1)2(x1)3(2)

13x222dxdx===2lnxlnx1Clnxx1C x(x1)xx1(3)

11x2111(2x1)3dxdx== lnx12dxx313x1x2x132xx1

1dxx111313122dx=ln=lnx1lnxx12 222322xx132xx113x221ln=3(4)

1xx1312C=1lnarctan233xx12322x1x2x13arctan2x1C 32x33x3232lnC dx2lnx22lnx3C===dx2(x2)(x3)2x2x3x3x2x3(x3)1xx1x21xdx122(5) 2=dx=ln(x1)ln(x4)C=ln2C (x1)(x24)3x21x246x4612x21d(x21)dxd(x21)x12x22dx=(6)  222dx=lnx122222x1x1(x1)(x1)(x1)x1x1(x1)=lnx1x1111ln(x21)arctanx2C=lnarctanx2C 22x1x1x18. 求下列不定积分 (1)

dx1sinx2==dxsec1sinx1sin2xxtanxsecxdx=tanxsecxC exdxxxln(1e)C 1dx(2) ==xx1e1e(3)

1cosxsinxdxcosxdx1cosxsinxcosxsinx===dx1dx 1tanxcosxsinx22cosxsinxcosxsinx=

1d(cosxsinx)1x=xlncosxsinxC 2cosxsinx2(4)

axaxxdx=dx=aarcsina2x2C axaa2x2(5)

111dxdx11x1dx===lnarctanxC x41(x21)(x21)2x21x2122x1dxx21令x1u(6)

xidxu2du1u2=arccosuC=arccosC

du1x

9. 将区间[T0,T1]细分为n个小区间，在每个小区间[ti1,ti]上任取一点i,(i1,2,,n)，由于小区间的长度tititi1很小，可以近似地认为放射性物质在[ti1,ti]内是以速度v(i)均匀分解。 (1) 分解质量的近似值为：

v()t

iii1n(2) 分解质量的精确值为：lim120v()t，max{t,t,,t}

ii12nni110. 用定义计算

xdx。yx在[0,1]上连续，定积分存在。故可将[0,1]区间n等份： 2

00x0055422(3) 在,区间上11sinx2，由定积分性质知：(1sinx)dx2。 44414. 由积分上限函数的定理3知ysinx，yx00，yx41。 215. 求下列函数的导数。

xtx(1) 5edt=5e 02x22(2) 1tdt=1tdt=1x2

x2x21222222(3) sintdt=sin(x1)(x1)=2xsin(x1)

 0

x3x3x31a1x2111(4) 2dtdtdtdtdtx=x2= a 44444 a a1t1t1t1t1t=11x8(x)211x12(x)=32x1x83x21x12

16. 求下列极限。

(1) limx0arctantdtx20x012arctanx1=lim=lim1x= x0x02x22x2x11(2) limx=lim=lim=lim= x0x(xsinx)x0x0xsinxx01cosx2t(tsint)dtx0t2dt17. F(x)txx2tedt，，F(x)xeF(x)e(12x)，令F(x)0，得驻点：02x22x0,F(0)10有极小值，F(0)0。 18. 计算下列定积分。 (1)

9 41231231231x(1x)dx=x2x2=92924242=45 2326243339(2)

1 31dx=arctanx1x23313=3366 (3)

2 0sincosd=2 02114cosd(cos)=cos= 440(4)

4 0tand=34 0(sec21)tand=4 0tand(tan)4 0tand=14tan2lncos 20=

111ln=(1ln2) 222(5) (6)

x 0xcosxdx=xd(sinx)=xsinx0sinxdx=cosx0112

0 02 0ecosxdx=cosxd(e)=ecosxesinxdx=1sinxd(e)=1esinx2excosxdx

2xx 0202x2xx 0 020 0121ecosxdx, 2excosxdxe1

0 02e1e1xe1e1(7) ln(x1)dx=xln(x1) 0dx=e1xln(x1) 0=1

0 0x1=e22x

(8)

131x3333ln lnsinxdxxd(cotx)xcotxcotxdx====4sin2x4444332233443(9)

2dx(3x)4 15=(3x) 1245d(3x)=5(3x)1251=5(152)=5(521)

e131lnx(10) dx=(1lnx)d(1lnx)=(1lnx)2

1 1x221ee(11) 2 0sinxdx=sinxdxsinxdx=cosx0cosx 4= 0 22(12)  11令54xu1x1 15u1231dxdx=10u2u2= 4dxdu16 9u16354x9611ex12ex1xln(1e)(13) === 1dxdx1ln(1e)(ln2)lnx 00 01ex1e1e1(14) 1 01312321cos2u24(1x)dxcosudu=du=2cos2ucos4udu  08 0dxcosudu 0282令xsinu211323sin4u==usin2u 8432160(15) (16) 4a422a421cos4ua412a2222422du=usin4u= asinucosudu=sin2udu= 0xaxdxdx 0 0 0acosudu44284 016a2dxx1(x1)3令x1u,x1u2dx2udu 02du32arctanu== 1 11u263令xasinu19. 证明： (1)   coskxsinlxdx=1sin(lk)xsin(lk)xdx=0，奇函数在对称区间上的定积分为0。 2 1111cos(kl)xcos(kl)xdx=sin(kl)xsin(kl)x=0 (2) coskxcoslxdx=22klkl  1111sin(kl)xsin(kl)x=0 (3) sinkxsinlxdx=cos(kl)xcos(kl)xdx=22klkl   20.

aT af(x)dx=f(x)dxf(x)dxa00TaT Tf(x)dx

0aTa aaT Tf(x)dxf(uT)du=f(u)du=f(x)dx，dxdu00令xuTaaf(x)dx=f(x)dx。

0T

21. 由万有引力定律，火箭与地心距离为r时，地球对火箭的引力是FG为H处所做的功为：WMm。将火箭送至离地面高2rRH RF(r)dr=GMmRH R1111GMmGMm==dr，在2RRHrr RRH地球表面引力就是重力，即：

1GMm212WmgR， mgGMmmgR。 2RRRH10111cos2t22. Qsintdt=dt=tsin2t=5。

0 0222 01021041423122kb232223. Qkt(tb)dt=k(t2btbt)dt=ktbtbt=。 0 0124320bbb24. 如右图所示。 132Ax24x5dx=x32x25x= 33335525. 如下图所示。 yx24x3，y2x4，yx04，yx32，两条切线方程为：y4x3，其交点坐标为：3,3 y2x623=2 0119xdx3(x6x9)dx=x3x33x29x=。 2303342 32323226. 如右图所示。 y38a2by2222Vy2xdy=2ay3b2=3 1b2dy=2a 0 00bbb27. 如右图所示。

131Vxxdxx4dx=x2x5

002510011128. 如右图所示。 =4040xx16x2dx=408arcsin16x2=408=1602。

24204

29. 求曲线xy1在0,1上的弧长。y1x12xx,y11221 xl1(y)2dx=01012121令xu,xu1222udu=22u2u1du 2dx020dx2uduuuxx=2210211u2222221111121112ulnuuudu=22222222222222221111ln1112224228 0122221111111=22ln4228222 1211=22ln222281222l1(y)dx012121=11ln=1ln12 22221=210212dxxx令xu,xu2dx2udu2102u22u1du=

2210111udu 2222112dusec2tdt211令utant22 44sec3tdt，而sec3xdx= 41secxtanxlnsecxtanxC 21l122secxtanxlnsecxtanx=42(22ln21)(2ln21) 211=11ln12 22ln=212221takx taktakx30. v===akedxee11ekt 0t00ttt11xx111e31. y=e1=1e edx=010032. 判别下列各广义积分的收敛性，如果收敛，则计算广义积分。

(1)

 11dx=x43x3=0 1131 (收敛) 3

(2)

 1dx=2x (发散)

1x1(3)

 01dxdxdx11== (发散)

x(lnx)20x(lnx)2 1x(lnx)2lnx0lnx 1(4)

 012xedx=ex2x2= 011(01) (收敛) 22(5)

 011eaxasinbxbcosbx1xxaxesinxdx=esinxcosx=(01)，esinbxdx=C 22ab222 0(6)

d(x1)dx===arctanx1 (收敛) x22x2(x1)2122(7)

1xdx1x20=1x210=(01)1 (收敛) 12(8)

2012dxdxdx11== (发散) (1x)20(1x)21(1x)21x01x1b33. 当k为何值时，积分adx (ba)收敛或发散 k(xa)当k=1时，bab  , 1k0bdxbdx11kln(xa)a，当k1时，， (xa)=11kkaba , 1k0xa(xa)1ka1kba11kdxba , k1，收敛=1k (xa)k  , k1，发散第六章 常微分方程习题题解(P186) 一、判断题题解

1. 错。应该是：微分方程通解中独立任意常数的个数由微分方程的阶所确定。 2. 错。有三个变量z, x, y。 3. 错。不管C取何值y1都不为0。 xC4. 错。如yCx是y0的解，但它既不是通解也不是特解。

5. 错。它只有一个独立的任意常数。 6. 正确。它的通解为：ysin(xC)，当xC时，y1 2p(x)y1C2y2p(x)y20 7. 正确。(C1y1C2y2)p(x)(C1y1C2y2)C1y18. 错。y1,y2必须是两个线性无关的解。 二、选择题题解 1. 在选项(A)中有y。 2. 在选项(B)中有y。 12dx23. 通解为：yexxe4. (B)是一阶微分方程 5. 将(C)代入满足方程 11dxxlnx2lnx12dxC=exe=xxC，(B) dxC2p(x)y1C2y2p(x)y20 6. 在选项(C)中，将C1y1C2y2代入yp(x)y0后，有C1y1C1C2Q(x)0，而Q(x)0C1C20 7. 在选项(A)中，对x求导数：yxxyxyxy=== 3546266262y3Cy2y3Cy2xCy3Cy2xCy=xyxy=。 2x2x2y43x2y4三、填空题题解 21. 特征方程为：r2r30，特征根为：r1,3，通解为：yC1exC2e3x。

2. yecosxdxesinxecosxdxdxC=esinxesinxesinxdxC=esinxxC 2x3. 特征方程为：r10，特征根为：r1，通解为：yC1eC2ex，yC1exC2ex。该曲

C1,C20C1C2，yx0C1C21，线过(0,0)点，且切线斜率为1，有：得：

四、解答题题解

12111yexex。， 222

yax2bxax2axby 1. yaxbx，y2axb，axxx22. 求下列一阶微分方程的通解或特解。

2xyy2xy(1) ye，edyedxe12xeC 2xxx(2) edxdxsin2ydy，(e1)dxsin2ydycos2y2(ex)C

22(3) (4xxy)dx(yxy)dy0，

yx112222ln(4y)(1x)C dydxln(4y)ln(1x)C1224y1x22(4) 1dydydxln3y8xC1ln3y83x3C1(3y8)e3xC 3y8，3y83dx323dyyy3ydydudu3，令u,yxu,(5) xdy(yxy)dx0，uxuxuu3 dxxxxdxdxdxdudx122222xylnxC ulnxCu2lnx2C113ux2dyydyyy(6) ，xylnlndxxxdxx，令

dudxydydudu u,yxu,uxuxulnuu(lnu1)xdxxdxdxlnlnu1lnxC1(7) lnu1CueCx1yxe1Cx xdy11dzdydzzdz1，令z2xy1,2，21dxzln1zxC1 dx2xy1zdxdxdx1zxy2xy1ln2xy2xC12xy2Ce(8) dy1dz1dzdy11, 令zxy,1, 11zdzdxz2xC1(xy)22xC dxxydxdxdxz222dxdxdydy2322xx2yxcos4x，yxcos4x，yexcos4xe(9) xdxC dxdxx=elnx2xcos4xe2lnx21dxC=x2cos4xdxC=x2sin4xC

4(10)

xdyydxxdx0lnx，

dy11ydxxlnx，

ye1dxxdx11lnx1lnxx=eedxCedxC lnxlnx=x1dxC=xlnlnxC xlnx(11) yxyydydudu1dx,yx12，令u,yxu, uxuxuuduyxxxdxdxdxuy2y21222ulnxC12lnxC，由初始条件得：C4。2lnx4

xx2(12) xy14e,yx2ydydxeydydxln4eylnxC1(4ey)xC 0，yyx4e1x4ey0由初始条件得：C2(4e)6。(e4)x6 11dxexdxlnxexlnx11xxxedxC=eedxC yye，ye(13) xyye0,yx13e，xxxxx=1xedxC=1exxxC，由初始条件得：C2e。y(14) dyytanxsecx,yx0，yetanxdxsecxetanxdxdxC=elncosxsecxelncosxdxC dx21xe2e x=111yx=，由初始条件得：。secxcosxdxCxCC cosx2cosxcosx23. 求下列特殊的二阶微分方程的通解或特解。 x(1) yxe，yxexdxC1=xdexC1=xexexdxC1=xeeC1e(x1)C1

xxxyex(x1)C1dxC2(x2)exC1xC2 =x(x1)deC1xC2=(x1)exexdxC1xC2=

(2) y1y，令yp,yp，p1p，

dpdxln1pxApC1ex1 1pyC1ex1dxC2=C1exxC2

(3)

y2y4x，令

yp,yp，

p2p4x，

pe2dx4xe2dxdxC1=e2x4xe2xdxC1



=e2x2xd(e

3dxx2x)C1=e2x2xe2xe2xd(2x)C1=e2x2xe2xe2xC1=2x1C1e2x

y2x1C1e2xdxC2=x2xC1e2xC2

(4)

xy3yx2，令

yp,yp，

p3pxx，

pe3dxxexdxC1=e3lnxxe3lnxdxC1 =x3x211dxC1=x3C1=C1x3x2，yC1x3x2dxC2=C1x4x3C2

3x(5) y1(y)，令yp,yp，p1p，22dpdxarctanpxC1，ptan(xC1)

1p2ytan(xC1)dxC2=lncos(xC1)C2 (6) y103y，令yp,ypdpdy，

pdp1dy113pdp3p2y2C1pdyyy221C1 2yydy1C1y2dx11C1y2xC21C1y2C1xC21C1y2(C1xC2)2 C1(7) 1yyy20,yx01,yx00，令yp,ypdppdpdydpp20，1yp

dydy1p2yln1plnyC11p21222C1，由初始条件得：C11，p2y22ydy1dx 122y1y221yxC21y(xC2)，由初始条件得：C20，xy1 2(8) (1x2)y2xy,yx00,yx01，令yp,yp，(1x)p2xp

dp2xd p1x2222lnpln1xC1pC1(1x)，由yx01得：C11，y(1x)dxC2=x13xC2， 3由yx00得：C20，yx13x 34. 求下列二阶常系数线性齐次微分方程的通解或特解。

x3x2(1) y2y3y0，特征方程：r2r30，特征根：r1,21,3。通解：yC1eC2e。

(2) y2y3y0，特征方程：r22r30，特征根：r1,212i。通解：

yexC1cos2xC2sin2x。

x32(3) 4y12y9y0，特征方程：4r12r90，特征根：r1,2。通解：yC1C2xe。

232(4) yy0，特征方程：r2r0，特征根：r1,21,0。通解：yC1exC2。

2(5) y3y4y0,yx01,yx00，特征方程：r3r40，特征根：r1,21,4。

通解：yC1e特解：yxC2e4x，yC1ex4C2e4x，由yx01,yx00，得：C141,C2 554x14xee。 552(6) y8y16y0,yx02,yx05，特征方程：r8r160，特征根：r1,24。 通解：yC1C2xe，yC2e4x4x4C1C2xe4x，由yx02,yx05，得：C12,C23

特解：y23xe。 4x(7) 4y9y0,yx02,yx0332，特征方程：4r90，特征根：r1,2i。 223333C1sinxC2cosx，由yx02,yx0，得：2222通解：yC1cosxC2sinx，y3232C12,C21 特解：y2cosxsin323x 2dNkt解之得NCe，kN，其中k为比例系数。dtln2kt2k不妨设N(0)N0，则CN0，从而有NN0e，由已知条件2N0N0e，得k，那么25. 设t小时细菌数为N(t)，依题意可建立微分方程：3N0N0etln2t2，

2ln33.17小时。 ln2dMktM(0)m0，解之得MCe，有Cm0，kM。

dtln26. 设第t天32P的乘余量为M(t)，依题意得：tm01ln214.3k14.3又M(14.3)，m0m0e，得：k，故：Mm0e。

2214.37. 设t分钟时过氧化氢的浓度为A(t)摩尔/米，依题意有：

3dAkA，解之得ACekt，dt

10.1650.276Ce10k10k0.165代入上式有：，，ekln0.05，A(10)0.276, A(20)0.165，0.165Ce20k0.276100.2760.2760.2762C10k0.46，A0.46e0.05t。

e0.165dT2t则T15Ce，由T(0)37，2(T15)，

dtln22t2t得C22，T1522e，当T26时，由261522e，得t0.347小时。

2dktMQ(t)9. 设输入葡萄糖t分钟后，血液中葡萄糖含量为Q(t)，依题意有：aQ(t)，即

dtdQkkaQk，解之得：QCeat，由初始条件：Q(0)M代入上式得CM，dtaa8. 设死亡后t小时尸体的温度为T(t)，依题意有：QkkkMeat，显然当t时，eat0 ，有limQ。 taaa10. 设t年后14C的含量为M(t)，由物理学知：放射性元素的衰减速度与当时的量成正比。有解之得MCektkt，假定M(0)M0，则CM0 , MM0e，当dMkM，dtt=1时，

MM0tMM06.24%，0.999875M0，由此得到MM00.999875t0.999875tM08000ln0.062422192.13，故此人大约死于22193年前。 ln0.999875