线性代数重点难点

自考《线性代数》重难点解析

2011-02-17 11:09:49 | 作者: min | 来源: 考试大 | 查看:

第一章 行列式

一、重点

1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。

2、掌握：行列式的基本性质及推论。

3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。

二、难点

行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。

三、重要公式

1、若A为n阶方阵，则│kA│= kn│A│

2、若A、B均为n阶方阵，则│AB│=│A│。│B│

3、若A为n阶方阵，则│A*│=│A│n-1

若A为n阶可逆阵，则│A-1│=│A│-1

4、若A为n阶方阵，λi（i=1，2，…，n）是A的特征值，│A│＝∏λi

四、题型及解题思路

1、有关行列式概念与性质的命题

2、行列式的计算（方法）

1）利用定义

2）按某行（列）展开使行列式降阶

3）利用行列式的性质

①各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。

②各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。

③逐次行（列）相加减，化简行列式。

④把行列式拆成几个行列式的和差。

4）递推法，适用于规律性强且零元素较多的行列式

5）数学归纳法，多用于证明

3、运用克莱姆法则求解线性方程组

若D =│A│≠0，则Ax=b有唯一解，即

x1=D1/D，x2= D2/D，…，xn= Dn/D

其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。

注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。

4、运用系数行列式│A│判别方程组解的问题

1）当│A│＝0时，齐次方程组Ax＝0有非零解；非齐次方程组Ax＝b不是唯一解（可能无解，也可能有无穷多解）

2）当│A│≠0时，齐次方程组Ax＝0仅有零解；非齐次方程组Ax＝b有唯一解，此解可由克莱姆法

一、重点

1、理解：矩阵的定义、性质，几种特殊的矩阵（零矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，对角矩阵，逆矩阵，正交矩阵，伴随矩阵，分块矩阵）

2、掌握：

1）矩阵的各种运算及运算规律

2）矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法

3）矩阵的初等变换方法

二、难点

1、矩阵的求逆矩阵的初等变换

2、初等变换与初等矩阵的关系

三、重要公式及难点解析

1、线性运算

1）交换律一般不成立，即AB≠BA

2）一些代数恒等式不能直接套用，如设A，B，C均为n阶矩阵

（A+B）2=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2

（AB）2=（AB）（AB）≠A2B2

（AB）k≠AkBk

（A+B）（A-B）≠A2-B2

以上各式当且仅当A与B可交换，即AB=BA时才成立。

3）由AB=0不能得出A=0或B=0

4）由AB=AC不能得出B=C

5）由A2=A不能得出A=I或A=0

6）由A2=0不能得出A=0

7）数乘矩阵与数乘行列式的区别

2、逆矩阵

1）（A－1）－1＝A

2）（kA） －1=（1/k）A－1，（k≠0）

3）（AB）－1=B－1A－1

4）（A－1）T=（AT）－1

5）│A－1│=│A│－1

3、矩阵转置

1）（AT）T＝A

2）（kA） T=kAT，（k为任意实数）

3）（AB）T=BTAT

4）（A+B）T=AT+BT

4、伴随矩阵

1）A*A＝A A*=│A│I （AB）*=B*A*

2）（A*）*=│A│n-2 │A*│=│A│n-1 ，（n≥2）

3）（kA）*=kn-1A* （A*）T=（AT）*

4）若r（A）=n，则r （A*）=n

若r（A）=n-1，则r （A*）=1

若r（A）5）若A可逆，则（A*）-1=（1/│A│）A，（A*）-1＝（A-1）*，A*＝│A│A-1

5、初等变换（三种）

1）对调二行（列）

2）用k（k≠0）乘以某行（列）中所有元素

3）把某行（列）的元素的k倍加至另一行（列）的对应元素

注意：用初等变换①求秩，行、列变换可混用

②求逆阵，只能用行或列变换

③求线性方程组的解，只能用行变换

6、初等矩阵

1）由单位阵经过一次初等变换所得的矩阵

2）初等阵P左（右）乘A，所得PA（AP）就是A作了一次与P同样的行（列）变换

3）初等阵均可逆，且其逆为同类型的初等阵

E-1ij=Eij，E（-1）i（k）=Ei（1/k），E（-1）ij（k）=Eij（-k）

7、矩阵方程

1）含有未知矩阵的等式

2）矩阵方程有解的充要条件

AX=B有解<==>B的每列可由A的列向量线性表示

<==>r（A）=r（A┆B）

四、题型及解题思路

1、有关矩阵的概念及性质的命题

2、矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置）

3、矩阵可逆的判定

n阶方阵A可逆<==>存在n阶方阵B，有AB=BA=I

<==>│A│≠0

<==>r（A）=n

<==>A的列（行）向量组线性无关

<==>Ax=0只有零解

<==>任意b，使得Ax=b总有唯一解

<==>A的特征值全不为零

4、矩阵求逆

1）定义法：找出B使AB=I或BA=I

2）伴随阵法：A-1=（1/│A│）A*

注意：用该方法求逆时，行的代数余子式应竖着写在A*中，计算Aij时不要遗漏（-1）i+j，当n>3时，通常用初等变换法。

3）初等变换法：对（A┆I）只用行变换化为（I┆A-1）

4）分块矩阵法

5、解矩阵方程AX=B

1）若A可逆，则X=A-1B，可先求出A-1，再作乘法A-1B求出X

2）若A可逆，可用初等变换法直接求出X

（A┆B）初等行变换（I┆X）

3）若A不可逆，则可设未知数列方程用高斯消元法化为阶梯型方程组，然后对每列

常数项分别求解。

一、重点

1、理解：向量、向量运算以及向量的线性组合与线性表出，极大线性无关组的概念，线性相关与线性无关的概念，向量组的秩的概念，矩阵的秩的概念及性质，基础解系的概念。

2、掌握：向量的运算及运算规律，矩阵秩的计算，齐次、非齐次线性方程组解的结构。

3、运用：线性相关、线性无关的判定，线性方程组解的判断，齐次、非齐次线性方程组的解法。

二、难点

线性相关、线性无关的判定。向量组的秩与矩阵的秩的关系。方程组与向量组线性表示及秩之间的联系。

三、重点难点解析

1、 n维向量的概念与运算

1） 概念

2） 运算

若α＝（a1，a2，…，an）T，β＝（b1，b2，…，bn）T

①加法：α＋β＝（a1+b1 ，a2+b2 ，…，an+bn）T

②数乘：kα＝（ka1，ka2，…，kan）T

③内积：（α。β）＝a1b1+a2b2+，…，+anbn＝αTβ＝βTα

2、线性组合与线性表出

3、线性相关与线性无关

1）概念

2）线性相关与线性无关的充要条件

①线性相关

α1，α2，…，αs线性相关

<==>齐次方程组（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T＝0有非零解

<==>向量组的秩r（α1，α2，…，αs）＜s （向量的个数）

<==>存在某αi（i=1，2，…，s）可由其余s-1个向量线性表出

特别的：n个n维向量线性相关<==>│α1α2…αn│＝0

n+1个n维向量一定线性相关

②线性无关

α1，α2，…，αs线性无关

<==>齐次方程组（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T＝0只有零解

<==>向量组的秩r（α1，α2，…，αs）＝s （向量的个数）

<==>每一个向量αi（i=1，2，…，s）都不能用其余s-1个向量线性表出

③重要结论

A、阶梯形向量组一定线性无关

B、若α1，α2，…，αs线性无关，则它的任一个部分组αi1，αi2，…，αi t必线性无关，它的任一延伸组必线性无关。

C、两两正交，非零的向量组必线性无关。

4、向量组的秩与矩阵的秩

1）极大线性无关组的概念

2）向量组的秩

3）矩阵的秩

①r（A）＝r（AT）

②r（A+B）≤r（A）＋r（B）

③r（kA）＝r（A），k≠0

④r（AB）≤min（r（A），r（B））

⑤如A可逆，则r（AB）＝r（B）；如B可逆，则r（AB）＝r（A）

⑥A是m×n阵，B是n×p阵，如AB＝0，则r（A）＋r（B）≤n

4）向量组的秩与矩阵的秩的关系

①r（A）＝A的行秩（矩阵A的行向量组的秩）＝A的列秩（矩阵A的列向量组的秩）

②经初等变换矩阵、向量组的秩均不变

③若向量组（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表出，则r（Ⅰ）≤r（Ⅱ）。特别的，等价的向量组有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。

5、基础解系的概念及求法

1）概念

2）求法

对A作初等行变换化为阶梯形矩阵，称每个非零行中第一个非零系数所代表的未知数是主元（共有r（A）个主元），那么剩于的其他未知数就是自由变量（共有n- r（A）个），对自由变量按阶梯形赋值后，再带入求解就可得基础解系。

6、齐次方程组有非零解的判定

1）设A是m×n矩阵，Ax＝0有非零解的充要条件是r（A）＜n，亦即A的列向量线性相关。

2）若A为n阶矩阵，Ax＝0有非零解的充要条件是│A│＝0

3）Ax＝0有非零解的充分条件是m＜n，即方程个数＜未知数个数

7、非齐次线性方程组有解的判定

1）设A是m×n矩阵，Ax＝b有解的充要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵（A增）的秩，即r（A）＝r（A增）

2）设A是m×n矩阵，方程组Ax＝b

①有唯一解<==> r（A）＝r（A增）＝n

②有无穷多解<==> r（A）＝r（A增）③无解<==> r（A）+1=r（A增）

8、非齐次线性方程组解的结构

如n元线性方程组Ax＝b有解，设，η2，…，ηt是相应齐次方程组Ax＝0的基础解系，ξ是Ax＝b的一个解，则k1η1+k2η2+…+ktηt+ξ是Ax＝b的通解。

1）若ξ1，ξ2是Ax＝b的解，则ξ1-ξ2是Ax＝0的解

2）若ξ是Ax＝b的解，η是Ax＝0的解，则ξ+kη仍是Ax＝b的解

3）若Ax＝b有唯一解，则Ax＝0只有零解；反之，当Ax＝0只有零解时，Ax＝b没有无穷多解（可能无解，也可能只有唯一解）

四、题型及解题思路

1、有关n维向量概念与性质的命题

2、向量的加法与数乘运算

3、线性相关与线性无关的证明

1）定义法

设k1α1+k2α2+…+ksαs＝0，然后对上式做恒等变形（要向已知条件靠拢）

①由B＝C可得AB＝AC，因此，可按已知条件的信息对上式乘上某个A

②展开整理上式，直接用已知条件转化为齐次线性方程组，最后通过分析论证k1，k2，…，ks的取值，得出所需结论。

2）用秩（等于向量个数）

3）齐次方程组只有零解

4）反证法

4、求给定向量组的秩和极大线性无关组

多用初等变换法，将向量组化为矩阵，通过初等变换来求解。

5、求矩阵的秩

常用初等变换法。

6、求解齐次线性方程组与非齐次线性方程组