历年考研数学题分类合集之线性代数 (3)

考研真题三1.设A为n阶实矩阵,AT是A的转置矩阵,则对于线性方程组():Ax0和():ATAx0,必有( ).00数三考研题(A)()的解是()的解,()的解也是()的解;(B)()的解是()的解,但()的解不是()的解;(C)()的解不是()的解,()的解也不是()的解;(D)()的解是()的解,但()的解不是()的解.2.设1,2,3是四元非齐次线性方程组Axb的三个解向量,且秩(A)3,1(1,2,3,4)T,23(0,1,2,3)T,c表示任意常数,则线性方程组Axb的通解x( ).00数三、四考研题113(A)2c110;(B)21(C)122(D)1233c4.413c2;1433c4;4534563.设向量组1(a,2,10)T,2(2,1,5)T,3(1,1,4)T,(1,b,c)T.试问:当a,b,c满足什么条件时,00数三、四考研题(1)可由1,2,3线性表出,且表示惟一?(2)不能由1,2,3线性表出?(3)可由1,2,3线性表出,但表示不惟一?并求出一般表达式.4.设A是n阶矩阵,是n维列向量.若秩(AT0)秩(A),则线性方程组( ).01数三考研题(A)Ax必有无穷多解;(B)Ax必有惟一解;(C)(Ax(D)xT0)(y)0仅有零解;(AT0)(y)0必有非零解.5.设i(ai1,ai2,,ain)T(i1,2,,r;rn)是n维实向量,且1,2,,r线性无关.已知(b1,b2,,bn)T是线性方程组01数四考研题.4.a11x1a12x2a1nxn0,a21x1a22x2a2nxn0,ar1x1ar2x2arnxn0的非零解向量.试判断向量组1,2,,r,的线性相关性.6.设A是mn矩阵,B是nm矩阵,则线性方程组(AB)x0( ).(A)当nm时仅有零解;(B)当nm时必有非零解;(C)当mn时仅有零解;(D)当mn时必有非零解.02数三考研题1227.设三阶矩阵A212,三维列向量(a,1,1)T.已知A与304线性相关,则a_______.02数三考研题8.设齐次线性方程组02数三考研题ax1bx2bx3bxn0,bx1ax2bx3bxn0,bx1bx2bx3axn0.其中a0,b0,n2.试讨论a,b为何值时,方程组仅有零解、有无穷多组解?在有无穷多组解时,求出全部解,并用基础解系表示全部解.9.设向量组1(a,0,c),2(b,c,0),3(0,a,b),线性无关,则a,b,c必满足关系式_________.02数四考研题10.设四元齐次线性方程组()为02数四考研题2x13x2x30,x12x2x3x40.且已知另一四元齐次线性方程组()的一个基础解系为1(2,1,a2,1)T,2(1,2,4,a8)T.(1)求方程组()的一个基础解系;(2)当a为何值时,方程组()与()有非零公共解?在有非零公共解时,求出全部非零公共解..5.11.已知平面上三条不同直线的方程分别为03数三考研题 l1:ax2by3c0,l2:bx2cy3a0,l3:cx2ay3b0.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为abc0.12.设1,2,,s均为n维向量,下列结论不正确的是( ).03数三考研题(A)若对于任意一组不全为零的数k1,k2,,ks,都有k11k22kss0,则1,2,,s线性无关;(B)若1,2,,s线性相关,则对于任意一组不全为零的数k1,k2,,ks,有k11k22kss0;(C)1,2,,s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s;(D)1,2,,s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.13.已知齐次线性方程组03数三考研题(a0,1b)x1a2x2a3a3anxna1x1(a2b)x2a3x3anxn0,a1x1a2x2(a3b)a3anxn0,a1x1a2x2a3a3(anb)xn0,n其中ai0.试讨论a1,a2,an和b满足何种关系时,i1(1)方程组仅有零解;(2)方程组有非零解,在有非零解时,求此方程组的一个基础解系.14.设有向量组():1(1,0,2)T,2(1,1,3)T,3(1,1,a2)T和向量组():1(1,2,a3)T,2(2,1,a6)T,3(2,1,a4)T,03数四考研题试问:当a为何值时,向量组()与()等价?当a为何值时,向量组()与()不等价?15.设n阶矩阵A的伴随矩阵A*O,若1,2,3,4是非齐次线性.6.方程组Axb的互不相等的解,则对应的齐次线性方程组Ax0的基础解系( ).04数三考研题(A)不存在;(B)仅含一个非零解向量;(C)含有两个线性无关的解向量;(D)含有三个线性无关的解向量.16.设04数三考研题1(1,2,0)T,2(1,a2,3a)T,3(1,b2,a2b)T,(1,3,3)T.试讨论当a,b为何值时,(1)不能由1,2,3线性表示;(2)可由1,2,3惟一地线性表示,并求出表示式;(3)可由1,2,3线性表示,但表示式不惟一,并求出表示式.17.设线性方程组04数四考研题x1x2x3x40,2xx2x32x140,3x1(2)x2(4)x34x41.已知(1,1,1,1)T是该方程组的一个解.试求(1)方程组的全解,并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解;(2)该方程组满足x2x3的全部解.18.设行向量组(2,1,1,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a),(4,3,2,1)线性相关, 且a1,则a__________.05数三、四考研题19.已知齐次线性方程组x12x23x30(1),和(2)2x13x25x30,x1bx2cx30,x2x1b2x2(c1)x30,1x2ax30,同解, 求a,b,c的值.05数三、四考研题20.设a1,a2,,an均为n维列向量,A是mn矩阵,下列选项正确的是( ).06数三考研题(A)若a1,a2,,an线性相关,则Aa1,Aa2,,Aan,线性相关;(B)若a1,a2,,an线性相关,则Aa1,Aa2,,Aan,线性无关;.7.(C)若a1,a2,,an线性无关,则Aa1,Aa2,,Aan,线性相关;(D)若a1,a2,,an线性无关,则Aa1,Aa2,,Aan,线性无关.21.设A为3阶矩阵,将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的110010,则( ).1倍加到第2列得C,记P00106数三考研题2a2a27.设n元线性方程组Axb,其中ATTx(x1,,xn),b(1,0,,0),12aa2,12ann(A)CP1AP;(B)CPAP1;(C)CPTAP;(D)CPAPT.22.设4维向量组a1(1a,1,1,1)T,a2(2,2a,2,2)T,a3(3,3,3a,3)T,a4(4,4,4,4a)T,问a为何值时, a1,a2,a3,a4线性相关? 当a1,a2,a3,a4线性相关时, 求其一个极大线性无关组, 并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.06数三、四考研题23.设矩阵A2112,E为2阶单位矩阵,矩阵B满足BAB2E,则B_________.06数四考研题010024.设矩阵A00100001,则A3的秩为____________. 07数三、四考研题000025.设向量组1,2,3线性无关,则下列向量组线性相关的是( ).(A)12,23,31; (B)12,23,31;(C)122,223,321; (D)122,223,321.07数三、四考研题26.设线性方程组x1x2x30x12x2ax30x14x2a2x30与方程x12x2x3a1有公共解,求a的值及所有公共解.07数三、四考研题.8.

(1)求证A(n1)an;(2)a为何值,方程组有唯一解,并求x1;(3)a为何值,方程组有无穷多解,并求通解.08数三、四考研题.9.