大一同济上册高数(一些重要公式及知识点)

微分公式与积分公式

(tgx)secx(ctgx)csc2x(secx)secxtgx(cscx)cscxctgx(ax)axlna(logax)1xlna2(arcsinx)11x21(arccosx)1x21(arctgx)1x21(arcctgx)1x2tgxdxlncosxCctgxdxlnsinxCsecxdxlnsecxtgxCcscxdxlncscxctgxCdx1xarctgCa2x2aadx1xalnx2a22axaCdx1axa2x22alnaxCdxxarcsinCa2x2a2ndx2cos2xsecxdxtgxCdx2csc2sinxxdxctgxCsecxtgxdxsecxCcscxctgxdxcscxCaxadxlnaCxshxdxchxCchxdxshxCdxx2a2ln(xx2a2)C2Insinxdxcosnxdx00n1In2n

x2a22xadxxaln(xx2a2)C22x2a2222xadxxalnxx2a2C22x2a2x222axdxaxarcsinC22a22三角函数的有理式积分：

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2u1u2x2dusinx，　cosx，　utg，　dx

21u21u21u2 两个重要极限：

公式1limsinx1 公式2lim(1x)1/xe

x0x0x有关三角函数的常用公式

和差角公式： 和差化积公式：

sin()sincoscossincos()coscossinsintgtgtg()1tgtgctgctg1ctg()ctgctgsinsin2sin22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin22cos三倍角公式: 半角公式：

sin(3α)=3sinα-4sin^3(α) sin(α/2)=±√(1-cosα)/2 cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα Cos(α/2)=±√(1+cosα)/2

降幂公式: 万能公式：

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

推导公式

tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

abc正弦定理： 2R

sinAsinBsinC余弦定理： c2a2b22abcosC 反三角函数性质：arcsinxarccosx 2 / 5

2 arctgxarcctgx2

(特别要注意这两个恒等式，证明的话，只需做出左边的函数的导数为0即可）

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

(uv)(n)k(nk)(k)Cnuvk0nu(n)vnu(n1)vn(n1)(n2)n(n1)(nk1)(nk)(k)uvuvuv(n)2!k!

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：f(b)f(a)f()(ba)f(b)f(a)f()柯西中值定理：F(b)F(a)F()

当F(x)x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：

弧微分公式：ds1y2dx,其中ytg平均曲率：K.:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；s：MM弧长。sydM点的曲率：Klim.

23s0sds(1y)直线：K0;1半径为a的圆：K.a定积分的近似计算：

b f(x)abba(y0y1Lyn1)nba1[(y0yn)y1Lyn1] n2 f(x)a 定积分应用相关公式：

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功：WFs水压力：FpAmm引力：Fk122,k为引力系数

rb1函数的平均值：yf(x)dxbaa12均方根：f(t)dtbaab微分方程的相关概念：

一阶微分方程：yf(x,y)　或　P(x,y)dxQ(x,y)dy0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dyf(x)dx的形式，解法：g(y)dyf(x)dx　　得：G(y)F(x)C称为隐式通解。dyyf(x,y)(x,y)，即写成的函数，解法：dxxydydududxduy设u，则ux，u(u)，分离变量，积分后将代替u，xdxdxdxx(u)ux齐次方程：一阶微分方程可以写成即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：

dy1、一阶线性微分方程：P(x)yQ(x)dxP(x)dx当Q(x)0时,为齐次方程，yCe当Q(x)0时，为非齐次方程，y(Q(x)edy2、贝努力方程：P(x)yQ(x)yn，(n0,1)dxP(x)dxdxC)eP(x)dx

全微分方程：

如果P(x,y)dxQ(x,y)dy0中左端是某函数的全微分方程，即：uudu(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy0，其中：P(x,y)，Q(x,y)

xyu(x,y)C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：

f(x)0时为齐次d2ydyP(x)Q(x)yf(x)， 2dxdxf(x)0时为非齐次 4 / 5

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)ypyqy0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：()r2prq0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数；2、求出()式的两个根r1,r23、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：

r1，r2的形式 两个不相等实根(p4q0) 两个相等实根(p4q0) 一对共轭复根(p4q0) 222(*)式的通解 yc1er1xc2er2x y(c1c2x)er1x yex(c1cosxc2sinx) r1i，r2i4qp2 p，22二阶常系数非齐次线性微分方程

ypyqyf(x)，p,q为常数f(x)exPm(x)型，为常数；f(x)ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型

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