耦合波导理论

第二章线性电光效应的耦合波理论

2001年，She等人提出一种全新的理论，它从麦克斯韦方程出发，考虑二阶非线性极化强度(也就是只考虑线性电光效应)，忽略其余高阶极化强度，推出关于线性电光效应的耦合波方程，得到在电场作用下的晶体中光的两个独立电场分量的解析解。这种方法，可运用于研究光在任意一个方向的电场作用下沿任意方向传播的各种线性电光效应的情况，并且不单可以用于研究光的振幅调制，也可以容易去解决光的相位调制问题。另外对于给定的一个晶体(点群)，能根据需要利用该理论进行优化设计。这全新的耦合波理论相对折射率椭球理论来说，它的物理图象清晰，得到的结果是解析解，不用再作任何数学变换。我们不单可以方便地进行优化设计，而且也可用于电光调制器等电光器件性能的分析。它的出现拓展电光材料的选择范围和优化调制器的调制方式，从而引起了电光效应研究领域内新一轮的探索。

2.1 理论推导

波在介质中传播时，能够通过介质内的非线性极化而相互作用将导致形形色色的非线性光学现象，如高次谐波、参量转换、受激散射等等。电光效应就是其中的一种非线性光学现象。电(波)与光(波)的互作用，实质上又可以看作是几个处于不同波段的电磁波在非线性介质中的波耦合过程，因此可以象非线性光学那样，通过求解耦合波方程来获得电光作用的有关知识。对于普克尔效应，是入射波为光()电波(m)产生一个输出光波(m)的三波耦合过程。对于电光效应，它涉及到的是光与物质的相互作用，光是由麦克斯韦方程或场方程描述，物质体系是由光学布洛方程描述。于是我们采用类似非线性光学方法，首先给出相应的非线性极化强度，把电场所感生的附加极化矢量当成一个微扰量P，再将它视为新的极化光源引入麦克斯韦波动方程，通过整理最后可得到相应的耦合波方程。线性电光效应耦合波理论就是以麦克斯韦波动方程为基础和出发点推导出来的。

我们可以由麦克斯韦方程组和物质方程推导出：

2[E(t)]2PNLS(t)E(t)022ctt2 （2-1）

根据矢量运算规则，

E(E)2E （2-2）

这样可得：

2[E(t)]2PNLS(t)2[E(t)]E(t)0c2t2t2 （2-3）

为介质的相对介电张量，0为真空中的磁导率，c为真空中的光速，E（t）为介质中

NLSP的总电场强度，(t)为只与电场强度E(t)有关的介质非线性极化强度，暂不考虑旋光效应。

当光沿r方向传播时，电场强度可分为平行和垂直于r的两个分量，因为此时光波理想化为单色平面电磁波，平行r的分量E//(t)为零，所以我们只需保留E(f)垂直于传播方向r上的分量

E(t)。在没有自由电荷的均匀介质中和在P0E的情况下，有VE0，这样方程(2-3)

可变为：

2(E(t))2PNLS(t)2E(t)022ctt2 （2-4）

其中在单色波近似下，外加电场后晶体中总的电场强度可表示为：

1E(t)E(0)[E()eitc.c.]2 （2-5）

E(0)为外加直流电场或频率远小于的低频电场；c.c.表示电场的复共轭部分；

将(2-5)式代入(2-4)式的左边，可得：

2[E(t)]1it2122E(t)eE()[E()]eit222ct22c （2-6）

由于电光晶体所产生的线性电光效应比其所产生的二次电光效应强得多，并且在实际应用中常利用立方晶系晶体或均质体来产生二次电光效应，因此由电光晶体产生的二次电光效应就显得不重要了。在这里我们只考虑线性电光效应的贡献，而认为由于相位失配其它各二阶非线性效应以及更高阶非线性效应可以被忽略，所以在求解(2-4)式时，把非线性激励项作为一种微扰来处理。所以有：

1(2)P()eitc.c.2 （2-7）

PNLS(t)P(2)(t)是方程(2-4)式的右边：

2PNLS(t)12(2)it0P()e02t2 （2-8）

由(2-6)和(2-8)式，则式(2-4)可变为：

2E()2[E()]02P(2)()2c （2-9）

一般说来，在相位失配的情况下，频率为的单色平面波在各向异性晶体中传播时没有倍频产生，电场可分为两个相互正交的偏振分量E1()，E2()，设K1、K2 分别为

E1()，E2()所对应的波矢，因此我们可定义：

E()E1()E2()E1(r)eiK1rE2(r)eiK2r （2-10）

如果k1k2，E1()，E2()分别表示光电场强度的两个相互垂直的分量；如果

k1k2，E1()，E2()分别代表两个折射率不同，在晶体的传播中各自独立的电场强度。例如，

在各项异性晶体中E1()，E2()分别表示o光和e光的电场强度。故(2-9)式可变为：

j1,22Ej()2[Ej()]02Pj(2)()2c (2-11)

(2)线性电光效应可以与二阶电极化率张量联系起来,应只包含二阶非线性极化强度，

忽略高阶的，其表达式为：

P(2)()20(2)(，0):E()E(0)20(2)(，0):E1(r)E(0)eik1r20(2)(，0):E2(r)E(0)eik2r （2-12）

0为真空中的介电常数，(2)(，0)为二阶极化率张量。

另外以方面又有：

dE(r)d2E(r)ikr[E(r)e][kE(r)2ik]e2drdr （2-13）

2ikr2在线性响应和介质无耗的情况下，偏振矢量和场振幅E(r)都是恒定的，与波通过介质时

所运行的距离r无关。而在非线性响应的情况下，即使介质是无耗的，偏振矢量和场复振幅也都是r的函数。然而，因为非线性激励项是作为对线性效应的一种微扰来处理的，因此我

2E(r)E(r)k2r，们可以认为电场复振幅因子E(r)是r的慢变化函数。于是考虑慢变振幅近似r由式(2-4)，(2-13)和

c2100，我们可以得到：

ik1eik1rE1(r)E2(r)ik2eik2rrr2c2(，0):E1(r)E(0)e(2)ik1r2c2(2)(，0):E2(r)E(0)eikr2 （2-14）

在忽略离散效应的情况下，我们记：

E1(r)E1(r)aE2(r)E2(r)bE(0)E0c (2-15)

我们分别用a、b来点乘方程（2-14），可得如下方程：

E1(r)22(2)ikr(2)ia(，0):bcE(r)Eeia(，0):acE1(r)E02022rk1ck1cE2(r)22(2)ikr(2)ib(，0):acE(r)Eeib(，0):bcE1(r)E01022rk2ck2c （2-16）

(2)(，0)是实数且满足全对称性排列，即有： kkk21其中，对于无损耗介质的，

a(2)(，0):bcb(2)(，0):ac （2-17）

设n1，n2分别为两光波E1，E2在介质中的折射率，有：

ck1n1k0n1k2n2k0n2c （2-18）

把(2-17)和(2-18)式代入方程组(2-16)，则该方程组变为：

E1(r)rik0na(2)(，0):bcEeikrik02(r)E0a(2)(，0):acE1(r)E01n1E2(r)kkri0na(2)(，0):bcE1(r)Eikr0ei0b(2)(，0):bcE2(r)E02n2 又有电光张量元

jkl

与二阶非线性极化率之间的关系：

(2)1jkl(，0)2(jjkk)jkl reff1、reff2、reff3为有效电光系数，其表达式为：

reff1(jjkk)(ajjklbkcl)j,k,lreff2(jjkk)(ajjklakcl)j,k,lreff3(jjkk)(bjjklbkcl)j,k,l2(2)jkl(，，0)jkljjkk

又得

2-19）

2-20）

2-21）

（ （ （

kkE1(r)i0reff1E0E2(r)eikri0reff2E0E1(r)r2n12n1kkE2(r)i0reff1E0E1(r)eikri0reff3E0E2(r)r2n22n2 （2-22）

我们再令

k0reffE02n1k0reffE02n2k0reff2E0，2n1k0reff3E0.2n2 （2-23）

d1d3d2d4于是经过（2-22）经过整理最终可得耦合波方程组如下

dE1(r)id1E2(r)eikrid2E1(r)drdE2(r)id3E1(r)eikrid4E2(r)dr （2-24）

2.2 线性电光效应耦合波理论的应用

在电光效应的应用问题上，主要存在两个问题：第一是在确定了直流电场的方向、入射光的传播方向以及电光张量元的情况下，如何得到出射光场的两个相互正交的偏振分量

E1()和E2()的表达式?这在上节的基本理论的介绍中已经详细的分析过了。第二是关于调

制深度的问题，即我们如何在一个给定的直流电场下达到最大的调制深度？对于这问题，可以应用线性电光效应的耦合波方程组的普遍解来解决。它在电光调制方面的应用，不单可以进行纵向和横向调制，而且还可以进行斜向调制。在解决问题的过程中可以看到，所有分析的关键是要算出有效电光系数

eff1，eff2，eff3。同之前的其他理论方法相比较，我们

的方法简单明了。不竞可以分析单轴晶体，对双轴晶体的问题也可以容易解决。现在我们

按k0和k0两种情况进行分析。

2.2.1 k0时的分析

对于强度调制，在以下两种情况中是k0的。

一、 光波沿单轴晶体的光轴传播时

k0有n1n2n0将n1n2n0带入式（2-21）、（2-23），经过整理得：

3k0n0E01d1[(2k1k)cksin26kckcos2]22kk3k0n0E0d2d4[(1k2k)ckcos226kcksin2]2kk （2-25）

当单轴晶体为422对称点群和4mm对称点群的晶体以及六角晶系的晶体时，6k0，

2，3)且1k2k(k1，，由式（2-25）则可算出d10，此种情况不适用于耦合波方程组，不

需要做进一步讨论。但对于6k不全为零的晶体，我们可以适当调节角，使d10，而

d2d40，此时可获得最大的调制深度。

(i)6kck0k，取/4时有d2d40，这种情况可以在32，3m，6m2的对称点群

的晶系中实现．

(ii)6kck0k，使

(tan22k1k)ck26kckk （2-26）

就有d2d40，就可以在42m，4，3，32，3m，6，6m2对称点群的晶体中

实现。

二、 光波在无中心反演对称性的立方晶体中传播时

43m和23对称点群的晶体就是属于没有中心反演对称性的立方晶体，它们的非零电光

系数之间的关系为

415263 （2-27）

同理，为了得到最大的振幅调制深度，必需找到d2d40时的d1的最大值。

运用方程(2-21)，(2-23)和（2-27）我们可以得到

3k0n0E0d1r63[c1(a2b3a3b2)c2(a3b1a1b3)c3(a1b2a2b1)]2 （2-28）

在aa1，bb1，cc1以及ab0的条件下，运用拉格朗日乘法我们可以在

d2d40的情况下得到d1的最大值。如果直流电场的方向是任意的，就会有无穷多组

（a,b,c）使得d1取到最大值；如果运用无限条件ca1或者cb1，就可得到最小的半波电压。

2.2.2 k0时的分析

当kdi时，即光波稍偏离光轴传播时，利用积分中值定理得电光效应耦合波方程组近似为

dE1(r)id2E1(r)drdE2(r)id4E2(r)dr （2-29）

方程组的解为

E1()E1(0)ei(k1d2)rE2()E2(0)ei(k2d4)r （2-30）

这与

reff10时所得结果相同。对于相位调制，我们可取E1(0)0，或E2(0)0,则有

E1()E1(0)ei(k1d2)rE2()0 （2-31）

或

E1()0E2()E2(0)ei(k2d4)r （2-32）

当kd1时，振幅调制的结果是根据方程（2-29）计算的，由于方程不包含d1，d3的项，所以对于电光强度调制，不需要考虑d1，d3的值。相位调制的结果是根据（2-31）或（2-32）计算的，同样不包含d1，d3的项，所以同样不需要考虑d1，d3。从方程（2-21）和

（2-23），我们可以得到

3k0n0E0d22(k1ksin22kcos226ksincos)ck （2-33）

d4k0E02n2(nk401k4cos2cos2n02kcos2sinne43ksin2222222n0ne4ksin2sinn0ne5ksin2cosn0ne6kcos2)ck （2-34）

如果是双轴晶体的情况，设量的单位矢量表示为

nx，ny，nz分别为晶体的三个主折射率，两个独立的偏振分

coscoscossinsinacossincoscossinsincos （2-35）

coscoscossinsinbcossincoscossinsincos （2-36）

这里

cos222nnnzycot2[x(2)]sin2cos2cos2sin222nznynxcossin(2) （2-37）

方程（2-21），（2-23）和（2-35），（2-37）可以被用来找出d2，d4的准确表达式。如

d2，d4的最大值以及d2d4的值就可以用简单的微分法表示果所有的电光张量元都给出了，

出来。