探索与表达规律
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.某校生物教师李老师在生物实验室做试验时,将水稻种子分组进行发芽试验:第1组取3粒,第2组取5粒,第3组取7粒„„即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒,按此规律,那么请你推测第n组应该有种子数 ( )
A.(2n+1)粒 B.(2n-1)粒 C.2n粒 D.(n+2)粒 2.一列数a1,a2,a3,„,其中a1=,an=( )
A. B. C.
D.
(n为不小于2的整数),则a4的值为
3.如图,第①个图形中一共有1个平行四边形,第②个图形中一共有5个平行四边形,第③个图形中一共有11个平行四边形,„„则第⑩个图形中平行四边形的个数是 ( )
A.54 B.110 C.19 D.109 二、填空题(每小题4分,共12分) 4.观察下列各式的计算过程: 5×5=0×1×100+25 15×15=1×2×100+25, 25×25=2×3×100+25, 35×35=3×4×100+25, „
试猜测,第n个算式(n为正整数)应表示为 .
5.下列图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的,如图所示,按此规律排列下去,第20个图形中有 个实心圆.
6.当n等于1,2,3,„时,由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示.则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于 (用n表示,n是正整数).
三、解答题(共26分)
- 1 -
7.(8分)从2开始,连续的偶数相加,和的情况如下: 2=2=1×2; 2+4=6=2×3; 2+4+6=12=3×4; 2+4+6+8=20=4×5; „
(1)请推测从2开始,n个连续偶数相加,和是多少? (2)取n=6,验证(1)的结论是否正确.
8.(8分)有规律排列的一列数:2,4,6,8,10,12,„
它的每一项可用式子2n(n是正整数)来表示.有规律排列的一列数:1,-2,3,-4,5,-6,7,-8,„ (1)它的每一项你认为可用怎样的式子来表示?
(2)它的第100个数是多少?
(3)2015是不是这列数中的数?如果是,是其中的第几个数?
【变式训练】把正整数从小到大依次排列成如下形式: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 „
观察规律,求出第10行的最后一个数和第20行的第一个数. 【培优训练】
9.(10分)观察下列等式: 12×231=132×21, 13×341=143×31, 23×352=253×32, 34×473=374×43, 62×286=682×26, „
以上每个等式中两边数字是分别对称的,且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律,我们称这类等式为“数字对称等式”.
- 2 -
(1)根据上述各式反映的规律填空,使式子称为“数字对称等式”: ①52× = ×25; ② ×396=693× .
(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,且2≤a+b≤9,写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含a,b且ab≠0).
课时提升作业(二十六) 探索与表达规律 (30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.某校生物教师李老师在生物实验室做试验时,将水稻种子分组进行发芽试验:第1组取3粒,第2组取5粒,第3组取7粒„„即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒,按此规律,那么请你推测第n组应该有种子数 ( )
A.(2n+1)粒 B.(2n-1)粒 C.2n粒 D.(n+2)粒
【解析】选A.由题意得取得种子数为3,5,7,„从3开始的奇数,故第n组应该有种子数为(2n+1)粒. 2.一列数a1,a2,a3,„,其中a1=,an=( )
A. B. C.【解析】选A.因为a1=,an=所以a2=
=,
D.
,
(n为不小于2的整数),则a4的值为
同理a3==,a4==.
3.如图,第①个图形中一共有1个平行四边形,第②个图形中一共有5个平行四边形,第③个图形中一共有11个平行四边形,„„则第⑩个图形中平行四边形的个数是 ( )
A.54 B.110 C.19 D.109
【解析】选D.第①个图形中有1个平行四边形;第②个图形中有1+4=5个平行四边形;第③个图形中有1+4+6=11个平行四边形;第④个图形中有1+4+6+8=19个平行四边形;„第n个图形中有1+2(2+3+4+„+n)个平行四边形;所以第⑩个图形中有1+2(2+3+4+5+6+7+8+9+10)=109个平行四边形. 二、填空题(每小题4分,共12分) 4.观察下列各式的计算过程: 5×5=0×1×100+25 15×15=1×2×100+25, 25×25=2×3×100+25, 35×35=3×4×100+25,
- 3 -
„
试猜测,第n个算式(n为正整数)应表示为 .
【解析】方法一:左边两个因数是相同的两个数,十位数字从0开始依次增加1,个数数字为5,故左边第n个算式表示为[10(n-1)+5]×[10(n-1)+5];等号右边为左边十位数字乘以比它大1的数字再乘以100,然后加上25,故表示为100n(n-1)+25,所以第n个算式表示为[10(n-1)+5]×[10(n-1)+5]=100n(n-1)+ 25.
方法二:左边的两个相同的因数分别看作是5×1,5×3,5×5„,故第n个是5(2n-1),等号右边为左边十位数字乘以比它大1的数字再乘以100,然后加上25,所以第n个算式表示为5(2n-1)×5(2n-1)=100n(n-1)+25.
答案:[10(n-1)+5]×[10(n-1)+5]=100n(n-1)+25(或5(2n-1)×5(2n-1)= 100n(n-1)+25)
5.下列图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的,如图所示,按此规律排列下去,第20个图形中有 个实心圆.
【解析】第(1)个图形中有4+2×0=4个实心圆;第(2)个图形中有4+2×1=6个实心圆;第(3)个图形中有4+2×2=8个实心圆;„第(n)个图形中有4+2×(n-1)=2n+2个实心圆,所以第20个图形中有2×20+2=42个实心圆. 答案:42
6.当n等于1,2,3,„时,由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示.则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于 (用n表示,n是正整数).
【解题指南】解答本题的三个步骤 1.观察图案的变化趋势.
2.从第1个图形进行分析,运用从特殊到一般的探索方式,找出黑白正方形个数增加的变化规律. 3.用含有n的代数式进行表示.
2
【解析】第1个图形中有1个白色小正方形和4×1个黑色小正方形;第2个图形中有2个白色小正方形和
22
4×2个黑色小正方形;第3个图形中有3个白色小正方形和4×3个黑色小正方形;„第n个图形中有n个白色小正方形和4n个黑色小正方形;因此第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于2
n+4n.
2
答案:n+4n
三、解答题(共26分)
7.(8分)从2开始,连续的偶数相加,和的情况如下: 2=2=1×2; 2+4=6=2×3; 2+4+6=12=3×4; 2+4+6+8=20=4×5;
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„
(1)请推测从2开始,n个连续偶数相加,和是多少? (2)取n=6,验证(1)的结论是否正确. 【解析】(1)由题中规律可得. n个连续偶数相加,
即2+4+6+8+„+2n=n×(n+1).
(2)当n=6时,2+4+6+8+10+12=42=6×(6+1), 所以(1)的结论正确.
8.(8分)有规律排列的一列数:2,4,6,8,10,12,„
它的每一项可用式子2n(n是正整数)来表示.有规律排列的一列数:1,-2,3,-4,5,-6,7,-8,„ (1)它的每一项你认为可用怎样的式子来表示? (2)它的第100个数是多少?
(3)2015是不是这列数中的数?如果是,是其中的第几个数?
n+1
【解析】(1)它的每一项可以用式子(-1)n(n是正整数)表示.
100+1
(2)它的第100个数是(-1)×100=-100.
2015+1
(3)当n=2015时,(-1)×2015=2015, 所以2015是其中的第2015个数.
【变式训练】把正整数从小到大依次排列成如下形式: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 „
观察规律,求出第10行的最后一个数和第20行的第一个数. 【解析】观察规律得第1行1个数,第2行2个数, 所以第10行为10个数,且为1+2+3+„+10=55. 第19行的最后一个数为:1+2+3+„+19=190, 则第20行的第一个数为191.
【培优训练】
9.(10分)观察下列等式: 12×231=132×21, 13×341=143×31, 23×352=253×32, 34×473=374×43, 62×286=682×26, „
以上每个等式中两边数字是分别对称的,且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律,我们称这类等式为“数字对称等式”.
(1)根据上述各式反映的规律填空,使式子称为“数字对称等式”: ①52× = ×25; ② ×396=693× .
(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a,个位数字为b,且2≤a+b≤9,写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含a,b且ab≠0). 【解析】(1)①因为5+2=7,
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所以左边的三位数是275,右边的三位数是572, 所以52×275=572×25. ②因为左边的三位数是396,
所以左边的两位数是63,右边的两位数是36, 63×396=693×36.
(2)因为左边两位数的十位数字为a,个位数字为b, 所以左边的两位数是10a+b,三位数是100b+10(a+b)+a, 右边的两位数是10b+a,三位数是100a+10(a+b)+b,
所以一般规律的式子为:(10a+b)×[100b+10(a+b)+a]=[100a+10(a+b)+b]×(10b+a).
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