高中数学-求函数解析式的六种常用方法

一、换元法

已知复合函数f [g（x）]的解析式，求原函数f（x）的解析式.令g（x）= t ，求f（t）的解析式，再把t换为x即可.

x211x1例1 已知f（）= ，求f（x）的解析式.

x2xxx11解： 设= t ，则 x= （t≠1），

xt112()112∴f（t）= t1= 1+(t1) +（t－1）= t2－t+1

121()t1t1故 f（x）=x2－x+1 （x≠1）.

评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域.

二、配凑法

例2 已知f（x+1）= x+2x，求f（x）的解析式.

22解： f（x+1）= (x)+2x+1－1=(x1)－1，

2∴ f（x+1）= (x1)－1 （x+1≥1），将x+1视为自变量x，

则有

f（x）= x2－1 （x≥1）.

评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错.

三、待定系数法

例3 已知二次函数f（x）满足f（0）=0，f（x+1）= f（x）+2x+8，求f（x）的解析式.

解：设二次函数f（x）= ax2+bx+c，则 f（0）= c= 0 ① f（x+1）= a(x1)+b（x+1）= ax2+（2a+b）x+a+b ②

2由f（x+1）= f（x）+2x+8 与①、② 得

2abb2 解得 ab8a1, 故f（x）= x2+7x. b7.评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.

四、消去法

例4 设函数f（x）满足f（x）+2 f（

1）= x （x≠0），求f（x）函数解析式. x11分析：欲求f（x），必须消去已知中的f（），若用去代替已知中x，便可

xx解：∵ f（x）+2 f（

得到另一个方程，联立方程组求解即可.

1）= x （x≠0） ① x111由代入得 2f（x）+f（）=（x≠0） ② xxxx2解 ①② 构成的方程组，得 f（x）=－ （x≠0）.

3x3五、特殊值法

例5 设是定义在R上的函数，且满足f（0）=1，并且对任意的实数x，y， 有f（x－y）= f（x）－ y（2x－y+1），求f（x）函数解析式.

分析：要f（0）=1，x，y是任意的实数及f（x－y）= f（x）－ y（2x－y+1），得到f（x）函数解析式，只有令x = y.

解： 令x = y ，由f（x－y）= f（x）－ y（2x－y+1） 得 f（0）= f（x）－ x（2x－x+1），整理得 f（x）= x2+x+1.

六、对称性法

即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式.

例6 已知是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x－x2，求f（x）函数解析式.

解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数， ∴y=f（x）的图象关于原点对称. 当x≥0时，f（x）=2x－x2的顶点（1，1），它关于原点对称点（－1，—1），

2x≥0， 2xx2因此当x<0时，y=(x1)－1= x2 +2x.故 f（x）=2 ＜0. x

x2x评注: 对于一些函数图象对称性问题,如果能结合图形来解,就会使问题简单化.