第11章《全等三角形》
一、命题与定理
1、定义：一般地，能明确指出概念含义或特征的句子，称为定义。例如：
（1） 有一个角是直角的三角形，叫做直角三角形．
（2） 有六条边的多边形，叫做六边形．
2、判断一件事情的语句叫做命题．正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。如：
（1） 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；（真命题）
（2） 三角形的内角和是180°；（真命题）
（3） 同位角相等；（假命题）
（4） 平行四边形的对角线相等；（假命题）
（5） 菱形的对角线相互垂直（真命题）
3、把一个命题改写成“如果……那么……”的形式．其中，用“如果”开始的部分是
题设，用“那么”开始的部分是结论．
4、从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断是正确的命题，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．
二、全等三角形
1、全等三角形的概念及其性质
1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 。
2）.全等三角形性质：
（1） 对应边相等 （2）对应角相等（3）周长相等 （4）面积相等
【全等三角形题型归纳】
（1）、已知三角形全等，找出等量关系（包括相等的边、角和三角形）或者求某个角、边
例1.已知如图（1）， ≌ ,其中的对应边:____与____,____与____,____与____,
对应角:______与_______,______与_______,______与_______.
例2.如图（2），若 ≌ .指出这两个全等三角形的对应边；
若 ≌ ,指出这两个三角形的对应角。
（图1） （图2） （ 图3）
例3．如图（3）, ≌ ，BC的延长线交DA于F，交DE于G, , ,求 、 的度数.
（2）.观察图形，找出全等的三角形
2.全等三角形的判定方法
三角形全等得判定方法（SSS、SAS、AAS、ASA、HL）
一般情况下，证明一个几何中的命题有以下步骤：
（1）读题：明确命题中的已知和求证；
（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
（3）要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中
（4）、分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。有公共边的，公共边一定是对应边， 有公共角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对应角
（5）、先证明缺少的条件
（6）、证明两个三角形全等
（要符合书写步骤：先写在某两个三角形中、然后写条件，再写结论）
三角形全等的证题思路：
1）、两边和夹角对应相等的两个三角形全等（ SAS ）
例1．已知：如图，在 中，BE、CF分别是AC、AB两条边上的高，在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG。
求证：AG=AD.
例2.如图,AD与BC相交于O,OC=OD,OA=OB,求证：
例3.如图，在 中,AB=AC, ,点D为BC上任一点，DF AB于F，DE AC于E，M是BC中点，试判断 是什么形状的三角形，并证明你的结论.
例4.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，延长CB至E，使EB=AD，连接AE。
求证：AE=AC。
例5.如图，C为AB上一点， 、 是等边三角形.直线AN、MC交于点E，直线BM、
CN交于点F .
(1) 求证：AN=BM。
(2) 求证： 是等边三角形
(3) 将 ACM绕点C逆时针方向旋转90 ,其他条件不变，在右图中补出符合要求的图形
并判断(1)、（2）两小题结论是否仍然成立(不要求证明)
例6.如图，在 中，ＡＢ＝ＡＣ， 。Ｏ是ＢＣ中点.
(1) 写出点O到 的三个顶点A、B、C的距离关系.
(2) 如果点M、N分别在AB、AC上移动，在移动中保持AN=BM，请判断 的形状，并证明你的结论.
例7.如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG。
(1)观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论。
(2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？如果存在，请你说明旋转过程；如果不存在，请说明理由。
2）、两角和夹边对应相等的两个三角形全等 ( ASA )
例1.如图,AD是 的平分线，M是BC中点，FM//AD，交AB于E。
求证：BE=CF。
例2.如图，梯形ABCD中，AB//CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于F
（1） 求证： ≌
（2） 若BC AB,BC=10,AB=12,求AF.
例3.如图，在矩形ABCD中，F是BC上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G,DE AG于E，且DE=DC.根据以上条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论.
3）、两角和夹边对应相等的两个三角形全等 ( AAS )
例1.如图，在 中, , ,分别以AB、AC为边在 的外侧作正三角形ABE与正三角形ACD。DE与AB交于F。求证:EF=FD。
例2.如图，在 中，AB=AC，D、E分别在BC、AC边上。且 ,AD=DE
求证： ≌ .
例3.如图，在 中，延长BC到D，延长AC到E，AD与BE交于F，∠ABC=45˚，试将下列假设中的两个作为题设，另一个作为结论组成一个正确的命题,并加以证明。
（1）AD⊥BD, （2）AE⊥BF （3）AC=BF.
4）、三边对应相等的两个三角形全等 ( SSS )
例1.如图，AB=AC,BE和CD相交于P，PB=PC,求证：PD=PE.
例2．如图，在 中, ，D、E分别为AC、AB上的点，且AD=BD,AE=BC,DE=DC.求证：DE⊥AB。
例4. 如图，在 中,M在BC上，D在AM上，AB=AC , DB=DC 。
求证：MB=MC
5）、一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等 ( H L )
例1.如图，在 中, ，沿过点B的一条直线BE
折叠 ，使点C恰好落在AB变的中点D处，则∠A的度
数= 。
例2.如图， ，M是BC中点，DM平分 。求证：AM平分
例3.如图，AD为 的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且BF=AC,FD=CD.
求证：BE⊥AC
例4.如图，在 中,∠ACB=90˚,D是AC上一点，AE⊥BD，交BD的延长线于点E，又AE= BD，求证：BD是∠ABC的平分线。
三、尺规作图
作图内容在本章中是分散安排的，小结时应注意复习本章中涉及的下面几种作图：
（1）已知三边作三角形； （2）作一个角等于已知角；
（3）已知两边和它们的夹角作三角形； （4）已知两角和它们的夹边作三角形；
（5）已知斜边和一条直角边作直角三角形； （6）作已知角的平分线
1、尺规作图是指限定用无刻度的直尺和圆规作为工具的作图。
2、尺规作图举例
例1．（06长沙）如图，已知 和射线 ，用尺规作图法作 （要求保留作图痕迹）．
例2(06 南通）已知： （如图）．
求作： 的外接圆（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出作法，不要求证明）．
例3.（06 韶关）尺规作图：已知直线 和 外一点 ，求作 ，使 与直线 相切．（保留作图痕迹，不必写作 法和证明）
例4.如图，已知 。（1） 边的垂直平分线（2）作AC上的高（3）作 的平分线（不写作法，保留作图痕迹）．
例5. （05 四川）如图，内宜高速公路 和自雅路 在我市相交于点 ，在 内部有五宝和正紫两个镇 ，若要修一个大型农贸市场 ，使 到 的距离相等，且使 ，用尺规作出市场 的位置（不写作法，保留作图痕迹）．
四、逆命题与逆定理
1、原命题和逆命题的关系：每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，使可得到原命题的逆命题。例如：
条件 结论
原命题：两直线平行，同位角相等。
逆命题：同位角相等，两直线平行。
2．定理、逆定理
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。例如：
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 （1）
勾股定理的逆命题：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么
这个三角形是直角三角形。（真命题） （2）
∴（1）与（2）互为逆定理
例1.（05 桂林）下列命题中，真命题是（ ）
Ａ．一组对边平行且有一组邻边相等的四边形是平行四边形
Ｂ．顺次连结四边形各边中点所得到的四边形是矩形
Ｃ．等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形
Ｄ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
例2.（05 包头）已知下列命题
① 半圆是弧 ②若 ，则 ③若 ，则
② ④垂直于弦的直径平分这条弦
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个
例3.（05 常德）某超级市场失窃，大量的商品在夜间被罪犯用汽车运走．三个嫌疑犯被警察局传讯，警察局已经掌握了以下事实：(1)罪犯不在A，B，C三人之外；(2)C作
案时总得有A作从犯；(3)B不会开车．在此案中能肯定的作案对象是（ ）
A．嫌疑犯A B．嫌疑犯B C．嫌疑犯C D．嫌疑犯A和C
3．.等腰三角形的判定
1）。等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么，这个三角形是等腰三角形。（简单地说：“等角对等边”）
2）。勾股定理的逆定理：如果一个三角形的一边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形是等边三角形。
例1．（2006 湖南常德）如图7， 是等边三角形 内的一点，连结 ，以 为边作 ，且 ，连结 ．
（1）观察并猜想 与 之间的大小关系，并证明你的结论．（4分）
（2）若 ，连结 ，试判断 的形状，
并说明理由．（4分）
例2.（2006 江阴）如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAD=20°,且AE=AD,则∠CDE= 。
例3.（2006 眉山）如图在6×6的网格（小正方形的边长为1）中有一个△ABC，则△ABC的周长是 。
例3．请作一条直线，将下面的三角形分成两个三角形，是每个三角形都是
等腰三角形，并标出相关的数据。
4．角平分线、线段的垂直平分
1)。角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
逆定理： 到一个叫两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
2）。垂直平分线定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。
逆定理：到一条线段两端点的距离相等的点，在线段的垂直平分线上。
例1．（2006 芜湖课改）如图，在 中， ，
平分 ， ，那么 点
到直线 的距离是 cm．
例2. 如图，在△ABC中，BC=8cm, AB的垂直平分线交AB于点D，
交AC于点E, △BCE的周长等于18cm, 则AC的长等于（ ）
(A) 6cm (B) 8cm
(C)10cm (D) 12cm
例3. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°, ∠CAB=30°, 用圆规和直尺作图，用两种方法把它分成两个三角形，且其中一个是等腰三角形.（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）.
例4.如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°, BD平分∠ABC, 交AC于D.
(1) 若∠BAC=30°, 则AD与BD之间有何数量关系，说明你的理由;
(2) 若AP平分∠BAC，交BD于P, 求∠BPA的度数.
例5.如图，△ABC中，AB与AC的垂直平分线相交于F,且分别交AB于D，交AC于E。
求证：BF=FC.
例6.如图，过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AM∥BN,按下列要求画图并回答：
（1）画∠MAB、∠NBA的平分线交于E,∠AEB是什么角？
（2）过点E作一直线交AM于D，交BN于C，观察线段DE、CE，你有何发现？
（3）无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，AD+BC的值是否有变化？并说明理由。
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