(完整版)全等三角形知识点总结

一、知识网络

（一）、基本概念

即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。2、全等三角形的性质

（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；3、全等三角形的判定方法

（1）三边对应相等的两个三角形全等。

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、角平分线的性质及判定

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

1

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；

二、基础知识梳理

作图 角平分线性质与判定定理 对应角相等性质对应边相等边边边 SSS全等形全等三角形应用边角边 SAS判定角边角 ASA角角边 AASL斜边、直角边 H 全等三角形 知识梳理

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（二）灵活运用定理

1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。（1）已知条件中有两角对应相等，可找：

①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS)（2）已知条件中有两边对应相等，可找

①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找

①任一组角相等(AAS 或 ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：

高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）；

2.回顾三角形判定公理，搞清还需要什么；3.正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题）。常见考法

（2）利用判定公理来证明两个三角形全等；

（3）题目开放性问题，补全条件，使两个三角形全等。

误区提醒 （1）忽略题目中的隐含条件； （2）不能正确使用判定公理。

2

（1）利用全等三角形的性质：①证明线段（或角）相等；②证明两条线段的和差等于另一条线段；③证明面积相等；

1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、

2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上

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一、基本概念

1.轴对称图形

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.

2.线段的垂直平分线

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线3.轴对称变换

由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.4.等腰三角形

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

5.等边三角形

三条边都相等的三角形叫做等边三角形.二、主要性质

1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

2.线段垂直平分钱的性质

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

3.（1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P′（x，-y）.（2）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为P″（-x，y）.4.等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.

（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.

（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等.（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.5.等边三角形的性质

（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.（2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.

（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.三、有关判定

1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

2.一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.

3

轴对称知识梳理

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2.如图，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若CDE48°，则APD等于（ ）

A．BCBDB．ACAD C．ACBADBD．CABDABA．42° B．48° C ．52° D．58°CB

A

ir b

③B3.如图（四），点P是AB上任意一点，ABCABD，还应补充一个条件，才能推出△≌△APCAPD．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出△≌△APCAPD的是（ ）

①④①ABDE，，BCEFACDF；②ABDE，，BEBCEF；③BE，，BCEFCF；④ABDE，，ACDFBE．其中，能使△≌△ABCDEF的条件共有（ ）A．1组B．2组C．3组D．4组

thend(A)∠B=∠E,BC=EF（B）BC=EF，AC=DF (C)∠A=∠D，∠B=∠E（D）∠A=∠D，BC=EF

5．如图，△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，若AC = 10cm，则△DBE的周长等于( )

A．10cm B．8cm C．6cm D．9cm

6． 如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）

Ａ．1处Ｂ．2处Ｃ．3处Ｄ．4处

② All things4.如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是( )

in CDe aAE imPD

图（四）

4

3.三个角都相等的三角形是等边三角形.4.一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.一、选择题

1．如图，给出下列四组条件：

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8．如图，在Rt△ABC中，B90

，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交

于点E．已知BAE10，则C的度数为（ A．30 9．如图，△≌△ACB）

ACB，BCB=30°，则ACA的度数为（ ）

A．AB垂直平分CD C．AB与CD互相垂直平分

A

B．CD垂直平分ABD．CD平分∠ACB

ir A．20° B．30°C．35° 10．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ）

D．40°

AB．40

 C．50

D．60 BCA A7．某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，

那

么最省事的方法是（ ）

A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②③去

theDB

in BECBCA．PAPB B．PO平分APBC．OAOB D．AB垂直平分OP14.如图，已知ABAD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△≌△ABCADC的是（ ）A．CBCD　　　　　　　 B．∠∠BACDACe and13．如图，OP平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（ ）

AA．SAS B．ASA C．AAS　　D．SSS

12.如图, ∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为( )

A. 5cm B. 3cm C. 2cm D. 不能确定

ll thin1OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，

2作射线OP，由作法得△≌△OCPODP的根据是（ ）

gs11．尺规作图作AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、

DA

B

CD BC

5

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AA

P）B

O第1个

D第2个第3个

C．4n4D．4nDCD

ABgsB

EDC in AOE5.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有 个 ．

nd第1个 All thin第2个the3.如图，BACABD，请你添加一个条件： ，使OCOD（只添一个即可）．

4.如图，在ΔABC中，∠C=90°∠ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，则点D到直线AB的距离是__________厘米。

CBir bA6.已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝________度.7如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.

以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有_______________________（把你认为正确的序号都填上）。

6

e aein1.如图，已知ABAD，BAEDAC，要使 △ABC≌△ADE，可补充的条件是 （写出一个即可）．

2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB于E,且AB=5cm,则△DEB的周长为 ________

g a第3个A．2n2二、填空题

B．4n4re gDB……

ooACPn个图形中三角形的个数是（ 15.观察下列图形，则第BOCd fC．∠∠BCADCAD．∠∠BD90 天行健 君子以自强不息

的条件是________.

O

BOQEDAD

CACB D re gADOB三、解答题ABP1.如图，已知AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE.E

3.如图，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC, BC、DE交于点O.求证：(1) △ABC≌△AED； (2) OB＝OE .

2.如图，在△ABC中，ABAC，°BAC40，分别以AB，AC为边作两个等腰直角三角形ABD和ACE，使BADCAE90°．（1）求DBC的度数；（2）求证：BDCE．

ooE CCE 4.如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．

A D

B

5.如图，在△ABC和△DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点M．

（1）求证：△ABC≌△DCB ；（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN

A MD7

B d fECC8.如图所示，AB = AD，∠1 = ∠2，添加一个适当的条件，使△ABC ≌ △ADE，则需要添加

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12OD

6.（如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，12，34．求证：（1）△≌△ABCADC；（2）BODO．BA

③12．请选择其中两个论断为条件，另一个论断为结论，构造一个命题．（1）写出所有的真命题（写成“

 ”形式，用序号表示）：

．

7．如图，在△ABC和△ABD中，现给出如下三个论断：

①ADBC；②CD；

Ｃ1

（2）请选择一个真命题加以证明．　 你选择的真命题是：证明：

 ．Ａ 8.已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，AB＝DC，BE＝CF，∠B＝∠C．求证：OA＝OD．

9．如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，

A延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．

D B 34

C

交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．

Ｄ2

ＢFBD的

E8

C天行健 君子以自强不息

写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明．

B

EF

DADAEAB10.如图，ABAC,ADBC于点，，平分交于点DAEDEA　 11．（7分）已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，（1）求证：△AED≌△EBC．

（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：

A D

EO 12．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD，ME=MF

（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立

B F，请你

郜CDC9

求证：BD=2CE．

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for 请给予证明；若不成立请说明理由．

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