第七讲 旋转体的计算

分别以矩形、直角三角形、直角梯形的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台（下图）．

旋转轴叫做它们的轴，在轴上这条边的长度叫做它们的高，垂直于轴的边旋转而形成的圆面叫做它们的底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做它们的侧面，这条边无论旋转到什么位置，都叫做旋转体的母线．

圆柱的侧面展开后是个矩形，它的宽是圆柱的母线，长是圆柱底面的周长．由此可得

l S圆柱侧2r

其中l是圆柱侧面的母线长，r是底面半径（下左图）。

圆锥的侧面展开图是一个扇形，如上右图这个扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥底面的周长，于是可得

杭州E度论坛 hz.eduu.com S圆锥侧Clrl

其中l是圆锥侧面的母线，C是圆锥底面的周长，r是圆锥底面的半径。

圆台是用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥而得到的，所以圆台的侧面展开图是两个扇形的差，常叫扇环形．这个扇环形的宽是圆台侧面的母线，外弧长和内弧长分别是圆台的下底面和上底面的周长，于是可得

S圆台侧(C上C下)l(r上r下)l

C下 分别是圆台上底和下底周长， 其中l是圆台侧面母线长， C上、

1212r上、 r下分别是圆台上底和下底的半径（如下图）．

圆柱的体积等于它的底面积S与高h的乘积，即

2r，其中h V圆柱Shr为圆柱底面的半径．

圆锥的体积等于它的底面积S与高h的积的三分之一， 即 V圆锥Shr2h，其中r为圆锥底面半径。 圆台的体积是：

22 V圆台h(r上r下r上r下)

131313 其中，r上、r下分别是上底和下底的半径．

例1 甲、乙两个圆柱形水桶，容积一样大，甲桶底圆半径是乙

桶的1.5倍，乙桶比甲桶高25厘米，求甲、乙两桶的高度。

杭州E度论坛 hz.eduu.com 分析与解答 如下图．

由题意，设乙桶半径为r，则甲桶半径为1.5r； 甲桶高度为h，则乙桶高度为h＋25， 则π（1.5r）2h＝πr2（h＋25）， 2.25r2h＝r2（h＋25）， 2.25h＝h＋25，

∴h＝20（厘米），h＋25＝45（厘米）． 答：甲桶高度为20厘米，乙桶高度为45厘米．

例2 一块正方形薄铁板的边长是22厘米，以它的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形，用这块扇形铁板围成一个圆锥筒，求它的容积（结果取整数部分）．

解：如下图

14

扇形弧长=×2×22=11厘米，因此所作的圆锥筒底的周长=2r=11，解得r=5.5厘米。

因为母线长是22厘米，所以圆锥的高

杭州E度论坛 hz.eduu.com h2225.5221.3厘米

V圆锥5.5221.3674（立方厘米） 答：所求圆锥筒的容积约为674立方厘米．

例3 在仓库一角有一堆谷，呈圆锥形（如下图），量得底面弧长为2米，圆锥的高为1米，这堆谷重约多少公斤（谷的比重是每立方米重720公斤，结果取整数部分）？

1413

1 解：因为底面弧长为2米，所以×2r=2

4 求得r=（米），因此，谷堆的体积为：

41341 谷子的重量为720×≈306（公斤）

34 V()21（立方米）

11434 答：这堆谷子重约306公斤。

例4 有一个倒圆锥形的容器，它的底面半径是5厘米，高是10厘米。容器内放着一些石子，石子的体积为

196立方厘米。在容器3内倒满水后，再把石子全部拿出来，求此时容器内水面的高度。

解：如上图，设石子取出后，容器内水面高度为x厘米，则倒圆锥容器的容积等于水的体积加上石子的体积，根据体积公式有：

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1x1961××52×10=×（）2×x＋ 3233x=6

答：石子取出后，容器内水面的高为6厘米．

例5 有一草垛，如下图，上部是圆锥形，下部是圆台形，圆锥的高为0.7米，底面圆周长为6.28米；圆台的高为1.5米，下底面周长为4.71米。如果每立方米草约重150公斤，求这垛草的重量（结果取整数部分）．

分析与解答 圆锥的底面半径：r=

圆锥的体积：

6.28=1（米） 2 V圆锥r2120.7圆台的下底半径： r下4.713（米） 24131370.73（立方米） 30圆台上底半径： r上r1（米）

圆台高：

32122则V圆台h(r上r下r上r下)

31333 =[12()21]

3244 h=米

杭州E度论坛 hz.eduu.com =

37≈3.63（立方米） 32 ∴草垛体积为：

V圆锥V圆台=0.73＋3.63=4.36（立方米）， 故草垛的重量为：150×4.36＝654（公斤）． 答：草垛约重654公斤．

例6 如下右图，在长为35厘米的圆筒形管子的横截面上，最长直线段为20厘米，求这个管子的体积．

分析 如上左图，AB是截面圆环的最长直线段，O是截面圆环的圆心．过O作AB的垂线，垂足是C，以 O为圆心，以OC为半径作圆，即管截面的内圆周．连结AO，根据勾股定理有：AO2＝AC2＋CO2，

∴AO2－OC2＝AC2，同理AO2－OC2＝BC2， ∴S圆环＝π·AO2－π·OC2＝π·（AO2－OC2） =×AC2=×（

AB2

）2解：先求出管子横截面的圆环面积为：

×（

202

）=100（平方厘米） 2 则管子的体积为：

22hr内径h=圆环面积×h r外径 =100×35

杭州E度论坛 hz.eduu.com =3500（立方厘米）

答：这个管子的体积为3500立方厘米．

例7 一个长方形的长为16厘米，宽为12厘米．以它的一条对角线为轴旋转此长方体，得到一个旋转体．求这个旋转体的体积．（结果中保留，即不用近似值代替） 分析与解答 如下图，

记这个长方形为ABCD，对角线AC的中点为O．过O作EF垂直于AC，分别交 BC、 AD于 E、 F．由对称性知道： EO＝OF．

设P为AO上的任一点，过P作AO的垂线，分别交折线ABE和线段 AF于 M和N，那么 MP＞PN．

因此，四边形ABEF绕AC旋转得到的立体即为四边形ABEO绕AC旋转得到的立体．同样，四边形CDFE绕AC旋转得到的立体即为四边形CDFO绕AC旋转得到的立体．并且，由于对称性，四边形ABEO与CDFO是完全一样的，因此由它们绕AC旋转得到的立体也是完全一样的．这样，这两个立体的体积相等．所以，长方形

杭州E度论坛 hz.eduu.com ABCD绕AC旋转得到的立体的体积等于四边形ABEO绕AC旋转得到的立体的体积的两倍．

记由长方体ABCD绕AC旋转得到的立体为W，由四边形ABEO绕AC旋转得到的立体为U，由△ABB'（B'在AO上，BB'垂直于AO）、四边形BEOB'绕AC旋转得到的立体分别记为U1、U2．显然，U1与U2有一条公共的边界（由BB'旋转而成的圆），且U1与U2合成U． 因此VW＝2VU＝2（VU1＋VU2）．

由AB＝12厘米，BC＝16厘米及勾股弦定理得： AC=20厘米，所以AO=CO=AC=10厘米 再由SABCABBCACBB'得： BB'＝9.6厘米．

在直角三角形ABB'中再用勾股弦定理，得

AB'＝7.2厘米，所以B'O＝AO－AB'＝2.8厘米．

U1是一个圆锥，底面半径BB'＝9.6厘米，高AB'＝7.2厘米，所以：

VU9.627.2（立方厘米）

112121213 U2是一个圆台，它是大、小两个圆锥的差，大圆锥以 BB'为底面半径，CB'为高，小圆锥以EO为底面半径，CO为高，容易知道 CB'＝CO＋OB'＝12.8厘米，

由EO：OC＝AB：BC可以求出EO＝7.5厘米． 因此

VU(9.6212.87.5210)（立方厘米）

21313杭州E度论坛 hz.eduu.com 所以

VW=2×[9.627.29.6212.87.5210] ＝853.8（立方厘米）

答：所求的旋转体体积为853.8π立方厘米。

131313杭州E度论坛 hz.eduu.com 习题七

一、填空题：

1．一个圆柱体的侧面积是m平方厘米，底面半径是2厘米，它的体积是___立方厘米．

2．一个圆锥的母线长为8厘米，底面直径为12厘米，那么这个圆锥的侧面积等于____平方厘米．

3．圆台的上、下底面半径分别为2厘米和5厘米，母线长为4厘米，那么这个圆台的表面积等于____．

4．用半径为2厘米的半圆形铁皮卷成的圆锥形容器，则它的底面半径为____厘米，容积是____立方厘米．

5．一个圆锥的高是10厘米，侧面展开图是半圆，那么圆锥的侧面积等于____． 二、选择题：

1．一个圆柱体高80厘米，侧面积为1.5平方米，它的全面积是____（精确到0.01平方米）．

（A）1.78平方米 （B）2.06平方米 （C）3.74平方米 （D）5.25平方米

2．圆锥的侧面积为427.2平方厘米，母线长为17厘米，那么圆锥的高是___（精确到0.01厘米）． （A） 5.75厘米 （B）15厘米 （C） 16.52厘米 （D）5.25厘米

3．圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这

杭州E度论坛 hz.eduu.com 个圆柱的侧面积是___． （A）4πS （B）2πS （C）S （D）23S 3 4．母线和底面直径相等的圆锥叫做等边圆锥，一个等边圆锥的底面半径是5厘米，那么它的侧面积是_______． （A） 25平方厘米 （B） 50π平方厘米 （C） 100π平方厘米 （D） 250π平方厘米

5．把一个底面半径是1厘米的圆柱体侧面展开，得到一个正方形，这个圆柱体的体积是立方厘米（取r＝3.14）． （A） 1 （B） 3.14 （C） 3.14×3.14 （D） 3.14×6.28

6．长、宽分别为6寸、4寸的长方形铁片，把它围成一个圆桶，另加一个底，形成圆柱形的杯子，这个杯子的最大容积是____． （A）

24 （B）

36 （C）

46 （D）

144

三、解答题：

1．一个底面直径是20厘米的圆柱形容器中装着水，水中放置一个底面半径是9厘米、高20厘米的铁质圆锥体，当圆锥从桶中取出后，桶内的水将下降多少厘米？

2．在一只底面半径为20厘米的圆柱形小桶里，有一半径为10厘米的圆柱形钢材浸在水中．当钢材从桶里取出后，桶里的水下降了3厘米．求这段钢材的长．

3．有A、B两个容器，如下页图，先将A容器注满水，然后倒

杭州E度论坛 hz.eduu.com 入B容器，求B容器的水深。（单位：厘米）

4．从一个底面半径为3厘米，高为4厘米的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到一个如下图的几何体．求这个几何体的表面积和体积．

5．圆锥形烟囱帽的底的半径是40厘米，高是30厘米，计算它的侧面面积。若烟囱表面要涂油漆，已知每平方米需要油漆150克，问需油漆多少克？

6．一个圆台的母线长为25厘米，而两个底面半径之比为1：3，已知圆台的侧面积等于1000平方厘米，求这个圆台的全面积． 7．把一条导线以螺旋状绕在圆柱管上，绕成十圈，圆柱管的外圆周长4厘米，导线的两端点位于圆柱的同一条母线上，每线长（两端点之间的距离）为9厘米．试求导线的长度．

8．在长为1米的圆筒形管子的横截面上，最长直线段为12厘米，求此管子的体积．

9．如下页图，长方形纸片ABCD中，AB＝3厘米，BC＝4厘米。 ①如果以BC为底边，折成一个底面为正方形的长方体，加盖

杭州E度论坛 hz.eduu.com 后其体积为V1；如果以AB为底边，同样折成一个长方体，其体积为V22，求V1∶V2；

②如果以 BC为底边，把纸卷成一个圆柱，其体积为V3；如果以 AB为底边，把纸片卷成一个圆柱，其体积为V4，求V3∶V4（取． ＝3.14）

③这四个不同形状的形体，加盖后其表面积之比又分别是多少（即求S1∶S2和S3∶S4）？

10．一个几何体如下图，求它的表面积。