⼀元⼆次⽅程测试题(时间120分钟满分150分)⼀、填空题:(每题2分共50分)
1.⼀元⼆次⽅程(1-3x)(x+3)=2x2+1 化为⼀般形式为:,⼆次项系数为:,⼀次项系数为:,常数项为:。2.若m是⽅程x2+x-1=0的⼀个根,试求代数式m3+2m2+2013的值为。3.⽅程
是关于x的⼀元⼆次⽅程,则m的值为。4.关于x的⼀元⼆次⽅程
的⼀个根为0,则a的值为。5.若代数式
与
的值互为相反数,则的值是。6.已知
的值为2,则
的值为。7.若⽅程
是关于x的⼀元⼆次⽅程,则m的取值范围是。8.已知关于x的⼀元⼆次⽅程
的系数满⾜
,则此⽅程必有⼀根为。
9.已知关于x的⼀元⼆次⽅程x2+bx+b﹣1=0有两个相等的实数根,则b的值是。10.设x1,x2是⽅程x2﹣x﹣2013=0的两实数根,则
= 。
11.已知x=﹣2是⽅程x2+mx﹣6=0的⼀个根,则⽅程的另⼀个根是。12.若
,且⼀元⼆次⽅程kx2+ax+b=0有两个实数根,则k的取值范围是。
13.设m、n是⼀元⼆次⽅程x2+3x-7=0的两个根,则m2+4m+n=。
14.⼀元⼆次⽅程(a+1)x2-ax+a2-1=0的⼀个根为0,则a= 。15.若关于x的⽅程x2+(a﹣1)x+a2=0的两根互为倒数,则a= 。16.关于x的两个⽅程x2﹣x﹣2=0与
有⼀个解相同,则a= 。
17.已知关于x的⽅程x2﹣(a+b)x+ab﹣1=0,x1、x2是此⽅程的两个实数根,现给出三个结论:①x1≠x2;②x1x2<ab;③
.则正确结论的序号是.(填上你认为正确结论的所有序号)18.a是⼆次项系数,b是⼀次项系数,c是常数项,且满⾜
+(b-2)2+|a+b+c|=0,满⾜条件的⼀元⼆次⽅程是。
19.巳知a、b是⼀元⼆次⽅程x2-2x-1=0的两个实数根,则代数式(a-b)(a+b-2)+ab的值等于____.20.已知关于x的⽅程x2+(2k+1)x+k2-2=0的两实根的平⽅和等于11,则k的值为.21.已知分式
,当x=2时,分式⽆意义,则a= ;当a<6时,使分式⽆意义的x的值共有个.22.设x1、x2是⼀元⼆次⽅程x2+5x﹣3=0的两个实根,且
,则a= 。23. ⽅程
的较⼤根为r,⽅程
的较⼩根为s,则s-r的值为。24. 若
。25. 已知
是⽅程
的两个根,
是⽅程
的两个根,则m的值为。⼆、选择题:(每题3分共42分)1、关于
的⼀元⼆次⽅程
的⼀个根是
,则
的值为()A.
B.
C.
或
D.
2、关于x2=-2的说法,正确的是()
A.由于x2≥0,故x2不可能等于-2,因此这不是⼀个⽅程B.x2=-2是⼀个⽅程,但它没有⼀次项,因此不是⼀元⼆次⽅程C.x2=-2是⼀个⼀元⼆次⽅程
D.x2=-2是⼀个⼀元⼆次⽅程,但不能解3、若
是关于
的⼀元⼆次⽅程,则不等式
的解集是()A.
B.
C.
且
D.
4、关于x的⽅程ax2-(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根x1、x2,且有x1-x1x2+x2=1-a,则a的值是()A、1B、-1C、1或-1D、2
5、下列⽅程是⼀元⼆次⽅程的是_______。(1)x2+
-5=0 (2)x2-3xy+7=0 (3)x+
=4
(4)m3-2m+3=0 (5)
x2-5=0 (6)ax2-bx=4
6、已知α,β是关于x的⼀元⼆次⽅程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,且满⾜
+
=﹣1,则m的值是()A、3或﹣1
B、3C、1D、﹣3或1
7、若⼀元⼆次⽅程式x2-2x-3599=0的两根为a、b,且a>b,则2a-b之值为()A.-57 B.63 C.179 D.181
8、若x1,x2(x1<x2)是⽅程(x-a)(x-b)=1(a<b)的两个根,则实数x1,x2,a,b的⼤⼩关系为()A、x1<x2<a<bB、x1<a<x2<bC、x1<a<b<x2 D、a<x1<b<x2.9、关于x的⽅程:①
,②
,③
;④
中,⼀元⼆次⽅程的个数是()A.1B.2C.3D.4
10、若⽅程nxm+xn-2x2=0是⼀元⼆次⽅程,则下列不可能的是()A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1
11、已知m,n是关于x的⼀元⼆次⽅程x2﹣3x+a=0的两个解,若(m﹣1)(n﹣1)=﹣6,则a的值为()A.-10B.4C.-4D.1012、若是关于的⼀元⼆次⽅程
的根,且≠0,则的值为()A.
B.1C.
D.
13、关于的⼀元⼆次⽅程
的两根中只有⼀个等于0,则下列条件正确的是()A.
B.
C.
D.
14、若⽅程
中,
满⾜
和
,则⽅程的根是()A.1,0B.-1,0C.1,-1D.⽆法确定
三、计算题:(1.2.3.4.5.6每题5分,.7.8.9.10每题7分,共58分)
1、证明:关于x的⽅程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,不论m取何值,该⽅程都是⼀元⼆次⽅程.2、已知关于x的⽅程x2+x+n=0有两个实数根﹣2,m.求m,n的值.3、已知关于的⼀元⼆次⽅程
有两个不相等的实数根(1)求
的取值范围;(2)若
为正整数,且该⽅程的根都是整数,求
的值。
4、已知m是⽅程x2﹣x﹣2=0的⼀个实数根,求代数式
的值.
5、已知,关于x的⽅程
的两个实数根
、
满⾜
,求实数的值.
6、当x满⾜条件
时,求出⽅程x2﹣2x﹣4=0的根..
7、关于的⼀元⼆次⽅程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2.(1)求k的取值范围;
(2)如果x1+x2﹣x1x2<﹣1且k为整数,求k的值.
8、关于x的⼀元⼆次⽅程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2.(1)求m的取值范围.
(2)若2(x1+x2)+ x1x2+10=0.求m的值.
9、已知关于x的⼀元⼆次⽅程x2+(m+3)x+m+1=0.(1)求证:⽆论m取何值,原⽅程总有两个不相等的实数根:(2)若x1,x2是原⽅程的两根,且|x1-x2|=2
,求m的值,并求出此时⽅程的两根.10、当
为何值时,关于
的⽅程
有实根。
附加题(15分):已知
是⼀元⼆次⽅程
的两个实数根.(1) 是否存在实数
,使
成⽴?若存在,求出
的值;若不存在,请您说明理由.(2) 求使
的值为整数的实数
的整数值.
⼀元⼆次⽅程测试题参考答案:⼀、填空题:
1、5x2+8x-2=0 5 8 -22、20143、2
4、-25、1或
; 6、11 7、m≥0 且m≠1 8、-1 9、2 10、2014 11、3 12、k≤4且k≠0 13、4 14、1 15、-1 16、4 17、①② 18、x2+2x-3=0
19、解:∵a、b是⼀元⼆次⽅程x2-2x-1=0的两个实数根,
∴ab=-1,a+b=2,∴(a-b)(a+b-2)+ab=(a-b)(2-2)+ab=0+ab=-1,故答案为:-1.20、解:设⽅程⽅程x2+(2k+1)x+k2-2=0设其两根为x1,x2,得x1+x2=-(2k+1),x1?x2=k2-2,△=(2k+1)2-4×(k2-2)=4k+9>0,∴k>-
,
∵x12+x22=11,∴(x1+x2)2-2 x1?x2=11,∴(2k+1)2-2(k2-2)=11,解得k=1或-3;∵k>-
,故答案为k=1.
21、解:由题意,知当x=2时,分式⽆意义,∴分母=x2-5x+a=22-5×2+a=-6+a=0,∴a=6;当x2-5x+a=0时,△=52-4a=25-4a,∵a<6,∴△>0,
∴⽅程x2-5x+a=0有两个不相等的实数根,即x有两个不同的值使分式
⽆意义.
故当a<6时,使分式⽆意义的x的值共有2个.故答案为6,2.22、解:∵x1、x2是⼀元⼆次⽅程x2+5x﹣3=0的两个实根,∴x1+x2=﹣5,x1x2=﹣3,x22+5x2=3,
⼜∵2x1(x22+6x2﹣3)+a=2x1(x22+5x2+x2﹣3)+a=2x1(3+x2﹣3)+a=2x1x2+a=4,
∴﹣10+a=4,解得:a=14.23、 24、 25、⼆、选择题:
1、B2、D3、C4、B
5、(5)6、B7、D
8、解:∵x1和x2为⽅程的两根,
∴(x1-a)(x1-b)=1且(x2-a)(x2-b)=1,∴(x1-a)和(x1-b)同号且(x2-a)和(x2-b)同号;∵x1<x2,∴(x1-a)和(x1-b)同为负号⽽(x2-a)和(x2-b)同为正号,可得:x1-a<0且x1-b<0,x1<a且x1<b,∴x1<a,∴x2-a>0且x2-b>0,∴x2>a且x2>b,∴x2>b,
∴综上可知a,b,x1,x2的⼤⼩关系为:x1<a<b<x2.故选C.9、A 10、 11、C 12、A 13、B 14、C三、计算题:
1、∵m2-8m+17= m2-8m+16+1=(m-4)2+1
∵(m-4)2≥0 ∴(m-4)2+12>0即m2-8m+17>0∴不论m取何值,该⽅程都是⼀元⼆次⽅程。2、
解:∵关于x的⽅程x2+x+n=0有两个实数根﹣2,m,∴,解得,
,即m,n的值分别是1、﹣2.3、解析:
4、解:(1)∵m是⽅程x2﹣x﹣2=0的根,∴m2﹣m﹣2=0,m2﹣2=m,∴原式=(m2﹣m)(
+1)=2×(
+1)=4.
5、解:原⽅程可变形为:
.∵
、
是⽅程的两个根,∴△≥0,即:4(m +1)2-4m2≥0, ∴ 8m+4≥0,m≥
.
⼜
、
满⾜
,∴
=
或
=-
, 即△=0或
+
=0,
由△=0,即8m+4=0,得m=
.由
+
=0,即:2(m+1)=0,得m=-1,(不合题意,舍去),所以,当
时,m的值为
6、:解:由
求得
,则2<x<4.
解⽅程x2﹣2x﹣4=0可得x1=1+
,x2=1﹣
,∵2<
<3,∴3<1+
<4,符合题意∴x=1+
.
7、:解:(1)∵⽅程有实数根,
∴△=22﹣4(k+1)≥0,解得k≤0.故K的取值范围是k≤0.
(2)根据⼀元⼆次⽅程根与系数的关系,得x1+x2=﹣2,x1x2=k+1 x1+x2﹣x1x2=﹣2﹣(k+1).由已知,得﹣2﹣(k+1)<﹣1,解得k>﹣2.⼜由(1)k≤0,∴﹣2<k≤0.∵k为整数,∴k的值为﹣1和0.8、
解题时,⼀定要注意其前提是此⽅程的判别式△≥09、解:(1)证明:∵△=(m+3)2-4(m+1)…1分=(m+1)2+4,∵⽆论m取何值,(m+1)2+4恒⼤于0∴原⽅程总有两个不相等的实数根。
(2)∵x1,x2是原⽅程的两根,∴x1+x2=-(m+3),x1?x2=m+1,∵|x1-x2|=2
,∴(x1-x2)2=(2
)2,∴(x1+x2)2-4x1x2=8。
∴[-(m+3)]2-4(m+1)=8∴m2+2m-3=0。解得:m1=-3,m2=1。
当m=-3时,原⽅程化为:x2-2=0,解得:x1=
,x2=-
.
当m=1时,原⽅程化为:x2+4x+2=0,解得:x1=-2+
,x2=-2-
.
10、解:当
=0即
时,
≠0,⽅程为⼀元⼀次⽅程,总有实根;当
≠0即
时,⽅程有根的条件是:△=
≥0,解得
≥
∴当
≥
且
时,⽅程有实根。综上所述:当
≥
时,⽅程有实根。
附加题:解:(1) 假设存在实数
,使
成⽴.∵ ⼀元⼆次⽅程
的两个实数根∴
⼜
是⼀元⼆次⽅程
的两个实数根∴
∴
,但
.
∴不存在实数
,使
成⽴.(2) ∵
∴ 要使其值是整数,只需
能被4整除,故
,注意到
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