常微分方程期末试卷(B)

（2008—2009学年第二学期）

课程名称：常微分方程课程序号：开课院系：理学系 任课教师：陈迪三年级、专业：07数学考试时间：120分钟

考核方式：闭卷■开卷□试卷类型：A卷□B卷■ 题号 一 二 三 四 五 总分 统分人签字 满分 得分 得分 一、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)

(请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分).

评卷人 1、当_______________时，方程M(x,y)dxN(x,y)dy0称为恰当

方程. 2、求

dydxf(x,y)满足y(x0)y0的解等价于求积分方程 的连续解． 3、函数组et,et,e2t的朗斯基行列式值为 ．

4、二阶齐次线性微分方程的两个解y1(x),y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是 ． 5、若矩阵A具有n个线性无关的特征向量v1,v2,,vn，它们对应的特征值分别为1,2,n，那么常系数线性方程组x'Ax的一个基解矩阵(t)= . 6、方程

dydxxtany的所有常数解是 ． 7、如果存在常数L0,使得不等式 对于所有

（x,y1),(x,y2)R都成立，称函数f(x,y)在R上关于y满足利普希茨条件，其中L为利普希茨常数．

8、

dydxP(x)yQ(x)称为一阶线性方程，它有积分因子eP(x)dx，其通解为_________. 9、方程dydxx2y2定义在矩形域R:-2x2,2y2上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 ．

10、若(t),(t)是齐次线性方程组XA(t)X的基解矩阵，则(t)与(t)具有关系 ．

得分 评卷人 二、计算题(本题共4小题，每小题6分，共24分)(求下列微分方程的通解). 得分 1dy1y21、=；2、； x''3dxxyxy2x'

3、x''6x'5xe；4、txtx2xtlnt；

2t2\"'

得分 评卷人 三、计算题(本题共2小题，每小题10分，共20分) (写出解题的详细步骤). 得分 dy22xy（1）求初值问题dxR:x1,y1的解

y(0)0的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计.

dx3x4ydt（2）求微分方程组满足初始条件(0)0的解(t).

dy 2xyetdt

号： 姓 名： 所属院系：

得分 评卷人 得分 四、证明题(本大题共2小题，每小题13分，共26分)

(写出解题的详细步骤，空间不够请将答案写在试卷背后).

、

设

1

xiti1,2,,n是齐次线性方程

dnxdn1xa1tn1dtndtan1tdxantx0的任意n个解，它们所构成的朗斯行列式记为dtwt.试证明wt满足一阶线性微分方程wa1tw0，因而有：

wtwt0e 得分

t0a1sdstta,b.

2、设y1(x)，y2(x)是方程yp(x)yq(x)y0的解，且满足

y1(x0)=y2(x0)=0，y1(x)0，这里p(x),q(x)在(,)上连续，x0(,)．证明：

存在常数C使得y2(x)=Cy1(x)．