对数函数及其性质教案

《对数函数及其性质》教案

教学目标：

1、掌握对数函数的概念。

2、根据函数图象探索并理解对数函数的性质。

过程与方法：

1、通过对对数函数的学习，渗透数形结合的思想。

2、能够用类比的观点看问题，体会知识间的有机联系、

情感态度与价值观：

1、培养学生观察、分析能力，从特殊到一般的归纳能力。

2、培养学生的合作交流、共同探究的良好品质。

教学重点：对数函数的定义、图象和性质

教学难点：用数形结合的办法探索并归纳对数函数的性质。

教学过程：

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一、回顾交流，适时引入新课

（教师提出问题）①本章开头2.1问题1中，在2001－2020年，各年的GDP均为00年的倍数，倍数m与时间n的关系式为m=1.073n；②某种细胞分裂过程中，细胞个数a与分裂次数b的关系式为为a=2b。

师：上述关系式都是什么类型的式子？

生：都是指数式。

师：你能把它改写成对数式吗？

生：可以改写成：n=log1.073m a=log2b

师：请大家观察这两个式子有何共同特征？

(生合作交流，共同探究，师参与交流探究过程)

生甲：n是m的函数，a是b的函数。

生乙：这是对数式，m与b都是真数，它们应为正数。

师：同学们说的都很好，这里任意给定一个m，有唯一的n与它对应，任意给定一个b，有唯一的a与它对应，所以n是m的函数，a是b的函数。

师：通常表达一个函数，x表示自变量，y表示自变量，你能用含有x、y的解析式表

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示它们吗？

生：y=log1.073x，y=log2x

师：能用一个共同的解析式表达吗？

部分生(齐答)：y=logax

部分生(抢答)：底数a＞0且a≠1

师：非常好，这是就是我们本节课所要研究的对数函数。

(引入新课，师板书课题：对数函数)

二、新课讲授

1、介绍新概念：一般地，我们把函数y=logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数，其中a为常量。

师：这里为什么规定a＞0且a≠1。

(学生探究，相互合作交流，分组讨论，师参与探究活动并予以指导。只要学生说得正确均予以肯定。)

生A：a为底数，根据对数的定义a＞0且a≠1

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生B：解析式y=logax可以变成指数式x=ay，由指数的定义，a＞0且a≠1

（师充分予以表扬。）

师：由这个解析式，大家能看出它的部分性质吗？

(学生活动：合作交流探究，师参与探究并予以点评、指导。)

生C：根据对数的定义，自变量在真数的位置，故定义域为(0，+∞)。

生D：把它变成指数式x=ay可知，故值域为(-∞，+∞)

师：说的好，该函数的性质到底是怎样的？下面我们来探讨一下，通常我们研究函数的性质要借助于一件工具，这个工具是什么？

生：图象。

师：和指数函数性质一样，我们分a＞1和0＜a＜1。由特殊到一般，这里a＞1取a=2，0＜a＜1取a=1/2。

2、性质的探究

①a＞1，函数y=log2x的图象和性质

师：请同学们将P77的表格填完整。

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（学生活动：填表格）

师：大家观察表格，自上而下，x是怎样变化的？

生：逐渐增大。

师：y的变化趋势呢？

生：逐渐增大。

师：由此你能预测y=log2x的单调性吗？

生：在整个定义域内单调递增。

师：到底是不是，我们请图象告诉大家。

（师生共同操作，画出图象。）

师：请同学们探究一下，从这个图上你能得出y=log2x的哪些性质？

（学生探究，分组讨论，交流合作，大胆猜想，教师参与探究活动，并回答学生的问题，予以指导。只要学生说得有道理，均应予以及时表扬、鼓励。函数的性质以学生归纳总结为主，教师点评。）

师：一个a=2不能说明a＞1时的函数性质，我们要再取两个a，这里再取a= 21/2 和3，既有有理数，又有无理数，就可以代表a＞1的情况了。

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（学生活动，合作交流，对不同的a值进行列表。）

（教师活动：以小黑板的形式展示提前画好的函数图象，用不同颜色的粉笔表示不同的曲线。）

（学生活动：相互合作交流，共同探究，教师参与探究活动并予以解疑，引导他们对函数性质进行归纳总结。最后，在热烈的气氛中以学生的讲述的形式完成探究任务。）

生1：它的定义域是x＞0(即x∈(0,+∞))

师：由图象可以看出来吗？

生1：整体位于y轴右侧。

生2：值域为R，因为图象向上方和下方无限延伸。

生3：在整个定义域内单调递增。

师：开始我们由解析式和表格预测的性质是这样的吗？

生(齐声回答)：是。

生4：无对称性，是非奇非偶函数

生5：均与x轴交于(1,0)点。

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生6：在x＞1时y＞0，在0＜x＜1时，y＜0。

生7：a越大，图象在第一和第四象限越接近x轴。

②0＜a＜1，函数y=log2x的图象和性质

师：同学们探究的很好，那么0＜a＜1时，我们取a=1/2，y=log1/2x的性质是怎样的呢？请同学们仿照P77的表格制作一个新的表格。

（学生活动：制作并填写表格。）

师：同前面一样，观察x与y的变化趋势，你能预测y=log1/2x的单调性吗？

生：单调递减。

（同①，师生合作，画图象，学生探究，合作交流，总结归纳y=log1/2x性质，教师予以点评、指导。）

师：同样的，一个a=1/2不能说明全体0＜a＜1的性质，我们仍然次取a，这里a取1/3和1/ 21/2 ，

（同①：学生探究，教师巡视并参与探究活动，引导学生进行总结、归纳，最后在热烈的气氛中以学生讲述的形式总结出y=logax(0＜a＜1)的性质。)

生a：定义域为(0,+∞),因图象在y轴右侧。

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生b：值域为R，因图象向上、向下均无限延伸。

生c：在定义域内单调递减。

师：这又证明了我们的预测是正确的。

生d：与x轴交于(1,0)

生e：无对称性，是非奇非偶函数

生f：当x＞1时，y＜0，当0＜x＜1，y＞0

生g：a越小，在一、四象限均越接近x轴。

（师对学生讲述的结果予以表扬。）

三、课堂小结

1、对数函数的概念

2、对数函数y=logax的图象和性质(a＞0且a≠1)。

四、作业

P81练习1、2

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习题2.2第7题

五、思考题

在同一直角坐标系中画出y=log2x和y=log1/2x的图象，观察它们的特征。

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