信号处理习题

《信号处理》习题

第一章 Z－Transform and Digital Filter

1．已知x(n)()nu(n)，求其z变换反收敛域

211121z12．已知X(z)134z18, zz212，请用部分分式法或留数法求其反变换x(n)。

3．已知w(n)x(n)*y(n)x(m)y(nm)，式中，x(n)、y(n)和w(n)的Z变换分别以

mX(z)、Y(z)和W(z)表示。求证：W(z)=X(z).Y(z)。

bn , n0 , ba , 求其z变换X(z)和收敛域。 4．已知数字信号x(n)na , n15．已知一线性非移变离散稳定系统的差分方程为：

y(n)x(n)13x(n1)34y(n1)18y(n2)

试求：

1） 传递函数H(z)的表达式； 2） 画出该系统的信号流图；

3） 画出该系统的脉冲响应h(n)，试问该系统若作为数字滤波器，是IIR还是

FIR滤波器？

第二章 Hilbert Transform

1．在2.1节我们已经看到，单位圆外部的z变换完全由其在单位圆上的虚部值和h(0)

值确定。

(a) 试由h(n)h0(n)u(n)h(0)(n)，导出H(z)Hl(ejw12Hl(v)(zv)(zv)vc dvh(0)，|z|>1。

(b) 当

)sin122cos 时，试利用(a)的导出求H(z)。

h(0)12．利用Re[H(ejw)]推导H(z)在单位圆之上的积分表示式，条件是h(n)为一个稳定的实序

列，n>0时，h(n)=0。

3．研究一个z变换为的非最小相位因果信号x(n)。X(z)的零点是Zk，k=1, 2, …, M, 并且

|Z1|<|Z2|< … <|ZM|。我们建议把序列x(n)予以指数加权，求得一个最小相位的新序列y(n)，即

y(n)x(n)

n 试问应该如何选择才能使y(n)是最小相位的？ (a) 两个最小相位序列之卷积仍是最小相位序列。

(b) 两个最小相位序列之和未必是最小相位序列。（举一例来说明最小相位序列和非

最小相位序列都可由两个最小相位序列之和组成。）

4．试证明下面两种说法的正确性：

5．令hmin(n)表示z变换为Hmin(z)的最小相位序列。如果h(n)是一个非最小相位的因果

序列，其傅立叶变换的幅度等于| Hmin(ejw)|，试证明：

|h(0)||hmin(0)| （提示：利用初值定理）

x(n)x(n)26．序列x(n)的偶部定义为：xe(n)，假设x(n)是一个有限时宽实序列，定

义为n<0和n≧N时，x(n)=0。令x(k)表示x(n)的N点离散傅立叶变换。（提示：，则xe(n)的长度为x(n)(0,N1),x(n)(0,(N1)]）

(a) xe(n)的离散傅立叶变换是否等于Re[X(k)]？

(b) 试求出以x(n)表示的Re[X(k)]的离散傅立叶反变换。

ˆ(n)，其中x(n)和xˆ(n)是实序列。序列z(n)的z7．研究一个复序列z(n), z(n)x(n)jx2N-1）

变换Z(z)在单位圆的下半部分为零。即2时，Z(ejw)=0。z(n)的实部为

x(n)121 , n0 , n2 40 , 其它

试求Z(ejw)的实部和虚部。

第三章 Discrete Random Signals

1．令x(n)和y(n)是不相关的随机信号，试证：若

w(n)x(n)y(n)

则 和

mwmxmy222

wxy

2．研究一个随机过程，它的取样序列x(n)的形式为

x(n)cos(w0n)

式中是一个均匀分布的随机变量，其概率密度函数如图3.1所示。试计算它的均

值和自相关序列xx(m,n)。这个随机过程是否为广义平稳过程？

P0()

12 0 2 θ

图3.1

3．一个如图3.2所示的单位冲激响应为

2sin2(n/2) , n0h(n) n0 , n0 的理想希尔伯特变换器，受到时域离散随机信号xr(n)的激励。

理想的希尔伯特变换器 xi(n)

图3.2

(a) 求自相关序列xx(m)的表示式。

iixr(n) (b) 求互相关序列xx(m)的表示式。证明这时xx(m)xx(m)。

ririri(c) 求如下复解析信号的自相关序列：x(n)xr(n)jxi(n)。 (d) 求上述复解析信号的功率谱。

4．令x(n)是白色随机序列，其均值为零、方差为x2。设有一个级联系统，由两个线性

时域离散系统按图3.3的形式构成， x(n)是它的输入。

(a) (b) 2y2xhk021(k)是否正确？ (k)是否正确？

2w2yhk022(c) 令h1(n)anu(n)和h2(n)bnu(n)。试确定图3.3的整个系统的单位取样响应，并

2由此求出w。如果你认为(b)是正确的，那么它与(c)的答案是否一致？

x(n) h1(n) y(n) h2(n) w(n)

图3.3

第四章 Homomorphic Signal Processing

1．如下表的每一个系统变换都是同态的，各输入运算业已指明。请确定各输出运算。

系统变换T[x(n)] 输入运算 nx(z)T[x(n)]x(n)zn 卷积 乘法 乘法 乘法 x(z)T[x(n)]x(n)zn2ny(n)T[x(n)]x(n) y(n)T[x(n)]|x(n)| 2．试确定下列哪几个系统不能构成以乘法为输入、输出运算的同态系统：

(a) y(n)=3 x(n)。 (b) y(n)= x2(n)。 (c) y(n)= x(n)/ x(n-1)。

3．研究一类以卷积为输入和输出的同态系统。试证明若输入x(n)=(n)，则输出

y(n)=(n)。

ˆ1(n)和xˆ2(n)表示它们的复倒谱。4．x1(n)和x2(n)表示两个序列，x若x1(n)*x2(n)(n)，

ˆ1(n)和xˆ2(n)之间的关系 试确定xˆ1(n)表示它的复倒谱。证明xˆ(0)log[x(0)]。 5．设x(n)表示一个最大相位序列，xˆ(n)之间的递推关系，请利用该递推式6．当x(n)为最小相位型时，下式表示了x(n)和x计算序列x(n)anu(n)的复倒谱。

0 , n0ˆ(n)lg[x(0)] , n0 递推式为：xx(n)n1kx(nk)ˆx(k) , n0nx(0)x(0)k0

第五章 Power Spectrum Estimation上机

（一）设输入音频信号Xa(t)cos(2ft)，取f=1KHz，fs=20KHz，N=128，W(n)为三角

ˆ(k)及不分段的Bw(k)，打印出曲线图、列窗序列。用计算机求出功率谱估值Pxxxx出程序（注明所用语言）。

测量流程图为：

K1 Xa(t) 取样 fs=20KHz 三角窗加权 规范运算 u(n)[x'(n)jx'(nN/2)ejn/N N/2点ODFT D(2k) R2+I2 除NU或除N 补奇数谱线 内存U ˆ(k) Bxx(k)或PxxwK2 wxxˆ(k) 注：K1断开，K2合上得B(k)；K1合上，K2断开得Pxx

ˆ(k)及Bw(k)时的编程流程图如下（供参考）用计算机求P。 xxxx开始 输入N及Ts=1/fs 对音视频信号取 N=128个样点为X(k) 规范运算 u(n)[x(n)jx(nN/2)ejn/N三角窗加权 X1(k)X(k)W(k) 规范运算 u(n)[x1(n)jx1(nN/2)eN1求：UWn02(n) jn/N 取实部Y(N)，虚部Z(N) 取实部Y1(N)，虚部Z1(N) N/2点ODFT，得偶数谱线，其实部为A(k)，虚部B(k) 求模的平方R2+I2 除N 由ODFT谱线的共轭奇偶对称补奇数谱线 ˆ(k) PxxN/2点ODFT，得偶数谱线，其实部为C(k)，虚部D(k) 求模的平方R2+I2 除NU 由ODFT谱线的共轭奇偶对称补奇数谱线 Bxx(k)结束 w w(k)。用2:1覆盖分段，设各段的长度M=32。请（二） 如有兴趣，对上题求分段的Bxx w画出测量流程图、计算机流程图，打印出Bxx(k)曲线图。

第六章：案例分析

请完成案例分析：就你所从事的专业方向，举出信号处理技术的应用实例。 要求：（1）给出案例题目；（2）原理分析（500字以上）；（3）给出实现框图和实验结果（附程序代码）。