2020-2021学年江苏省泰州市高一（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域
1．（5分）设z1＝3+i，z2＝1+mi，若z1z2为纯虚数，则实数m＝（ ） A．﹣3
B．﹣
C．
D．3
2．（5分）某校高一年级1000名学生的血型情况如图所示．某课外兴趣小组为了研究血型与饮食之间的关系，决定采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为50的样本，则从高一年级A型血的学生中应抽取的人数是（ ）． [图中数据：A型22%，B型28%，O型38%
A．11
B．22
C．110
D．220
3．（5分）在△ABC中，tanA＝2，BC＝10，则tanB＝（ ） A．
B．
C．
D．1
4．（5分）甲、乙两位同学独立地解答某道数学题，若甲、乙解出的概率都是，则这道数学题被解出的概率是（ ） A．
B．
C．
D．
），M，N是
5．（5分）如图，已知点P是函数f（x）＝Acos（x+φ）（x∈R，A＞0，|φ|＜函数f（x）的图象与x轴的两个交点，若
•
，则A的值为（ ）
第1页（共20页）
A．2
B．
C．4
D．π
6．（5分）已知A，B，C，D四点均在半径为R的球O的球面上，△ABC的面积为R2，球心O到平面ABC的距离为，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值为24，则球O的表面积为（ ） A．4π
B．16π
C．27π
D．64π
7．（5分）设a＝tan16°+tan14°+tan16°tan14°，b＝sin44°cos14°﹣sin46°cos76°，
则a，b，c的大小关系是（ ） A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．b＞c＞a
D．c＞a＞b
8．（5分）已知△ABC外接圆的圆心为O，半径为1．设点O到边BC，CA1，d2，d3，若•
+
•
+
•
＝﹣1，则d12+d22+d32＝（ ） B．1
C．
D．3
A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．（5分）已知某班10名男生引体向上的测试成绩统计如表所示，
成绩 人数
10 1
9 4
8 3
7 2
则下列说法正确的有（ ）
A．这10名男生引体向上测试成绩的平均数为7.4 B．这10名男生引体向上的测试成绩没有众数 C．这10名男生引体向上测试成绩的中位数8.5 D．这10名男生引体向上测试成绩的20百分位数为7.5
第2页（共20页）
10．（5分）下列说法正确的有（ ）
A．设z1，z2是两个虚数，若z1+z2，和z1z2均为实数，则z1，z2是共轭复数 B．若z1﹣z2＝0，则z1与
互为共轭复数
C．设z1，z2是两个虚数，若z1与z2是共轭复数，则z1+z2和z1z2均是实数 D．若z1+z2∈R，则z1与z2互为共轭复数
11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，△OAB的三个顶点O，A，B的坐标分别为（0，0），（x2，y2），设1，y1）A．S△OAB＝B．S△OAB＝C．S△OAB＝
＝，
＝，
（R为△OAB外接圆的半径）
＝，则（ ）
D．S△OAB＝|x1y2﹣x2y1|
12．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段BC1上的动点，则下列结论正确的有（ ） A．A1D⊥D1P
B．三棱锥A﹣B1PD1的体积为定值 C．存在点P使得∠APD1＝D．直线DP∥平面AB1D1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上. 13．（5分）若sin
cos
﹣sin
＝sinx，请写出一个符合要求的x
＝ ．
14．（5分）若数据3（a1+1），3（a2+1），…，3（a7+1）的方差为9，则数据a1，a2，…，a7的方差为 ．
15．（5分）如图，由若干个边长为1的正方形拼接而成一个矩形A0B0B2021A2021，则（
+
+
+…+
）＝ ．
•
第3页（共20页）
16．（5分）如图，所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体，在这两个平面内的面叫作拟柱体的底面，两底面之间的垂直距离叫作拟柱体的高．已知拟柱体ABCD﹣A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1和下底面ABCD均为平行四边形，点E，F，G，H分别为侧棱AA1，BB1，CC1，DD1，的中点，记三角形D1HG的面积为S1，梯形CC1D1D的面积为S2，则
＝ ；若三棱锥D1﹣EGH的体积为1，则四棱锥E﹣
BCC1B1的体积为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知平面向量，满足+＝（﹣3，6），﹣＝（m，﹣2），其中m∈R． （1）若∥，求|﹣|；
（2）若m＝5，求与夹角的余弦值． 18．（12分）已知复数z1＝（1+i）2，设z2＝（1）求复数z2； （2）若复数z满足
＝
，z+z2＝
，求|z|． ．
第4页（共20页）
19．（12分）在平面四边形ABCD中，∠ADB＝（1）若BD＝5，求△ABD的面积； （2）若BC⊥BD，∠BAC＝
，BC＝
，AB＝7．
20．（12分）今年四月份某单位组织120名员工参加健康知识竞赛，将120名员工的竞赛成绩整理后画出的频率直方图如图所示．
（1）求实数a的值，并求80分是成绩的多少百分位数？
（2）试利用频率直方图的组中值估算这次健康知识竞赛的平均成绩；
（3）从这次健康知识竞赛成绩落在区间[90，100]内的员工中，随机选取2名员工到某社区开展“学知识、健体魄”活动．已知这次健康知识竞赛成绩落在区间[90，求至少有1名男性员工被选中的概率．
21．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AC＝2， AB＝2
，E为PC的中点，过点A作AF⊥BE
（1）求证：AF⊥平面PBC；
（2）求AE与平面PBC所成角的正弦值．
第5页（共20页）
22．（12分）在斜三角形ABC中，已知tanBtanC＝，tanB+tanC＝． （1）求A； （2）设0＜x＜
，若
＝sinA，求tanx的值．
第6页（共20页）
2020-2021学年江苏省泰州市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域
1．（5分）设z1＝3+i，z2＝1+mi，若z1z2为纯虚数，则实数m＝（ ） A．﹣3
B．﹣
C．
D．3
【解答】解：∵z1＝3+i，z6＝1+mi，
∴z1z6＝（3+i）（1+mi）＝6+3mi+i+mi2＝（7m+1）i+（3﹣m）， ∵z4z2为纯虚数， ∴3﹣m＝6，即m＝3． 故选：D．
2．（5分）某校高一年级1000名学生的血型情况如图所示．某课外兴趣小组为了研究血型与饮食之间的关系，决定采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为50的样本，则从高一年级A型血的学生中应抽取的人数是（ ）． [图中数据：A型22%，B型28%，O型38%
A．11
B．22
C．110
D．220
【解答】解：根据分层抽样的定义可得，
从高一年级A型血的学生中应抽取的人数是50×22%＝11； 故选：A．
3．（5分）在△ABC中，tanA＝2，BC＝10，则tanB＝（ ） A．
B．
＝2，
第7页（共20页）
C． D．1
【解答】解：因为tanA＝
所以sin2A+cos7A＝sin2A+所以sinA＝
，
＝12A＝，
又BC＝10，AC＝5，
由正弦定理则tanB＝故选：C．
＝．
，可得sinB＝＝＝＝，
4．（5分）甲、乙两位同学独立地解答某道数学题，若甲、乙解出的概率都是，则这道数学题被解出的概率是（ ） A．
B．
C．
D．；
．
【解答】解：当甲，乙都解不出时，概率为所以这道数学题被解出的概率是故选：C．
5．（5分）如图，已知点P是函数f（x）＝Acos（x+φ）（x∈R，A＞0，|φ|＜函数f（x）的图象与x轴的两个交点，若
•
，则A的值为（ ）
），M，N是
A．2
B．
C．4
D．π ，则|MN|＝
，
【解答】解：函数f（x）＝Acos（x+φ）的周期T＝
第8页（共20页）
又∴故选：B．
6．（5分）已知A，B，C，D四点均在半径为R的球O的球面上，△ABC的面积为R2，球心O到平面ABC的距离为，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值为24，则球O的表面积为（ ） A．4π
【解答】解：如图，
B．16π
C．27π
D．64π
•
＝0，
，∴A＝
．
设三角形ABC的外心为G，其外接球的球心为O，
且OG＝，要使三棱锥D﹣ABC体积的最大，此时OD＝R， ∵△ABC的面积为R2，∴三棱锥D﹣ABC体积的最大值为解得R＝4，
∴球O的表面积为3π×42＝64π． 故选：D．
7．（5分）设a＝tan16°+tan14°+
tan16°tan14°，b＝sin44°cos14°﹣sin46°cos76°，
＝24，
则a，b，c的大小关系是（ ）
第9页（共20页）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞a＞b ，
【解答】解：∵tan30°＝tan（16°+14°）＝∴tan16°+tan14°＝∴a＝tan16°+tan14°+
tan16°tan14°＝
， ，
∵b＝sin44°cos14°﹣sin46°cos76°＝sin44°cos14°﹣cos44°sin14°＝sin（44°﹣14°）＝sin30°＝，
c＝8sin14°sin76°＝2sin14°cos14°＝sin28°∴a＞b＞c． 故选：A．
8．（5分）已知△ABC外接圆的圆心为O，半径为1．设点O到边BC，CA1，d2，d3，若•
+
•
+
•
＝﹣1，则d12+d22+d32＝（ ） B．1
C．
D．3
，
A．
【解答】解：不影响一般性，设A（1，B（﹣1，C（6，如图， 此时容易知道所以故选：B．
＝﹣1+0+8＝﹣1，
，d7＝0，
，
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合
第10页（共20页）
题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9．（5分）已知某班10名男生引体向上的测试成绩统计如表所示，
成绩 人数
10 1
9 4
8 3
7 2
则下列说法正确的有（ ）
A．这10名男生引体向上测试成绩的平均数为7.4 B．这10名男生引体向上的测试成绩没有众数 C．这10名男生引体向上测试成绩的中位数8.5 D．这10名男生引体向上测试成绩的20百分位数为7.5 【解答】解：根据
成绩 人数
10 1
9 4
8 7
3 2 ，故A
所以：对于A：这10名男生引体向上的平均值为错误；
对于B：这10名男生引体向上的测试成绩众数为2，故B错误； 对于C：这10名男生引体向上测试成绩的中位数
＝8.5；
＝8.5．
对于D：这10名男生引体向上测试成绩的20百分位数为故选：CD．
10．（5分）下列说法正确的有（ ）
A．设z1，z2是两个虚数，若z1+z2，和z1z2均为实数，则z1，z2是共轭复数 B．若z1﹣z2＝0，则z1与
互为共轭复数
C．设z1，z2是两个虚数，若z1与z2是共轭复数，则z1+z2和z1z2均是实数 D．若z1+z2∈R，则z1与z2互为共轭复数
【解答】解：对于选项A：设z1＝a+bi，z2＝c+di，（a，b，c， 则b≠5，d≠0，ad+bc＝0，a＝c， 故z8，z2是共轭复数，故正确；
对于选项B：∵z1﹣z2＝0，∴z1＝z6，又∵z2与
互为共轭复数6与
互为共轭复数；
第11页（共20页）
对于选项C：设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b≠0）， 则z1+z8＝2a∈R，z1z7＝a2+b2∈R，故正确；
对于选项D：设z2＝3+i，z2＝6﹣i，则z1+z2＝4，但z1与z2不互为共轭复数，故错误； 故选：ABC．
11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，△OAB的三个顶点O，A，B的坐标分别为（0，0），（x2，y2），设1，y1）A．S△OAB＝B．S△OAB＝C．S△OAB＝
＝，
＝，
（R为△OAB外接圆的半径）
＝，则（ ）
D．S△OAB＝|x1y2﹣x2y1| 【解答】解：由正弦定理可得径）， 所以||＝所以S△OAB＝|S△OAB＝|S△OAB＝|＝|＝＝＝
＝|x1y2﹣x2y1|，故B． 故选：BD．
12．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段BC1上的动点，则下列结论正确的有（ ） A．A1D⊥D1P
第12页（共20页）
＝＝＝2R（R为△OAB外接圆的半
，|||||||
|||
＝
，sin∠AOB＝
＝，
，
，故A错误；
|||||
||
B．三棱锥A﹣B1PD1的体积为定值 C．存在点P使得∠APD1＝D．直线DP∥平面AB1D1
【解答】解：对于A，D1C1⊥平面AA5D1D，则D1C5⊥A1D， A1D⊥AD7，则A1D⊥D1B，而D5B∩D1C1＝D6， ∴A1D⊥平面D1C2B，而D1P⊂平面D1C2B， ∴A1D⊥D1P，故A正确；
对于B，∵AD8∥BC1，AD1⊂平面AD8B1，BC1⊄平面AD2B1， ∴BC1∥平面AD4B1，则P到平面AD1B3的距离为定值， ∴对于C，∵
为定值；
，两平行线AD1与BC1间的距离为6，则平面ABC1D1内以AD7为
直径的圆与BC1无交点， 故∠APD1为锐角，C错误；
对于D，∵AD∥B2C1，AD＝B1C2，∴四边形AB1C1D为平行四边形，可得AB7∥DC1， 同理可证DB∥D1B7，而DB∩DC1＝D，∴平面DBC1∥平面AB6D1， 而DP⊂平面DBC1，∴直线DP∥AB5D1，故D正确． 故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置上. 13．（5分）若sin
cos
﹣sincos
cos
＝sinx，请写出一个符合要求的x＝ ＝
，
，
．
【解答】解：∵sin∴x＝
当k＝0时，x＝
．
或
第13页（共20页）
故答案为：．
14．（5分）若数据3（a1+1），3（a2+1），…，3（a7+1）的方差为9，则数据a1，a2，…，a7的方差为 1 ．
【解答】解：数据3（a1+2），3（a2+2），…，3（a7+5）的方差为9， 则数据a1，a5，…，a7的方差为：＝1． 故答案为：1．
15．（5分）如图，由若干个边长为1的正方形拼接而成一个矩形A0B0B2021A2021，则（
+
+
+…+
）＝ 2021 ．
•
【解答】解：由图可知，又∴＝+...+
＝2+1+...+1＝2021． 故答案为：2021．
16．（5分）如图，所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体，在这两个平面内的面叫作拟柱体的底面，两底面之间的垂直距离叫作拟柱体的高．已知拟柱体ABCD﹣A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1和下底面ABCD均为平行四边形，点E，F，G，H分别为侧棱AA1，BB1，CC1，DD1，的中点，记三角形D1HG的面积为S1，梯形CC1D1D的面积为S2，则
＝ ；若三棱锥D1﹣EGH的体积为1，则四棱锥E﹣BCC1B1的体积
（•
+
+
，即＝）
（k＝1，7，2021），
，
第14页（共20页）
为 4 ．
【解答】解：由条件知CDD1C1为梯形，设CD＝a，C6D1＝b，则HG＝设梯形的高为h，则
，
．
，所以
．
因为EFGH为平行四边形，所以因为D1C7∥平面EFGH，所以
；
．
因为，所以．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知平面向量，满足+＝（﹣3，6），﹣＝（m，﹣2），其中m∈R． （1）若∥，求|﹣|；
（2）若m＝5，求与夹角的余弦值．
【解答】解：（1）∵+＝（﹣3，﹣＝（m， ∴＝（∵∥， ∴∴
，＝（，
，解得m＝2，
＝（1，|
|＝
．
第15页（共20页）
（2）∵当m＝5时，＝（1，＝（﹣8， ∴•＝1×（﹣4）+3×4＝4， ∴
，
，
设与的夹角为θ，
故与夹角的余弦值为．
18．（12分）已知复数z1＝（1+i）2，设z2＝（1）求复数z2； （2）若复数z满足
＝
，z+z2＝
．
，求|z|．
【解答】解：（1）z1＝（1+i）4＝2i， z2＝故z2＝
．
．
（2）设复数z＝x+yi（其中x，y∈R）． 由
，
得所以
解得x＝﹣1． 由z+z4＝得所以解得所以z＝
．
， ，
，
，
，
．
第16页（共20页）
故．
，AB＝7．
19．（12分）在平面四边形ABCD中，∠ADB＝（1）若BD＝5，求△ABD的面积； （2）若BC⊥BD，∠BAC＝
，BC＝
【解答】解：（1）在△ABD中，由余弦定理得AB²＝AD²+BD²﹣2AD•BD•cos∠ADB， 即7²＝AD²+3²﹣2AD×5×（﹣），整理得AD²+5AD﹣24＝8， 解得AD＝3，或AD＝﹣8（舍去）； 所以
×AD×BD×sin
＝
＝
， ）＝，
，
（2）设∠ABD＝θ（0＜θ＜在△ABC中，由正弦定理得
），则∠BCA＝π﹣
＝
即＝，所以sin（，
因为0＜θ＜cos（
，所以3＜，
，
＝sin
）﹣cos
），
﹣θ）＝
sinθ＝sin＝
20．（12分）今年四月份某单位组织120名员工参加健康知识竞赛，将120名员工的竞赛成绩整理后画出的频率直方图如图所示．
（1）求实数a的值，并求80分是成绩的多少百分位数？
第17页（共20页）
（2）试利用频率直方图的组中值估算这次健康知识竞赛的平均成绩；
（3）从这次健康知识竞赛成绩落在区间[90，100]内的员工中，随机选取2名员工到某社区开展“学知识、健体魄”活动．已知这次健康知识竞赛成绩落在区间[90，求至少有1名男性员工被选中的概率．
【解答】解：（1）10（a+3a+4a+8a+6a+a）＝1，解得a＝3.005， 1﹣10（4×7.005+0.005）＝0.75， ∴80分是成绩的75百分位数．
（2）45×4.05+55×0.15+65×0.25+75×8.30+85×0.20+95×0.05＝71（分）， ∴这次知识竞赛的平均成绩是71分．
（3）这次知识竞赛成绩落在区间[90，100]内的员工有120×5.05＝6名， 记“至少有一个男性员工被选中”为事件A， 记这6人为3，2，3，7，5，6号，7，3号， 则样本空间：
Ω＝{（1，6），3），4），4），6），3），3），5），6），5），5），6），2），6），6）}， A＝{（3，2），3），2），5），6），7），4），5），8），4），5），5）}， ∴P（A）＝
＝．
∴至少有2名男性员工被选中的概率为．
21．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AC＝2， AB＝2
，E为PC的中点，过点A作AF⊥BE
（1）求证：AF⊥平面PBC；
（2）求AE与平面PBC所成角的正弦值．
第18页（共20页）
【解答】解：（1）证明：在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC， ∵AB⊂平面ABC，∴PA⊥AB，
∵AB⊥AC，PA∩AC＝A，AC⊂平面PAC， ∴AB⊥平面PAC，
又PC⊂平面PAC，∴AB⊥PC，
在△PAC中，由E为PC的中点，可知AE⊥PC， ∵AB∩AE＝A，AB⊂平面ABE， ∴PC⊥平面ABE，
又AF⊂平面ABE，∴PC⊥AF，
∵AF⊥BE，PC∩BE＝E，BE⊂平面PBC， ∴AF⊥平面PBC．
（2）由（1）知，AF⊥平面PBC， ∴AE与平面PBC所成角为∠AEF， 又由（1）知，AB⊥平面PAC，∴AB⊥AE， 由PA⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC， 在Rt△PAC中，由PA＝AC＝2，得AE＝在Rt△ABE中，BE＝∴AF＝
＝
＝
＝
， ， ． ，
∴AE与平面PBC所面角的正弦值为
22．（12分）在斜三角形ABC中，已知tanBtanC＝，tanB+tanC＝．
第19页（共20页）
（1）求A； （2）设0＜x＜
，若
＝sinA，求tanx的值．
【解答】解：（1）在斜三角形ABC中，A+B+C＝π， ∵tanBtanC＝，tanB+tanC＝．
∴tanA＝tan[π﹣（B+C）]＝﹣tan（B+C）＝＝，
又∵5＜A＜π， ∴（2）∵∴
．
＝sinA，
＝sinA，
∴cosBcosCtan2x+sin（B+C）tanA+sinBsinC＝sinA ①， 由（1）可知A＝∴sin（B+C）＝sin∵tanB+tanC＝， ∴
∴cosBcosC＝
，
，
，
，
，
，即sin（B+C）＝
，
， ＝
，
又∵cos（B+C）＝cos∴
∴sinBsinC＝
∴①式可化为4tan2x+5tanx﹣6＝0，解得tanx＝﹣∵5＜x＜
，
∴tanx＝．
第20页（共20页）
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