２０１７年７月 四川师范大学学报（自然科学版） ＪｏｕｍＭ ｏｆ Ｓｉｃｈｕａｎ Ｎｏｒｍ￣Ｕｎｉｖｅ￣ｉｔｙ（ＮａｔｕｒＭ Ｓｃｉｅｎｃｅ） Ｊｕｌｙ，２０１７ Ｖｏ１．４０，Ｎｏ．４ 第４０卷第４期 非定常Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程的一种非协调 有限元投影稳定化方法 张莉 ， 王彦朝 ， 宋卫平 （１．四川师范大学数学与软件科学学院，四川成都６１００６６；２．四川中电启明星信息技术有限公司，四川成都６１００４１） 摘要：基于标准的 投影算子，对非定常Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程提出了一种非协调有限元投影稳定化方 法．这种非协调有限元方法的速度／压力空间采用非协调有限元ⅣｃＰ 一Ｐ ．该方法不仅绕开了ｉｎｆ—ｓｕｐ条 件对等阶元的束缚，也克服了高雷诺数下对流占优引起的振荡．同时，结合外推公式，将非线性问题转化为 线性格式进行处理，从而减少了计算量．最后给出了详细的稳定性分析和误差分析． 关键词：Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程；Ｌ 投影；高雷诺数；外推公式 中图分类号：Ｏ２４１．８２ 文献标志码：Ａ 文章编号：１００１—８３９５（２０１７）０４—０４３５—０７ ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１—８３９５．２０１７．０４．００２ 有限元方法Ｌ１ 已经成为计算流体问题Ｓｔｏｋｅｓ 方程和不可压缩Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程的一种重要而 有力的工具．特别地，混合有限元方法＿２ 备受欢迎． ｉｎｆ—ｓｕｐ条件的限制，但是当雷诺数很大时，方程的 解仍然可能出现不稳定性．随后，文献［１６］对瞬态 的Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程提出了一种新的全离散粘性 稳定化方法．这个方法不仅绕开了ｉｎｆ—ｓｕｐ条件的 限制，同时克服了高雷诺数下对流占优引起的解的 然而混合有限元方法的研究面临２个方面的问题： １）要求有限元空间必须满足ｉｎｆ—ｓｕｐ条件即稳定 性条件．遗憾的是工程上计算方便的等阶有限元空 间不满足ｉｎｆ—ｓｕｐ条件；２）当方程呈现对流占优 时，其有限元解会出现震荡．为了克服上述困难，采 用稳定化技巧的混合有限元方法应运而生．目前常 用的稳定化方法主要是基于残差的稳定化方 法【３叫 和基于非残差的稳定化方法 ．又因为 基于非残差的稳定化方法不需要计算二阶导数，使 得稳定化格式简单而受到更多的关注． 低阶元和等阶元在工程计算中的应用非常广 泛，Ｐ．Ｂ．Ｂｏｃｈｅｖ等¨ 、Ｌｉ Ｊ． 以及Ｃ．Ｒ．Ｄｏｈｒ－ ｍａｎ等¨ 分别对Ｓｔｏｋｅｓ问题的低阶元和一般等阶 元（Ｐ，一Ｐ。，Ｑ 一Ｑ ）的压力投影稳定化方法给出 了详细的理论分析．Ｌｉ Ｊ．等【１４ ３和Ｈｅ Ｙ．等＿１ 又把 压力投影稳定化方法推广应用到Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方 程，并给出了详细的理论分析和数值算例，其中，文 不稳定性，并且在时间计算上，每次只用进行线性 计算，从而提高了计算效率． 另一方面，不可压缩流体的非协调有限元相对 于协调有限元方法更加简单，单元自由度较少，并 且满足局部守恒条件，从而受到更多的关注和应 用．在计算的过程中，变量之间的关联仅在相邻边 的中点，所形成的方程未知数较少，进而更加有利 于并行计算．文献［１２，１４］对Ｓｔｏｋｅｓ方程和 Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程提出了一类局部稳定的协调有 限元方法．其速度一压力有限元空间是Ｐ，一Ｐ 元， 基于高斯积分构建稳定项，得到的新的有限元格式 是稳定的，成功地绕开了ｉｎｆ—ｓｕｐ条件对等阶有限 元的约束．随后文献［１７］又将此稳定化方法推广应 用到非协调元上计算Ｓｔｏｋｅｓ方程，其速度一压力有 限元空间是非协调元ＮＣＰ，一Ｐ 元，并给出了详细 献［１４］对于瞬态的Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程基于高斯积 分提出了一种压力投影稳定化方法，有限元空间是 采用的最低阶的等阶元．该方法虽然成功地绕开了 收稿日期：２０１６—１０—２０ 的理论分析和数值算例．相对于一般的非协调元 Ｃｒｏｕｚｅｉｘ—Ｒａｖｉａｒｔ（Ｃ—Ｒ）元，ＮＣＰ】一Ｐ１元虽然不 基金项目：国家自然科学基金（１１５７１２４５和１１３７１２６７）、９７３项目子课题（２０１１ＣＢ３０１８００）和四川省教育厅自然科学研究一般项目（１ｌＺＢ０８３和 １５ＺＡ００３１） 第一作者简介：张莉（１９８２一），女，讲师，主要从事计算数学的研究，Ｅ—ｍｍｌ：ｌｉｚｈａｎｇ＿ｈｉｔ＠１６３．ｃｏｍ ４３６ 四川师范大学学报（自然科学版） 第４Ｏ卷 满足ｉｎｆ—ｓｕｐ条件，但是计算更加精确．这类局部 稳定的有限元方法【１ ’¨’” 比传统的混合有限元方 法更加简单、有效且不依赖于稳定化参数． 受以上讨论的启发，本文针对非定常的 Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程，建立了一种既能克服对流占 优所引起的震荡，又能绕开ｉｎｆ—ｓｕｐ条件限制的非 协调有限元稳定化方法．特别地，本文所给的投影 不需要将速度或压力投影到异网格上进行计算，利 用外推公式将非线性格式转换为线性格式，从而大 大地减少了计算量，提高计算效率． １非定常Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ问题 本文考虑如下非定常Ｎａｉｖｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程 ／Ｚ 一Ａ△“＋（ ・Ｖ） ＋Ｖｐ＝厂， ｉｎ Ｑ， 。‘ ， （１） Ｍ＝０，ｏｎ［０，Ｔ］Ｘ Ｆ， ’ｕ（ｘ，０）＝Ｍ０（ ），ｉｎ力， 其中， ｃＲ 为多边形区域，其边界Ｆ＝ａ 满足 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ连续性，且Ｑ＝［０，Ｔ］Ｘ ，Ｔ＞０．“（ ，ｔ）∈ Ｒ 为速度，Ｐ（ ，ｔ）∈Ｒ为压力，ｆ（ ，ｔ）∈Ｒ 为体 力，Ａ＝Ｒｅ 为粘性系数，Ｒｅ为雷诺数，Ｔ＞０为最终 时间，“ ＝ ，引入记号： ￡ （Ｑ）＝｛ ∈ （Ｑ）Ｉ ｆ ｎ ｇｒｄｌｌ＝０｝， 日 （Ｑ）＝｛ ∈日 （Ｑ）ｌ ＝０，ｏｎ Ｆ｝， Ｖ＝｛ ∈Ｘ：ｄｉｖ秽＝０｝， ＝日 （ｎ） ， Ｍ＝￡ （ｎ），ｏ（ａ）：（日 （Ｑ） ｎ ）． （・，・）和ｌｌ・ｌＩ。，分别表示空间 （Ｑ）（或 ￡ （Ｑ）。）的内积和范数，（（“， ））＝（Ｖ“，７ ）， ｌＩ ｌｌ。＝（（ ，“））Ｔ表示日 （Ｑ）和 空间的内积 和范数．在空间日 （Ｑ）中，Ｉ・Ｉ。＝ＩＩ Ｖ・ｌＩ。与 Ｉ１・ｌＩ 是等价的，因此统一用ｌｌ・ｌｌ。表示 Ｉ・Ｉ 和ｌＩ・ｌｌ ． 问题（１）的等价变分格式为：求（“，Ｐ）∈ Ｘ Ｍ，ｔ∈［０，Ｔ］，对Ｖ（ ，ｑ）∈ Ｘ Ｍ，满足关系 （ｕ ， ）＋Ｂ（１１，，Ｐ； ，ｑ）＋ｎｌ（ ；ｕ， ）＝（ｆ， ）， ｕ（ｏ）＝１１，。， （２） 其中 Ｂ（Ｍ，Ｐ； ，ｑ）＝Ａ口０（ ，口）＋ｂ（“，ｇ）一ｂ（ ，Ｐ）， Ｖ（ ，Ｐ），（ ，ｇ）∈ ×Ｍ， ００（１１，， ）＝（Ｖ ，Ｖ ）， Ｖ ， ∈ ； ｂ（“，ｑ）＝（ｑ，７・Ｍ）， Ｖ Ｍ∈ ，ｑ∈Ｍ， 口。（Ｍ； ， ）＝ １（ ・７ ｖｗ）一 １（ｕ・７ ｗ，，ｖ）， ＶＭ， ，叫∈Ｘ， 且口。（ ； ， ）有如下性质： １ ０，（ ； ， ）Ｉ≤Ｃ ｌｌ Ｖ Ｉｌ Ｉ ＪＶ“Ｉｌ ０ ｌＩ Ｖ Ｉｌ ０， １ ｌ １ ０。（ ； ， ‘）Ｉ≤ｃ ｌ ｌ７ Ｉ ｌＸ ｌｌ ｌ ｌ× １ １ ｌ ｌ Ｉ７ ｌ ｌＸ ｌ ｌ７ Ｉ ｌ×ｌｌ Ｖ ｌ Ｉ． ２非协调有限元稳定化方法 对区域力进行正则三角形剖分，记下 ＝ ｛Ｋｆ｝， ＝ｕ Ｋ『．ｈｆ为单元Ｋｆ的直径，ｈ＝ｍ ｈ『． ’ ’ ’ 。 Ｋ．Ｅｔ＾ 厂 ａ力ｎ ａ ，Ｆ ＝ａ ｎ ＯＫ ， 为， 的中点， ［ ］ Ｉ， 一 Ｉ，Ｈ表示跳量． 定义 Ｐ （ ）＝｛ ∈Ｈ （ ）： ｌ ∈Ｐ （Ｋ），ＶＫ∈ ｝， Ｖ ｎ＞０， 其中Ｐ （Ｋ）为单元Ｋ上所有次数小于等于ｎ的多 项式集合． 本文考虑如下的速度和压力的有限元空间： Ｘ ＝ＮＣＰｌ，Ｍ ：Ｐｌ，其中 ＮＣＰｌ＝｛ ∈Ｌ （ ）：“ｌ Ｋｉ∈（Ｐｌ（Ｋ ））， （ ） “（ 材）， （ ） ０，Ｖ ，Ｋ ∈ｒ ｝， Ｐ１＝｛Ｐ∈Ⅳ （ ）ＮＭ：ｐＩ ∈Ｐｌ（Ｋｆ），Ｖ 下 ｝， 其中Ｐ （Ｋ，）表示单元Ｋ 上所有次数小于等于１的 多项式集合．由定义不难得到空间ＮＣＰ 满足相容 性条件： Ｊ ［ｒ ］ｄｓ＝０， ＪＪ ｒｌ ｕｄｓ＝０， 和下列性质¨ ： 对于任意的（ｕ，Ｐ）∈ ＸＭ，存在（ ，仃ｐ）∈ ×Ｍ 使得 ｌ ＩＭ—ＩＩｕ ｌＩ ．＾＋Ｉ ｌＰ—Ｊ Ｉ１ ０≤Ｃ （１ １１１，ｌｌ ｌ＋ｌｌ Ｐ ｌＩ。）， 对于任意的（Ｍ，Ｐ）∈（日 （Ｑ）ｎ ）×（日 （Ｑ）ｎ ），存在（ＩＩｕ， ）∈Ｘ Ｘ Ｍ 使得 Ｉｌ“一』 ｌ ｌｏ＋ｈ（Ｉ ｌ—ＩＩｕ ｌ ｌ１．＾＋Ｉｌ Ｐ— ｌ ｌ０）≤ （１Ｉ ｌｌ ２＋Ｉｌ Ｐ ｌＩ。）， 其中ｌｌ・ｌＩ。， ＝（∑Ｉ・Ｉ ， ） １为能量范数．基 于高斯积分引入稳定项Ｇ （・，・）： Ｇ （ｐ，ｇ）＝∑｛Ｊ ｐｑｄｘ—Ｊ ｐｑｄｘｔ， 第４期 张莉，等：非定常Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程的一种非协调有限元投影稳定化方法４３７ Ｖｐ，ｑ∈ （Ｑ）， 为了便于表述，引入如下记号和引理： 定义２．１对Ｖ（Ｍ，Ｐ），（ ，ｑ）∈ Ｘ Ｍ，有 其中Ｊ ｇ（ ）ｄｘ表示单元 ｆ上的Ｇａｕｓｓ积分的近 ， 似，且当多项式次数ｉ＝１，２时，等于Ｇａｕｓｓ积分．另 外，ｇ（ｘ）＝ｐ（ ）ｇ（ ）是次数小于等于２次的多项 式．进而，定义ｐ ：Ｌ （Ｑ）一 为标准的 投影， 其中 表示单元Ｋ 上的分片常数函数集合，满足 如下性质［ｘ７－１８］： （ｐ ，ｑ）＝（Ｐ，ｇ）， Ｖｑ∈Ｍ， ｌＩ ｐ ｇ Ｉｌ ｏ≤Ｃ Ｉ ｌｇ ｌ ｌ０， Ｖ ｇ∈Ｍ， ＩＩ（，＿ｐ＾） 。≤ Ｉｌｇ ｌＩ，，Ｖｑ∈ （Ｑ）ｎ （３） 记 口。ｈ（Ｍ， ）＝Ａ∑（７ ，Ｖ ｖ）即 ６ （ ，ｇ）＝∑（Ｖ・ ，ｇ） Ｇ （ｐ，ｇ）＝∑（（卜ｏｈ）ｐ，（卜ｐｈ）ｑ） ， ｔ：１， １（“， ）＝下１∑（（（ｕ・７） ） ，一 （（ ・Ｖ） ， ） ）， 日 （ｕ，ｐ； ，ｑ）＝口 （ ，口）一ｂ （“，ｑ）一 ｂ （ ，ｇ）＋Ｓ （ ，口）＋Ｇ （Ｐ，ｑ）． 定理２．１［＂ 存在与 、Ａ、后无关的正常 ， 对任意的（ｕ ，Ｐ ），（ ，ｇ ）∈Ｘ ＸＭ ，使得 ＩＢ （ ，Ｐ ； ，ｑ ）Ｉ≤ Ｃ（１ｌ“ Ｉｌ。． ＋ｌＩ Ｐ ｌＩ。）（１ ｌｌ ｌ． ＋ＩＩ ｇ Ｉｌ。）， 卢（１Ｉ ｌｌ。． ＋ｌＩ Ｐ ＩＩ ｏ）≤ … 旦！（些！：卫 ！ 望 ） ’ ， ｌＧ＾（ｐ＾，ｇ ）Ｉ≤Ｃ ｌＩ（，一ｐ ）ｐ＾ｌ ｌ０ ｌＩ（，一Ｐ ｈ）ｇ＾ｌ ｌ０． 记ｕ：、ｚ：、ｒ：和ｇ：分别是 ．ｒ 和ｇ 的空 间逼近引入如下稳定项来克服高雷诺数下对流占 优引起的震荡： Ｓ （ ， ）＝ （（，一仃ｚ—１） ，（，一仃ｚ—１） ）， Ｖ ＩＩ， ， ∈Ｘ ， 其中， 为稳定化参数，仃 ： （Ｑ）一 （Ｐ㈩（丁 ）） 是标准的全局或局部 。投影，且满足 性质 （ ， ）＝（ —ｌ ， ＾），Ｖ ∈ ，秽＾∈（Ｐ ｚ一１（ ＾）） ， ｌＩ仃ｚ—ｌＭ ｌ ｌ０≤Ｃ ｌ ｌｌ ｌ０， Ｖ Ｍ∈ ， ｌＩ 一７ｒ ｆ－ｌｕ ｌｌ ０≤Ｃｈ‘Ｉｌ １１，ｌＩ ｚ， ＶＭ∈ ｎ日 （ ＾）． （４） Ｂ （ ，Ｐ； ，ｑ）＝Ｂ（ ，Ｐ； ，ｑ）＋Ｓ （“， ）＋Ｇ （Ｐ，ｑ）， Ｉ ｌｌ（ｕ，ｐ）ｌ ＩＩ ＝Ａ Ｉ Ｉ ＋ ｌｌ（，一仃 一。） ｌ ｌ＋ Ｉｌ（，一ｐ ）Ｐ ｌＩ ． 根据文献［１０］，有下列稳定性结论： 引理２．１对于任意的Ｐ ∈Ｍ ，存在常数口。 满足： ｓ ｕ ｐ — ＋Ｇ （ｐ ｈ￣ｐ ｈ）÷≥』９。ｌｌ ｐ ｌｌ。， 其中Ｇ （ｐ ，Ｐ ）＝ＩＩ（，－－Ｐ ）Ｐ ）ＩＩ ． 用类似于文献［７，１Ｏ］的方法可以得到如下 定理： 定理２．２对任意（Ｍ ，Ｐ ）∈ ＸＭ ，有 ＩＢ （ ，Ｐ； ， ）Ｉ≤ＣＩ ｌｌ（ｕ，Ｐ）ｌＩ Ｉ Ｘ Ｉ Ｉｌ（ ，ｑ）ｌ ｌＩ， ９：・ｌｌ（ｕ ｈ，ｐ ｈ）ｌｌ・ ≤ ｓｕ ｐ ， ，， ；‘！ ， 其中常数 与ｈ和 无关． 由此，得到（１）式的一个新的有限元稳定格式： 对Ｖ（口 ，ｑ ）∈ ＸＭ 和所有ｎ≥１，使得 （ ， ）＋ ａ ［ 一 ］； ）＝ （ ￡ ＋ １）， ）， （５） 其中 ＞０是给定一个时间步长，（配 ，Ｐ：）∈ × Ｍ 为已经求解出来的值， ｔ ＝ ，“ （ ）一“（ ，ｔ ），ｐ （ ） ｐ（ ，ｔ ）， ，“ ｈ］：＝÷ ：一÷ ：一。 是一个外推公式， ＋÷：＝ ．当凡＝ｏ时，令 １＝０． 下面将详细证明格式（５）是稳定的，并且误差 精度能达到０（ｈ ＋（后） ）． ３稳定性与误差分析 ３．１ 稳定性 为了推导过程中的形式简单，记 Ｍ：： ｈ． 定理３．１ 格式（５）是稳定的，即对任意的ｈ， ， ＞０满足 ４３８ 四川师范大学学报（自然科学版） 第４Ｏ卷 Ｉ Ⅳｌｌ １２。＋ ∑（Ａｌ１ Ⅳ一１ ＋ ２ ｌ１（Ｉ－－Ｐ ｈ） ÷（ ＋ ）． 证明 在（２）式中，取 可得 盟ＩＩ ≤ （７） ２ ０ｃ ｌｌ（，一仃 一 ）ｕ： 寺ｌｌ ＋２ Ｉｌ（，一ｐ ）ｐ 寺ｌＩ ≤ （０）ｌＩ。２＋ ∑（ 证明÷） ）．（６） ｎ＋士， ∈ ，Ｐ∈Ｍ， 在（５）式的第一个式子中，取（ ，ｑ ）＝ （ ： 寺，ｐ： 寺），由０ （・； ，ｕ）＝０可得 （ｕ （ｔ ＋÷）， ）＋Ａ口 （ （ｆ ＋÷）， ）一 ｂ ｈ（ ，ｐ（ｔ ＋÷））＋ｂ ｈ（ｕ（￡ ＋÷），ｑ ｈ）＋口 （“（ ＋｝）； （ ¨Ｉｌ。２一 ２＋Ａ ２ｌＩ＾＋ ｌＩ（，一仃ｆ一。）Ｍ： 寺ｌ ｌ＋ｌｌ（，一ｐ＾）ｐ： 寺ｌ ｌ≤ Ｃ，（ｔ ＋｝） ＋ ｕ ２． 将上式两边同时对ｎ从０到Ⅳ一１求和，可得（６） 式．证毕． ３．２误差估计 定义３．１对任意（ ，ｇ）∈Ｘ Ｘ Ｍ，（ ＾，ｑ ｈ）∈ Ｘ ｘＭ ，令投影算子（Ｐ＾，Ｑ＾）：Ｘ× — ＸＭ 满 足如下关系： Ｂ （Ｐ （ ，ｑ），Ｑ （ ，ｇ）； ＾，ｑ＾）： （ ，ｑ； ＾，ｇ＾）， 其中 （ ，ｇ； ＾，ｇ＾）＝Ｂ （ ，ｇ； ＾，ｑ＾）一Ｇ （ｇ，ｑ＾）． 引理３．１ｍ 。 投影算子（Ｐ ，Ｑ ）满足如下 性质：对Ｖ ，ｑ∈ ＸＭ，则 ｌＩ 一Ｐ＾（ ，ｇ）Ｉｌ ．ｈ＋Ｉｌ ｑ—Ｑ＾（ ，ｑ）ｌ１ ０≤ ｃ（ ＩＩ。＋ｌＩ ｑ ｌＩ。）， 对Ｖ ，ｑ∈（日 （Ｑ）ＮＸ）×（日 （Ｑ）ＡＭ），贝０ ｌｌ 一Ｐ＾（ ，ｇ）ｌ ｌ０＋ｈ（１ ｌ一Ｐ＾（口，ｇ）ｌＩ １．＾＋ ｌ１ ｑ—Ｑ （ ，９）ｌｌ。）≤ｃ （ＩＩ Ｉ ｌ＋Ｉｌ ｇ ｌ ｌ）． 定理３．２ 设Ｍ∈Ｌ （０， ；Ｈ （ ））ｎ Ｌ （０，Ｔ；Ｌ （力））ｎ Ｃ。（０， ；Ｈ （力）），Ｖ ∈ Ｌ （０，Ｔ；Ｌ （ ））， ∈Ｌ （０， ；Ｈ （ ））ｎ Ｌ （０，Ｔ；Ｌ。（力）），Ｖ ∈Ｌ （０，７１；Ｈ （ ）），“ ∈ Ｌ （０，Ｔ；Ｌ （ ）），Ｐ ∈ （０，Ｔ；Ｌ （ ）），，∈ （０， Ｔ；Ｈ （ ）），并且（Ｍ：＋ ，ｐ ＋ ）是方程（５）的解，则 存在一个与ｈ、 、Ａ无关的常数ｃ＝ｃ（力，“，Ｐ，Ｔ， ＞０，对Ｖ ｎ∈｛０，１，…，Ｎ一１｝使得 Ｉ｝ （ｔ川）一 ：＋１ Ｉ ｌｏ＋ Ｊ｝主 Ｉ ２＋ 一 ） 盟 ２ 。（ ＋÷）， ）＝（ ￡ ＋上）， ）， Ｖ ∈ ，ｑ ∈Ｍ ． （８） （８）式减去（５）式可得 （ｕ （ ÷）一 ， ｈ）＋ Ａ口 （ｕ（￡ ＋号）一 ， ）一 ｂ ｈ（ ＾，ｐ（￡ ＋÷）一 ）＋ ｂ ｈ（ （ ÷）一半，ｇ ｈ）一 Ｓｈ（（ ）一Ｇｈ， ）一（（ 出 ，ｇ）＋ ｈ＋ ￣ａｌ（Ｕ（ｔ ＋÷）； （ｔ ＋．｝）， ）一 。 （ｚ ［ ｈ，Ｍ ｈ一。］； ！ ， ）＝０．（９） 令 ｅ ：＝ （ｔ ）一 ＝（ｕ（ｆ ）一Ｐ （ｕ ，Ｐ ））＋ （Ｐ （ｕ ，ｐ ）一 ：）＝：叼 ＋咖：， ：＝ｐ（ ）－ｐ：＝（ｐ（ｔ ）一Ｑ （ ，Ｐ ））＋ （Ｑ （ ，ｐ ）一ｐ：）＝： ＋ ｈ ． （１０） 对 ＝。， ，咖 ， ， ， ，定义 ＋÷：＝ ．从 （９）式中加上并减去 （兰 三 ＋＿＿ｌ ）＋Ａ口 （兰 三 ＋＿＿ｌ ， 二 ， ）一 ６ （ ＾， ）＋６ （竺 二 ，口 ）＋ Ｓ ｈ（ ， ）＋ ０ （ （ｔ ＋上）＋Ｅ［ （ｔ ）， （￡ ）］＋ “ ｈ，ｕ ｈ］； ， ），（１１） 第４期 张莉，等：非定常Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程的一种非协调有限元投影稳定化方法４３９ 口Ｊ得 （ ， ）＋Ａ口 （ｅ ＋÷， ）一６ （ ＾，。ｒ ＋÷）＋ ６ （ｅ ＋÷，ｇ ）＋Ｓｈ（ｅ ＋÷， ）一Ｇｈ（ ，ｑ ｈ）＝ 一口 （ ｕ ，“ ｈ］；ｅ ＋士， ）一 口 （ ［ ， 一。］； ！ ！． ， ）＋ （ｕ，Ｐ， ）， （１２） 其中 （ ，ｐ， ）＝（兰 三 一 （ ＋÷）， ）＋ Ａｎ （兰 三 ＋＿ 一Ⅱ（ｔ ＋｝）， ）一 ＾， 一Ｐ（ｔ ＋ ））＋ Ｓｈ（ ， ｈ）＋ 口 （ （ｔ ＋÷）；兰 三ｎ－＿＋ 一 （￡ ＋÷）， ）＋ ０ （ （ｔ ），ｕ（ｔ 一－）卜ｕ（ｔ 峙）； ＾ ，， ，’）． （１３）＼一一， 在（１２）式中令Ｖｈ＝咖 ＋｛，ｑ ＝．ｒ：＋｝，则可得 （ 兰 ＿ｌ二 ， ：＋÷）＋Ａ ＩＪ咖：＋÷ＩＩ ２。＋ ， ｌｌ（，一仃 一。）咖 ＋÷ＩＩ。２＋ＩＩ（，一Ｐ ）ｒ：＋÷ＩＩ。２＝ 一（ ，靠÷）一 口：（ ｕ ，ｕ ｈ］；ｅ ＋÷， ：＋÷）一 口 （ ［ ， 一。］；！！ ！ ！ — ， ｝． ｈ＋ Ｉ ）＋ （ ，Ｐ， ＋｝）． （１４） 由Ｃａｕｃｈｙ—Ｓｃｈｗａｒｔｚ不等式和Ｙｏｕｎｇ不等式易得 ．ｊＬ堡 Ｌ墨２ｋ ＿＝＿．ｊ ＋Ａ ｎ Ｉ咖 ｈ＋ ＩＩｌ，。 ＋ ＾ ｌＩ（卜７ｒ㈠） ＋÷ＩＩ。２＋ＩＩ（卜Ｐ ） ：＋÷ＩＩ ≤ ，ｌ＋，２＋，３＋Ｉ （ｎ，Ｐ，咖：＋２－＇－）Ｉ， （１５） 其中 ，。＝ｌ＿（ ，靠÷）Ｉ， ，：＝Ｉ口 （Ｅ［ ：， ｈ一。］；ｅ ＋ １，咖：＋÷）Ｉ， ，３：ｌ口：（Ｅ［ ］； ＇ｑｂｈ— １）Ｉ．（１６） 接下来估计 ，２、Ｊ『。．对，。由Ｙｏｕｎｇ不等式得 ，。 Ｉ靠÷ＩＩ ， ＋ Ｃ ＩＩ ＩＩ ．（１７） 在口 （Ｅ［ ：， ｈ］；ｅ ｎ＋÷， ：＋÷）中加上并减去 口 （Ｅ［ （ｆ ）， （ｔ 一。）］；ｒｌ ＋ １，咖：＋士），由三角不等 式和口 （‘；咖：＋÷，咖：＋｝）＝０，再由Ｙｏｕｎｇ不等 式得 ， ≤３ Ａ ＩＩ咖：＋÷ＩＩ ， ＋ ｝ＩＩ ｝ＩＩ ２１．＾（ＩＩ Ｅ［“（ｔ ）， （ －）］ＩＩ ， ＋ ｌ ｌＥ［叼 ， 一１］Ｉ ｌ．＾＋ ＩＪ Ｅｌ４， ， 一 ］ＩＩ。ｆ ＪＥｌ４，：， ：一。］ｆｌ。． ）．（１８） 由Ｅ［・，・］的定义和 的正则性及逆不等式得 ｌＩ Ｅ［ （ｔ ）， （ｔ 一 ）］ｌＩ。≤ｃ， Ｉ ｌＥ［ ， 一。］ｌＪ。≤ ÷ＩＩ叼 ＩＩ ＋ １ ＩＩ Ｊ，７ 一。ＩＩ。， （１９） Ｉ Ｅｌ４，：，咖：一 ］ｌＩ。『ｌ Ｅ［咖 ，咖：一 ］ｌＩ ≤ ｃｈ （ＩＩ 。＋ｌｌ咖：一。Ｉｌ。）２． （２ｏ） 将（１９）和（２ｏ）式代人（１８）式，则有 ｌｚ≤３ Ａ ＩＩ咖：峙ＩＩ ， ＋ Ｃ ＩＩ叩 砖ＩＩ × ， ［１＋Ｉ ｌ７＂／ ｌ ｌ。＾十ｌＩ叼 一ｌ ｌ Ｉ，＾＋ ｈ （１Ｉ咖 ＋ｌｌ咖：一。ｌＩ ）］．（２１） 下面考虑，。的估计．由三角不等式、Ｙｏｕｎｇ不 等式以及ｕ的正则性有 １３≤２占Ａ ＩＩ咖：峙ＩＩ ２ｌ，＾＋｝（ＩＩ叩 ＩＩ ２ｌＩ＾＋ ＩＩ叼 一。Ｉ Ｉ，２． ＋ｌｆ咖：ｌｌ ＋ｌｌ咖：一 ｌＩ ）．（２２） 最后考虑Ｉ Ｔ （ ，Ｐ，咖 ＋ １）Ｉ，其中线性项的估 计由Ｙｏｕｎｇ不等式和泰勒公式可得 Ｉ（兰 三 一 （ｆ ＋÷），咖：＋｝）Ｉ≤ Ａ ＩＩ ＋士ＩＩ ２ ＋ ＩＩ“ （ 。）ＩＩ。２， ＡＩ。 （ 一ｕ（ ÷），咖ｈ啊１）ｌ≤ Ａ『Ｊ咖：＋÷ｌ ｌ２。，＾＋ｃＡ后 Ｉ ＩＵｕ（ ｎ＋０２）Ｉ Ｉ。２，＾， 四川师范大学学报（自然科学版） 第４Ｏ卷 ｉｂ ｈ（咖ｈ ＋丁１， 三 ＋ｕ 一ｐ（￡ ＋÷））Ｉ≤ Ａ ＩＩ咖：峙ＩＩ ２Ⅲ＋ ｃｋ￣ｌｉ ｐ （ｔ ｎ＋Ｏ３）ＩＩ。２， Ｉｓ （ ，靠÷）ｌ≤ 旦２ ＩＩ（卜仃Ｈ） ：峙Ｉ Ｉ， ＋ 詈（ＩＩ（卜丌㈠） （ｔ ｎ＋１）ＩＩ ２ｌＩ＾＋ ｌｌ（，＿‘订 ）“（ｔ ）ｌ Ｉ． ）， （２３） 其中０ ，０ ，０３∈（ｏ，１）．对于Ｉ （ｕ，Ｐ，咖：＋ ）Ｉ中的 非线性项，用泰勒公式、Ｙｏｕｎｇ不等式以及 的正则 性假设可得 Ｉ口 （“（ｔ ＋÷）；兰 三 ＋＿ 一 （ ＋÷），咖：＋÷）＋ ０ （Ｅ［ｕ（ｔ ）， （ｔ 一。）］一Ｍ（ｔ ＋ ）； ２ ’， 靠｝）Ｉ≤ 。、 ｓＡ ＩＩ咖：＋÷ＩＩ ， ＋等（ＩＩ“ （ 一 ）ＩＩ ２Ｉ．＾＋ ｌＩ （ｔ 一。＋口 ）ｌｌ ， ）， （２４） 其中０ ，０ ∈（０，１）．于是 Ｉ （ｕ，ｐ， ：＋｛）ｌ≤４ｓＡ ＩＩ咖：＋÷ｌ Ｉ， ＋ 詈ＩＺ－． Ｉ（卜 Ｈ）靠÷Ｉ‘ Ｉ ２ｌＩ＾＋牛［Ｉ＾ Ｉ（ ｝‘ ）ＩＩ２。＋ Ａ ｌｌ Ｕｔｔ（ｔ ＋ ）ｌＩ ， ＋Ｉ１ｐ （ｔ ＋ ，）Ｉｌ ＋ Ｉ ＩＵｔｔ（￡ｎ＋Ｏ４）ｌ ｌ， ＋ｌ ｌ１１．ｕ（ｔ 一。＋ ）ｌ ｌ， ］＋ 詈（ＩＩ（卜７ｒ㈩） （ ・）ＩＩ ２ｌ’＾＋ ｌｌ（，一竹㈠）ｕ（￡ ）Ｉｌ ２。． ）．（２５） 将（１７）、（２１）、（２２）、（２５）式代人（１５）式，并取ｓ＝ １／２０，可得 ２ｋ ＋Ａ－２ ｌ ４，￣＋｝ＩＴ ｌＩ， ＾ ＋ 等ＩＩ（卜丌㈩）咖 峙ＩＩ ， ＋ＩＩ（，＿ｐ ） ｈ｝ＩＩ ≤ ＩＩ ＩＩ。２＋（ＩＩ …ＩＩ ２ ＋ ＩＩ叼 一，ＩＩ ， ）（１＋ＩＩ＇７ ＋÷ＩＩ ， ）＋ （Ｉｌ咖 ｌｌ。２＋ｌｌ咖 一。ｌＩ。２）（１＋ｈ一 Ｉｌ叼 ＋÷ｌ１ ２。． ）＋ ｋ４（Ｉ ｌ（ｔ ＋ 。）ｌ Ｉ＋Ａ Ｉｌ“ （ｔ ｎ＋Ｏ２）Ｉｌ ＋ ， ｌｌｐ （ｔ ＋ ）Ｉ１ ＋ｌｌ“ （ｆ ＋ ）ｌｌ ， ＋ Ｉ ｌ（ｔ ）Ｉ ｌ． ］＋ 詈（１Ｉ（，＿仃㈩） （ｔ ｎ＋１） ２＋ ｌＩ（，＿。仃ｆ＿１）ｕ（ｔ ）ＩＩ ２，．＾）． （２６） 将（２６）式从１到 相加，并乘以２ 可得 ｌ ｌ：＋。 ＋Ｉｊ｝∑（ＡＩｌ以 ， ＋ ＩＩ（，一丌 一。） ＋｝Ｉ ｌ．＾＋２ ｌＩ（，一ｐ＾）下ｈ＋ 士Ｉ ｌ）≤ ＩＪ咖 ＋÷［ｈ ＋ ］＋ ｃ［１＋ ］ （２７） 当ｎ＝０时，取 ’＝０，（１４）～（２７）式的证明 中只有三线性项的估计有所不同．事实上，注意到 只需要将（２１）式的最后一行估计中取 ＝ｅ ＝ ０即可．因此有 ＩＩ咖 ＋ Ｉｌ咖 。 ＋ 孚ｌｌ（，一丌 一 ）咖 ｌＩ ， ＋２ ｌＩ（，一Ｐ ）ｒ ＩＩ ≤ ÷［ｈ ＋后 ］＋ ｃ［１＋ ］ｌＩ咖 。２．（２８） 由Ｍ和Ｐ的正则性假设，三角不等式和Ｇｒｏｎｗａｌｌ不 等式，并综合（２７）和（２８）式可得（７）式．证毕． ４结束语 本文对非定常Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程提出了一种 非协调有限元投影稳定化方法．速度／压力空间采 用非协调有限元ＮＣＰ。一Ｐ ，基本￡ 投影算子构建 速度和压力稳定项，由此构造的有限元方法不仅绕 开了ｉｎｆ—ｓｕｐ条件对等阶元的束缚，同时也克服了 高雷诺数下对流占优引起的振荡．文中给出了详细 的稳定性分析和误差分析，由误差估计可以得到误 差精度达到了Ｏ（ｈ ＋ ）．文中结合外推公式，将 非线性问题转化为线性格式进行处理，从而减少了 计算量提高了计算效率． 第４期 张莉，等：非定常Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程的一种非协调有限元投影稳定化方法 ４４１ 参考文献 ［１］ＧＩＲＡＵＬＴ Ｖ，ＲＡＶＩＡＲＴ Ｐ Ａ．Ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｃ］／／Ｌｅｃｔｕｒｅ Ｎｏｔｅｓ ｉｎ Ｍａｔｈ，７４９． Ｂｅｒｌｉｎ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｄａｇ，１９７４． ［２］ＢＲＥＺＺＩ Ｆ，ＦＯＲＴＩＮ Ｍ．Ｍｉｘｅｄ ａｎｄ Ｈｙｂｒｉｄ Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｍｅｔｈｏｄｓ［Ｍ］，Ｂｅｒｌｉｎ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｒｌａｇ．１９９１． ［３］ＺＨＯＵ Ｔ，ＦＥＮＧ Ｍ．Ａ ｌｅａｓｔ ｓｑｕａｒｅｓ Ｐｅｔｏｖ—Ｇａｒｌｅｒｋｉｎ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］． Ｍａｔｈ Ｃｏｍｐｕｔ，１９９３，６０（２０２）：５３１—５４３． ［４］ＤＯＵＧＬＡＳ Ｊ，ＷＡＮＧ Ｊ．Ａｎ ａｂｓｏｌｕｔｅｌｙ ｓｔａｂｉｌｉｚｅｄ ｆｉｉｔｎｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｓｔｏｋｅｓ ｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．Ｍａｔｈ ｃｏｎｐｕｔｉ，１９８９， ５２（１８６）：４９５—５０８． ［５］ＢＥＣＫＥＲ Ｒ，ＢＲＡＡＣＫ Ｍ．Ａ ｉｆｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｐｒｅｓｓｕｒｅ ｇｒａｄｉｅｎｔ ｓｔｂｉａｌｉｚａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｓｔｏｋｅｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｌｏｃａｌ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓ［Ｊ］． Ｃａｌｃｏｌｏ，２００１，３８（４）：１７３—９９． ［６］ＣＯＤＩＮＡ Ｒ．Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ａ ｓｔａｂｉｌｉｚｅｄ ｆｉｎｉｔｅ ｄｅｍｅｎｔ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｏｓｅｅｎ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｕｓｉｎｇ ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ ｓｕｂｓｅａｌｅｓ［Ｊ］．Ａｐｐｌ Ｎｕｍｅｒ Ｍａｔｈ，２００８，５８（３）：２６４—２８３． ［７］ＢＵＲＭＡＮ Ｅ．Ｐｒｅｓｓｕｒｅ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｓｔａｂｉｌｉｚａｔｉｏｎｓ ｏｆｒ Ｇａｌｅｒｋｉｎ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓ ｏｆＳｔｏｋｅｓ’ａｎｄ Ｄａｒｃｙ’ｓ ｐｒｏｂｌｅｍ［Ｊ］．Ｎｕｍｅｒ Ｍｅｔｈ ＰＤＥ， ２００８。２４（１）：１２７—１４３． ［８］ＦＥＮＧ Ｍ，ＢＡＩ Ｙ，ＨＥ Ｙ，ｅｔ １．Ａ ｎｅｗ ａｓｔａｂｉｌｉｚｅｄ ｓｕｂｇｒｉｄ ｅｄｄｙ ｖｉｓｃｏｓｉｔｙ ｍｅｔｈｏｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｐｒｅｓｓｒｅｕ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｅｘｔｒａｐｏｌａｔｅｄ ｔｒａｐｅｚｏｉｄａｌ ｒｕｌｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｔｒａｎｓｉｅｎｔ Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｊ Ｃｏｍｐｕｔ Ｍａｔｈ，２０１１，２９（４）：４１５—４４０． ［９］ＱＩＮ Ｙ，ＦＥＮＧ Ｍ，ＬＵＯ Ｋ，ｅｔ １ａ．Ｌｏｃａｌ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｓｔｂｉａｌｉｚｅｄ ｉｆｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆｒ Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ａｐｐｌ Ｍａｔｈ Ｍｅｃｈ，２０１０，３１（５）：６５１—６６４． ［１Ｏ］覃燕梅，冯民富，尹蕾．Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程的一种等阶稳定化亏量校正有限元法［Ｊ］．计算数学，２０１０，３２（１）：１—１４． ［１１］ＢＯＣＨＥＶ Ｐ Ｂ，ＤＯＨＲＭＡＮ ｃ Ｒ，ＧＵＮＺＢＵＲＧＥＲ Ｍ Ｄ．Ｓｔｂｉａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｌｏｗ—ｏｒｄｅｒ ｍｉｘｅｄ ｉｆｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｔｏｋｅｓ ｅｑｕａ． ｔｉｏｎｓ［Ｊ］．ＳＩＡＭ Ｊ Ｎｕｍｅｒ Ａｎａｌ，２００６，４（１）：８２—１０１． ［１２］ＬＩ Ｊ，ＨＥ Ｙ．Ａ ｓｔａｂｉｌｉｚｅｄ ｉｆｎｉｔｅ ｄｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｗｏ ｌｃａｌｏ Ｇａｕｓｓ ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｓｔｏｋｅｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｊ Ｃｏｍｐｕｔ Ａｐｐｌ Ｍａｔｈ，２００８，２１４：５８—６５． ［１３］ＤＯＨＲＭＡＮ Ｃ Ｒ，ＢＯＣＨＥＶ Ｐ Ｂ．Ａ ｓｔａｂｉｌｉｚｅｄ ｉｆｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ｏｒｆ ｔｈｅ ｓｔｏｋｅｓ ｐｒｏｂｌｅｍ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｏｌｐｙｎｏｍｉａｌ ｐｒｅｓｓｕｒｅ ｐｒｏｊｅｃ． ｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｉｎｔｅｒ Ｊ Ｎｕｍｅｒ Ｍｅｔ｝ｌ Ｆｌｕｉｄｓ，２００４，４６（２）：１８３—２０１． ［１４］ｕ Ｊ，ＨＥ Ｙ，ＣＨＥＮ ｚ．Ａ ｎｅｗ ｓｔａｂｉｌｉｚｅｄ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ｏｒｆ ｔｈｅ ｔｒａｎｓｉｅｎｔ Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔ Ｍｅｔｈ Ａｐｐｌ Ｍｅｃｈ Ｅｎｇｉｎｅ，２００７，１９７（１／２／３／４）：２２—３５． ［１５］ＨＥ Ｙ，ｕ Ｊ．Ａ ｓｔａｂｉｌｉｚｅｄ ｉｆｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｌｏｃａｌ ｏｌｐｙｎｏｍｉａｌ ｐｒｅｓｓｕｒｅ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｈｅ ｔｓｔａｔｉｏｎａｒｙ Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ａｐｐｌ Ｎｕｍｅｒ Ｍａｔｈ，２００８，５８（１Ｏ）：１５０３—１５１４． ［１６］覃燕梅，冯民富，周天孝．瞬态Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程的一种新的全离散粘性稳定化方法［Ｊ］．应用数学与力学，２００９， ３０（７）：７８３—７９８． ［Ｉ７］ｕ Ｊ，ＣＨＥＮ Ｚ．Ａ ｎｅｗ ｌｏｃａｌ ｓｔａｂｉｌｉｚｅｄ ｎｏｎｃｏｎｆｏｒｍｉｎｇ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｓｔｏｋｅｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ，２００８， ８２（２／３）：１５７—１７０． ［１８］ＪＩＮＧ Ｆ，ＳＵ Ｊ，ＺＨＡＮＧ Ｘ，ｅｔ １．Ｃｈａｒａａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｓｔｂｉａｌｉｚｅｄ ｎｏｎｃｏｎｆｏｒｍｉｎｇ ｉｆｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ｏｒｆ ｈｔｅ ｕｎｓｔｅａｄｙ ｉｎｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅ Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｃｈｉｎ Ｊ Ｅｎｇｉｎｅ Ｍａｔｈ，２０１４，３１５：７６４—７７８． Ａ Ｓｔａｂｉｌｉｚｅｄ Ｎｏｎｃｏｎｆｏｒｍｉｎｇ Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｍｅｔｈｏｄ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｌ Ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｎｏｎ・—ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ Ｎａｖｉｅｒ－－Ｓｔｏｋｅｓ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ＺＨＡＮＧ Ｌｉ ，Ｗ＿ＡＮＧ Ｙａｎｚｈａｏ ， ＳＯＮＧ Ｗｅｉｐｉｎｇ （１．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｓｏｆｔｗａｒｅ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｓｉｃｈｕａｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｅｎｇｄｕ ６１００６６，Ｓｉｃｈｕａｎ； ２．Ａｏｓｔａｒｌｎｆｏｒｍａｔ￣ｎ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｉｅｓ Ｃｏ．Ｌｔｄ，Ｃｈｅｎｇｄｕ ６１００４１，Ｓｉｃｈｕａｎ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｗｅ ｐｒｏｐｏｓｅ ａ ｎｅｗ ｓｔｂｉａｌｉｚｅｄ ｎｏｎｃｏｎｆｏｒｍｉｎｇ ｆｉｉｔｎｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｌ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ Ｎａｖｉｅｒ・Ｓｔｏｋｅｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｈｉＳｈ Ｒｅｙｎｏｌｄｓ ｎｕｍｂｅｒ．Ｔｈｉｓ ｎｏｎｃｏｎｆｏｒｍｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ｕｓｅ ｔｈｅ ｌｏｗｅｓｔ ｅｑｕａ１．ｏｒｄｅｒ ｐａｉｒ ｏｆ ｍｉｘｅｄ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅ－ ｍｅｎｔｓ（ｉ．ｅ．，ＮＣＰＩ—Ｐ１）．Ｔｈｅ ｓｃｈｅｍｅ ｎｏｔ ｏｎｌｙ ａｖｏｉｄｓ ｔｈｅ ｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔ ｃａｕｓｅｄ ｂｙ ｈｅ ｔｉｆ－ｎｓｕｐ ｃｏｎｄｉｉｔｏｎ ｂｕｔ ｌｓａｏ ｏｖｅｒｃｏｍｅｓ ｔｈｅ ｃｏｎ－ ｖｅｃｔｉｏｎ ｄｏｍｉｎａｔｉｏｎ ｃａｕｓｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｈｉＳｈ Ｒｅｙｎｏｌｄｓ ｎｕｍｂｅｒ．Ｗｅ ｔｒｎｓｆａｏｒｍ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｎｔｏ ａ ｌｉｎｅａｒ ｐｒｏｂｌｅｍ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ Ｅｘｔｒａｐｏｌａ－ ｔｉｏｎ ｆｏｒｍｕｌａ ｔｏ ｓｉｍｐｌｉｆｙ ｔｈｅ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ．Ｔｈｅ ｓｔｂｉａｌｉｔｙ ａｎｄ ｅｒｒｏｒ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｉｎ ｄｅｔａｉｌ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；Ｌ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ；ｈｉｇｈ Ｒｅｙｎｄｄｓ ｎｕｍｂｅｒ；ｅｘｔｒａｐｏｌａｔｉｏｎ ｆｏｒｍｕｌａ ２０１０ ＭＳＣ：４９Ｊ２０；４９Ｋ２０；６５Ｍ１２；６５Ｍｔ０ （编辑周俊）