第３０卷第１期 阜阳师范学院学报（自然科学版） Ｖｏ１．３０，Ｎｏ．１ ２０１３年Ｏ３月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｆｕｙａｎｇ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） Ｍａｒ．２０１３ 维可压缩Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程组整体弱解的存在性 孙美满 （武汉科技大学城市学院数学教研室，湖北武汉４３００８３） 摘 要：研究了粘性依赖于密度的舍外力项的一维可压缩Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔ０ｋｅｓ方程组的自由边界问题。粘性系数 （ｐ）和压 力尸（ｐ）为密度ｐ的一般函数，＃－ｇ－￣ｂ２项／为自变量 和￡的函数。在适当的假设条件下，利用差分方法，得到了弱解的整 体存在性和唯一性。为克服一般的粘性系数 （ｐ）和外力项．厂给研究带来的困难，文章得到了一些新的先验估计。 关键词：Ｎａｖｉｅｒ Ｓｔｏｋｅｓ方程组；依赖于密度的粘性；外力；整体存在性 中图分类号：Ｏ１７５．２９ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００４－４３２９（２０１３）Ｏ１－００１－０３ Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｗｅａｋ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｏｎｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅ Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ＳＵＮ Ｍｅｉ—ｍａｎ （Ｔｅａｃｈｉｎｇ ａｒｉｄ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｓｅｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｃｉｔｙ Ｃｏｌｌｅｇｅ， ｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ’ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｗｕｈａｎ Ｈｕｂｅｉ ４３００８３，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｆｒｅｅ ｂｏｕｎｄａ￣ｆｏｒ ｏｎｅ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅ Ｎａｖｉｅ￣・．Ｓｔｏｋｅｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｄｅｎｓｉｔｙ．ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｖｉｓｃｏｓｉｔｖ ａｎｄ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｆｏｒｃｅ ｉｓ ｓｔｕｄｉｅｄ．Ｐｒｅｃｉｓｅｌｙ，ｔｈｅ ｖｉｓｃｏｓｉｔｙ ｃｏｅｆｉｆｃｉｅｎｔ／￣（ｐ）ａｎｄ ｔｈｅ ｐｒｅｓｓｕｒｅ Ｐ（ｐ）ａｒｅ ｇｅｎｅｒｌａ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｎｓｉｔｙｐ．ａｎｄ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｆｏｒｅ ｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｖａｒｉａｂｌｅｘａｎｄｔ． Ｕｎｄｅｒ ｃｅｒｔａｉｎ ａｓｓｕｍｐｔｉｏｎｓ，ｔｈｅ ｏｂａｌ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ａｎｄ ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｗｅａｋ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｗｅｒｅ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｔｈｒｏｕｇｈ ｔｈｅ ｄｉｆｅｒｅｎｃｅ ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｔ ｓｔｕｄｙ ｏｂｔａｉｎｓ ｓｏｍｅ ｎｅｗ ｐｒｉｏｒ ｅｓｔｉｍａｔｅｓ ｆｏｒ ＯＶｅｒｃｏｍｉｎｇ ｔｈｅ ｄｉｆｉｃｕｌｔｙ ｉｎ ｔｈｅ ｓｉｍｉｌａｒ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｃａｕｓｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｖｉｓｃｏｓｉｔｙ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ （ｐ）ａｎｄ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｆｏｒｃｅｒ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｄｅｎｓｉｔｙ—ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｖｉｓｃｏｓｉｔｙ；ｅｘｔｅｒｎａｌ ｆｏｒｃｅ；ｇｌｏｂａｌ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ． １ 问题的提出 系数。具有边界条件 ｕ（０，￡）＝Ｐ（１，￡）＝０，￡≥０ 粘性和压力依赖于密度的一维可压缩Ｎａｖｉｅｒ． 以及初始条件 Ｓｔｏｋｅｓ方程组的自由边界问题在Ｌａｇｒａｎｇｅ坐标下 （Ｐ，“）（Ｘ，０）＝（Ｐ０（ ），Ｍ。（ ）），０≤ ≤Ｉ （３） 可写成如下形式： 其中Ｐ。（ ）∈Ｃ’［０，１］，并且存在正常数Ｃ。 ＞０， ｆＰｔ＋ｐ２Ｕ ＝０，ｔ＞０ 使得Ｐ０（ ）≥Ｃ０；“０（ ）∈Ｃ ［０，１］。 【ｕ ＋Ｐ（ｐ） ＝（ （ｐ）ｐ ） 一厂（ｒ，ｔ），０＜ ＜１ 假设外力项／’有如下形式 （１） ｒ，ｔ）＝ （ｒ）＋ａｆ（ｒ，ｔ） （４） 其中ｒ（ ，￡）＝ｆ Ｐ （ ，￡）ｄ， ，Ｐ，Ｐ，“ 分别表／亍气 并且满足 体的密度、压强、速度和给定的外力，ｇ（ｐ）为粘性 ／ （０）＝Ｎｏ （ｒ）＝ （ｒ）≥￣ｖ０，Ｖ ｒ≥０（５） 收稿日期：２０１３－０１．１８ 基金项目：湖北省教育厅科学技术研究项目（Ｂ２０１２１１０７）资助。 作者简介：孙美满（１９８１一），女，硕士，讲师。研究方向：偏微分方程。 ２ 阜阳师范学院学报（自然科学版） 第３０卷 这里的／ｖ。是个正常数， ∈Ｃ （Ｒ）满足 （０） ：则目由边界Ｉ口Ｊ题（１）一（３）存在唯一的整体弱解 ０，扰动项△／’在某种弱意义下随着￡一∞而趋向 令Ｐ （ ）是如下近似稳态系统的解： Ｐ（ｐ ） （ ）＝一 ，Ｐ （１）＝０ （６） （Ｐ（ ，ｔ），ｕ（ ，￡））。 于０ ２定理的证明 引理１基于定理的假设条件，有 （ ＋ ｄｓ）ｄ ＋ 易见Ｐ（ｐ ）＝Ｎ。（１一 ） 本文对Ｐ（ｓ）的假设如下： （７） （Ｐ。）Ｐ（ｓ）Ｅ Ｃ （［０，∞））且Ｐ（ｏ）＝０，对任 意的ｓ∈（０，∞），Ｐ（ｓ）＞０，Ｐ （ｓ）＞０； （Ｐ２）ｌ ｓ Ｐ（ｓ）ｄｓ＜∞； （Ｐ１）存在 ＞１，使得 ≤ｐ（１）。 并对 （ ）有如下假设： （Ｈ．）Ｉｚ（ ）∈ｃ （（０，∞））， （０）＝０，对任 意的ｓ∈（０，∞）， （Ｓ）＞０； （Ｈ２）ｆ Ｓ １／￣（Ｓ）ｄｓ＜∞，ｆ ｓ－ｌｌ￣（ｓ）ｄｓ＝∞； （ ｌｉａｒ一 （１）ｃ 注：满足以上条件的函数Ｐ（ｓ）和 （ｓ）是存在 的。例如，可取Ｐ（ｐ）＝Ａｐ ，ｙ＞１和 （ｐ）＝ｃＯ ， ０＜Ｏｌ＜ｌ，其中ｃ和Ａ为常数。 定义一对函数（ｐ（Ｘ，ｔ），“（ ，ｔ））被称为初 边值问题（１）一（３）的一个整体弱解，若对任意的 ＞０，Ｐ，“∈Ｌ （【０，１］×【０，ＴＩ）ｎ Ｃ。（【０， 】； Ｌ ０，Ｉ】）， （ｐ）ｐｕ ∈Ｌ （【０，１】Ｘ【０， ］） ｎ ｃ （【０，７’１；Ｌ ０，１ １），且方程Ｐ ＋ＪＤ ｕ ＝０对几乎 昕柯的 ∈【０．１】以及任意的ｔ≥０成立，并且 Ｊ Ｊ（“ｕ ＋（Ｐ（ｐ）一 （ｐ）ｐ“ ） 一 ／＜ｒ，ｔ）ｕ）ｄｘｄｔ＋Ｊ ｕ０（ｘ）ｖ（ ，０）ｄｘ＝０ 对任意测试函数１１ ∈ Ｃｏ （Ｑ），ｎ ∈ ｛（ ，ｚ）：０＜ ＜１，￡≥０）成立。 本文中，我们用ｃ表示仅依赖于初值，不依赖 于给定时间７’的正常数。本文的主要定理如下。 定理存在￡。＞０，使得对于任意的￡∈［０， ８ ）］，如果下面的条件成立 ｌ Ｉ／ ，（） ≤￡，ｌ Ｉ４厂（・，ｔ）Ｉ Ｉ≤ （ｔ）， ＩＩ／ Ｉ ｌＬ 呲－≤８，＿ Ｉａ △／’ｌ ｌＬ ≤￡，ｌＩ ａ ‘ＩＩ Ｌ＊≤￡ （８） Ｉ １Ｍ０ １Ｉ ｆ １≤８，ｆ（１一 ） 一舌（ｐ０一Ｐ ） ｄｘ≤８ （９） Ｊ＿三 （ｐ）ｐ“ ｄ ｄ ≤ｃ ｓ （１０） 其中Ｃ 是一个与ｔ≥０无关的常数。 证明方程（１）乘上“，在［０，１］上关于 积 分，利用分部积分，边界条件（２），方程（１） 以及 （４）、（５）式，得 ｄ Ｊ．０ｉ 【／１２＋ ＋ ） ｄ ＝一 “ （１ １） 则由（６）、（８）式有 ｃ芋＋ ¨ ）一 ）ｄ ＋ ｐ）户 ： 一ｆ ≤ ｆ 譬 ＋ （１２） 因为／ ≥Ｎｏ，所以 ） ≥ Ｎ￣ ｐ由 ＝ ｆ ｄ ：ｆ （１３） 因此，可得 ｃ ㈩一 ｃ 叫 一 ≥０（１４） 对（１２）式利用Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式，得 ｃ孚＋ 出， ＋ ｃｐ，ｐ“２ ≤ ｃｅｃ （ ｄｓ＋ （等＋ ｄｓ一 厂 ｄ ＋ （ｔｏ）一 ） ）： ｃｅｃ （ ｄｓ＋ １（詈２＋ ： ｄｓ＋ 第１期 ／－ｒ０ Ｆｒｏ 孙美满：一维可压缩Ｎａｖｉｅｒ—Ｓｔｏｋｅｓ方程组整体弱解的存在性 Ｊ／ （ｈ）ｄｈ—Ｊ （０）ｄｈ）ｄｘ）≤ ｆ（Ｐ（ｐ）一Ｊ ｄｘ）ｄｔ≤ ｆ１ ＋ ｃ譬＋ ’ ¨ （１５） 一２ Ｊ（Ｐ（ｐ）一ＮＯ（１一 ））ｄｔ≤ Ｊｔｌ ２） ） 一８（１一 ）（ｔ２一ｔ１） （２２） Ｊｆ ｄｘ≤ ｔ）Ｊ ｓ‘ Ｊ Ｃ［Ｐ （Ｎｏ（１一 ））］ （Ｐ（Ｐ。）一ＪＤ（ｐ ））・ （ｐ０一Ｐ ）ｄｘ≤ｆ Ｃ［Ｐ一 （Ｎｏ（１一 ））］一 ・ Ｐ ［Ｐ一 （Ａ （１一 ））］（ｐ。一Ｐ ） ｄｘ≤ ｃｆ（１～ ） 一言（ｐ０一Ｐ ） ｄｘ≤ｃ８ （１６） 由（１５）、（１６）以及（８）、（９）式可得（１０）式。 引理证毕。 引理２存在与ｔ无关的正常数Ｃ．及Ｃ ，使 得 ＣＩ≤ｐ≤Ｃ２ （１ ７） 证明 （１）式对 在［ ，ｌ ｊ上积分得 ｄ（ ｄ — ＋ｅ（ｐ）一肚ｄ ＝ （１８） 由条件（８），可得 ｆｆ Ａｆｄｘ Ｊ≤￡（１一 ） （１９） 令 ｒ（ｔ）＝ ｄｓ— ｊ ０ Ｓ ｊ 和 Ｍ０＝Ｎｏ一￡一（２Ｃ３８） ， 如果Ｙ（ｔ）≤Ｍ 则 ｊＪｃ ｓ０’ ｄ ≤帆＋’ ３ ｘ ≤ｏ＋（２Ｃ３８） ＝Ｎｏ一８ （２０） 断言：ｙ（￡）≥ｒａｉｎ｛Ｙ（０），Ｍｏ）。 融ｊ这个断青和（１０）式，当ｓ充分小的时候，就 叮以得到Ｐ≥Ｃ，。此断言的证明如下： 如果存在ｔ２ ＞０满足ｌ，（ｔ２） ＜ ｍｉｎｉｒ（ｏ），Ｍ。），则可以找到ｔ。＜ｔ２满足Ｙ（ｔ１）＝ ａｒｉｎ｛ｙ（０），Ｍ０）且ｙ（ｔ）＜ｍｉｎｉＹ（０），Ｍｏ），Ｖｔ∈ （ｔｌ，ｔ２）。 （１０）式关于ｔ在［ｔ。，ｔ ］上积分，由（１９）式可 得 （￡２）一＇，（￡．）＋Ｊ（Ｐ（ｐ）一ｆ ｄｘ）ｄｔ≥ 一８（１一 ）（ｔ２一ｔ１） （２１） 利用（２０）式，可得 由（２１）、（２２）得】，（ｔ ）一Ｙ（ｔ ）≥０，这就导出了矛 盾，所以Ｙ（ｔ）≥ｍｉｎ（Ｙ（０）， ）是成立的。 １ 因此，基于假设条件，有 ｒ：Ｊ！ｄｙ≤Ｃ ， ｏ Ｐ 以及／ （ｒ）＝ＮＯ＋／ （ｒ）－Ａ．（ｏ）≤Ｎｏ＋８ｒ≤Ｎｏ ＋Ｃ４８，类似地，令Ｍｌ＝Ｎｏ＋Ｃ４ｓ＋ｓ＋（２Ｃ３￡）享， 可得当８充分小的时候，有ｌ，（ｔ）≤ｍａｘ｛Ｙ（０）， ） 和Ｐ≤Ｃ２。引理证毕。 引理３存在正常数Ｃ＞０，使得 ｆ“１ 出＋ｆ ｆ １ （ｐ）ｐＨ ｄ ｄ ≤ｃ （２３） Ｕ Ｕ Ｕ 证明将（１） 两端关于ｔ求导，并将得到的式 子两端同乘以“ ，然后关于 在［０，１］上积分。由 （１０）、（１７）式以及Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式可得（２３）。 利用引理１—３，用与文［１－４］中类似的方法可以 得到关于Ｐ、ｕ的ＢＶ估计，并通过有限差分逼近， 构造初边值问题（１） （３）的一个弱解，由Ｈｅｌｌｙ定 理我们可得整体弱解的存在性。 利用文［１．３］中的论证思想，我们可得初边值 问题（１）一（３）的弱解的唯一性。 这样我们就完成了定理的证明。 参考文献： ［１］ Ｙａｎｇ Ｔ，Ｚｈｕ Ｃ Ｊ．Ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅ Ｎａｖｉｅｒ．Ｓｔｏｋｅｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｄｅｇｅｎｅｒａｔｅ ｖｉｓｃｏｓｉｔｙ ｃｏｅｆｉｆｃｉｅｎｔ ａｎｄ ｖａｃｕｕｍ［Ｊ］． Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ ｉｎ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｐｈｙｓｉｃｓ，２００２，２３０： ３２９．３６３． ［２］ Ｚｈａｎｇ Ｔ，Ｆａｎｇ Ｄ Ｙ．Ｇｌｏｂｌｅ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅ Ｎａｖｉｅｒ・・Ｓｔｏｋｅｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ａ ｄｅｇｅｎｅｒａｔｅ ｖｉｓｃｏｓｉｔｙ ｃｏ— ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ［Ｊ］．Ａｒｃｈｉｖｅ ｆｏｒ Ｒａｔｉｏｎａｌ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ａｎｄ Ａｎａ１． ｙｓｉｓ，２００６，１８２：２２３－２５３． ［３］Ｙａｎｇ Ｔ，Ｚｈａｏ Ｈ Ｊ．Ａ ｖａｃｕｕｍ ｐｒｏｂｌｅｍ ｆｏｒ ｔｈｅ ｏｎｅ．ｄｉ． ｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅ Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｄｅｎｓｉｔｙ—ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｖｉｓｃｏｓｉｔｙ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，２００２，１８４：１６３—１８４． ［４］Ｈｏｆ Ｄ．Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｍ・ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅ，ｉｓｅｎ． ｔｒｏｐｉｃ Ｎａｖｉｅｒ・Ｓｔｏｋｅｓ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｏｎｅ ｓｐａｃｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ ｗｉｔｈ ｎｏｎ ｓｍｏｏｔｈ ｉｎｉｔｉａｌ ｄａｔａ［Ｊ］．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｒｏｙ— ａ１ Ｓｏｃｉｅｔｙ ｏｆ Ｅｄｉｎｂｕｒｇｈ，１９８６，１０３：３０１—３１５．