湖南省六校2021届高三下学期4月联考 数学试题(含答案)

数学化学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1.已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x2－3x>0}，则A∩∁RB中的元素个数为 A.1 B.2 C.3 D.4

2.已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1(3，a)，Z2(2，1)，且z1·z2为纯虚数，则实数a＝ A.6 B.－

36 C. D.－6 25cosxx23.函数f(x)＝x的图象大致是 xee

4.某地安排4名工作人员随机分到3个村参加“脱贫攻坚”帮扶活动，且每个人只去一个村，则每个村至少有一名工作人员的概率为 A

9584 B. C. D. 169995.已知|a|＝6，b＝(m，3)，且(b－a)⊥(2a＋b)，则向量a在向量b方向上的投影的最大值为

A.4 B.2 C.1 D.

6 26.数学里有一种证明方法叫做Proofs without words，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅。现有如图所示图形，在等腰直角三角形△ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设AD＝a，BD＝b，则该图形可以完成的无字证明为

- 1 -

ababa2b2A.(a>0，b>0) ab(a>0，b>0) B.222C.

2abab(a>0，b>0) D.a2b22ab(a>0，b>0) abx2y27.已知F1，F2分别是双曲线221(a0,b0)的左、右焦点，点P是该双曲线上一点且在第一象限

ab内，2sin∠PF1F2＝sin∠PF2F1，则双曲线的离心率的取值范围为 A.(1，2) B.(1，3) C.(3，＋∞) D.(2，3)

1，x为有理数8.定义函数D(x)＝，则下列命题中正确的是

1，x为无理数A.D(x)不是周期函数 B.D(x)是奇函数

C.y＝D(x)的图象存在对称轴 D.D(x)是周期函数，且有最小正周期

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是 A.若两直线的斜率相等，则两直线平行 B.若x>5，则x>10

C.已知a是直线a的方向向量，n是平面α的法向量，若a.⊥α，则a⊥n D.已知可导函数f(x)，若f'(x0)＝0，则f(x)在x＝x0处取得极值 10.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2－an＝2，n∈N*，则 A.(a1＋a2)，(a3＋a4)，(a5＋a6)，…为等差数列 B.(a2－a1)，(a4－a3)，(a6－a5)，…为常数列 C.a2n－1＝4n－3

D.若数列{bn}满足bn＝(－1)n·an，则数列{bn}的前100项和为100 11.已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<结论正确的是

A.函数f(x)的一个对称点为(B.当x∈[

)的图象上，对称中心与对称轴x＝的最小距离为，则下列

12245，0) 12，]时，函数f(x)的最小值为－3 62

- 2 -

C.若sin4α－cos4α＝－

4334(α∈(0，))，则f(α＋)的值为

5524D.要得到函数f(x)的图象，只需要将g(x)＝2cos2x的图象向右平移

个单位 612.已知球O的半径为2，球心O在大小为60°的二面角α－l－β内，二面角a－l－β的两个半平面分别截球面得两个圆O1，O2，若两圆O1，O2的公共弦AB的长为2，E为AB的中点，四面体OAO1O2的体积为V，则下列结论中正确的有

A.O，E，O1，O2四点共面 B.O1O2＝

3 2C.O1O2＝

33 D.V的最大值为 162三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知某省2020年高考理科数学平均分X近似服从正态分布N(89，100)，则P(7914.请写出满足条件“f(x)≤f(1)对任意的x∈[0，1]恒成立，且f(x)在[0，1]上不是增函数”的一个函．．数： 。 15.已知(a＋

1)(x＋1)6(a≠0)的展开式中各项的系数和为192，则其展开式中的常数项为 。 x16.电子计算机是二十世纪最伟大的发明之一，当之无愧地被认为是迄今为止由科学和技术所创造的最具影响力的现代工具，被广泛地应用于人们的工作与生活之中，计算机在进行数的计算和处理加工时，内部使用的是二进制计数制，简称二进制。一个十进制数n(n∈N*)可以表示成二进制数(a0a1a2ak)2，即n＝a0×2k＋a1×2k1＋a2×2k2＋…＋ak－1×21＋ak×20，其中a0＝1，ai∈{0，1}，i＝0，1，2，…，k，k∈N。用f(n)表

2r11－

－

示十进制数n的二进制表示中1的个数，则f(7)＝ ；对任意r∈N*，

n22rf(n) 。

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分10分)

已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn＝n2＋3n。 (I)求数列{an}的通项公式； (II)数列

1的前n项和是Tn，若存在n∈N*，使得Tn－λan＋1≥0成立，求实数λ的取值范围。

anan1- 3 -

18.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝3sinxcosx－cos2x－(I)当x∈[－

1(x∈R)。 25，]时，分别求函数f(x)取得最大值和最小值时x的值； 1212A)＝－1，求c的值。 2(II)设△ABC的内角A，B，C的对应边分别是a，b，c，且a＝23，b＝6，f(

19.(本小题满分12分)

甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4。甲、乙约定比赛当天上午进行3局热身训练，下午进行正式比赛。

(I)上午的3局热身训练中，求甲恰好胜2局的概率； (II)下午的正式比赛中：

①若采用“3局2胜制”，求甲所胜局数x的分布列与数学期望；

②分别求采用“3局2胜制”与“5局3胜制”时，甲获胜的概率；对甲而言，哪种局制更有利？你对局制长短的设置有何认识？

20.(本小题满分12分)

某建筑工地上有一个旗杆CF(与地面垂直)，其正南、正西方向各有一标杆BE，DG(均与地面垂直，B，D在地面上)，长度分别为1m，4m，在地面上有一基点A(点A在B点的正西方向，也在D点的正南方向上)，且BA＝BC＝2m，且A，E，F，G四点共面。

(I)求基点A观测旗杆顶端F的距离及仰角θ的正切值； (II)若旗杆上有一点M，使得直线BM与地面ABCD所成的角为二面角的正弦值。

，试求平面ABM与平面AEFG所成锐4- 4 -

21.(本小题满分12分)

x2y21(a>3)的左、右顶点，Q为椭圆E的上顶点，AQQB＝1。 已知A，B分别为椭圆E：2a3(I)求椭圆E的方程；

(II)已知动点P在椭圆E上，两定点M(－1，①求△PMN的面积的最大值；

②若直线MP与NP分别与直线x＝3交于C，D两点，问：是否存在点P，使得△PMN与△PCD的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

22.(本小题满分12分)

已知f(x)＝ln(1＋x)＋2cosx－1x12，g(x)＝cosx－1＋ax2。

33)，N(1，－)。 22(I)若g(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围； (II)确定f(x)在(－1，π)内的零点个数。

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