历年中考数学模拟试题(含答案)(138)

2021-02-21 来源：个人技术集锦

2016 年湖南省衡阳市中考数学试卷

一、选择题（共 12 小题，每题 3 分，满分 36 分） 1．﹣4的相反数是（）

A．﹣

B．

C．﹣ 4D ．4

2 ．如果分式

有意义，则 x 的取值范围是（）

A ．全体实数 B ． x ≠1 C ． x=1 D ． x ＞ 1

3．如图，直线 AB ∥CD， ∠B=50 °， ∠C=40 °，则∠E 等于（

）

A． 70°B ． 80°C． 90°D ． 100 °

4．以下几何体中，哪一个几何体的三视图完好同样（）

A ．

球体 B．

圆柱体 C．

四棱锥 D．

圆锥

5．以下各式中，计算正确的选项是（） A 3x+5y=8xy B

x 3 5 8 6 3 2 3 ） 3

x =x C x ．． x =x D

x =x 6 ? ． ÷ ．（ ﹣

6．为缓解中低收入人群和新参加工作的大学生住宅的需求，某市将新建保障住宅 3600000 套，把 3600000 用科学记数法表示应是（）

A ． 0.36 ×10 7B ． 3.6 ×10 6C ． 3.6 ×10 7D ． 36 ×10 5

7．要判断一个学生的数学考试成绩能否稳固，那么需要知道他近来连续几次数学考试成绩的（）

A．均匀数

B．中位数

C．众数

D．方差

8．正多边形的一个内角是 150°，则这个正多边形的边数为（）

A． 10B ． 11C ．12D ． 13

9．随着居民经济收入的不停提升以及汽车业的迅速发展，家用汽车已愈来愈多地进入一般家庭，抽样检查显示，截止 2015 年末某市汽车拥有量为 16.9

历年中考数学模拟试题(含答案)(138)

万辆．己知 2013 年末该市汽车拥有量为 10 万辆，设 2013 年末至 2015 年底

该市汽车拥有量的平均增长率为 x，根据题意列方程得（）

A ． 10 （ 1+x ） =16.9 B ． 10 （ 1+2x ） =16.9 C ． 10 （ 1 ﹣ x） =16.9 D ． 10 （ 1﹣ 2x ） =16.9

2．关于 x 的一元二次方程 x +4x+k=0 有两个相等的实根，则 k 的值为（） 10

A ． k= ﹣ 4 B ． k=4 C ． k ≥﹣ 4 D ． k ≥4 11．以下命题是假命题的是（

）

A．经过两点有且只有一条直线 B．三角形的中位线平行且等于第三边的一半 C．平行四边形的对角线相等

D．圆的切线垂直于经过切点的半径

12 ．如图，已知 A ，B 是反比例函数 y=

（ k ＞ 0 ，x ＞ 0 ）图象上的两点，BC ∥ x

轴，交 y 轴于点 C ，动点 P 从坐标原点 O 出发，沿 O → A →B → C （图中 “→”所

示路线）匀速运动，终点为 C ，过 P 作 PM ⊥ x 轴，垂足为 M ．设三角形 OMP

的面积为 S， P 点运动时间为 t ，则 S 关于 x 的函数图象大致为（）

A． B． C． D．

二、填空题（共 6小题，每题 3分，满分 18分）

2．因式分解： a +ab= ． 13

14 ．计算：

﹣

．

15 ．点 P（ x ﹣ 2 ， x+3 ）在第一象限，则 x 的取值范围是 16 ．若 △ ABC 与 △DEF 相像且面积之比为 25：16，则 △ABC

．

与 △DEF 的周长

之比为线长为

．．

17 ．若圆锥底面圆的周长为 8 π，侧面展开图的圆心角为 90 °，则该圆锥的母

18．以下图，1条直线将平面分红 2个部分，2条直线最多可将平面分红 4 个部分，3条直线最多可将平面分红 7个部分，4条直线最多可将平面分红 11 个部分．现有 n 条直线最多可将平面分成 56 个部分，则 n 的值

为

．

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三、解答题（共 8小题，满分 66分）

19 ．先化简，再求值：（ a+b ）（ a﹣ b） +（ a+b ），其中 a= ﹣ 1 ， b= ．

20．为庆贺建党 95 周年，某校团委计划在“七一”前夜举行“唱响红歌”班级歌唱竞赛，要确立一首喜爱人数最多的歌曲为每班必唱歌曲．为此供给代号为A，B，C，D 四首备选曲目让学生选择，经过抽样检查，并将收集的数据绘制以下两幅不完好的统计图．请依据图① ，图② 所供给的信息，解答以下问题：

（1）本次抽样检查中，选择曲目代号为 A 的学生占抽样总数的百分比

为；

（ 2）请将图② 增补完好；

（ 3）若该校共有 1530 名学生，依据抽样检查的结果预计全校共有多少学生选择此必唱歌曲？（要有解答过程）

21 ．如图，点 A、C、D、B 四点共线，且 AC=BD ，∠A= ∠B，∠ADE= ∠BCF ，求证：DE=CF ．

22．在四张反面完好同样的纸牌 A、B、C、D，此中正面分别画有四个不一样的几何图形（如图），小华将这 4张纸牌反面向上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸一张．

（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用 A、B、C、D表示）；

（ 2）求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率．

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23．为保障我国国外维和队伍官兵的生活，现需经过 A 港口、B 港口分别运送 100 吨和 50 吨生活物质．已知该物质在甲库房存有 80 吨，乙库房存有 70 吨，若从甲、乙两库房运送物质到港口的花费

（元/吨）如表所示：

港口

运费（元/台）

甲库 14 10

乙库 20 8

A 港

B 港

（ 1）设从甲仓库运送到 A 港口的物资为 x 吨，求总运费 y （元）与 x （吨）之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围；（ 2）求出最低花费，并说明花费最低时的分配方案．

24．在某次海上军事学习时期，我军为保证△OBC 海疆内的安全，特差遣三艘军舰分别在 O、B、C 处监控△OBC 海疆，在雷达显示图上，军舰 B 在军舰

O 的正东方向 80 海里处，军舰 C 在军舰 B 的正北方向 60 海里处，三艘军舰上装载有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为 r 的圆形区域．（只考虑在海平面上的探测）

（ 1）若三艘军舰要对 △ OBC 海域进行无盲点监控，则雷达的有效探测半径 r

起码为多少海里？

（ 2）现有一艘敌舰 A 从东部凑近△OBC 海疆，在某一时辰军舰 B 测得 A 位于北偏东 60°方向上，同时军舰 C 测得 A 位于南偏东 30°方向上，求此时敌舰 A 离△OBC 海疆的最短距离为多少海里？（3）若敌舰 A 沿最短距离的路线以 20

海里/小时的速度凑近△OBC

海疆，

我军军舰 B 沿北偏东 15°的方向前进拦截，问 B军舰速度起码为多少才能在此方向上拦截到敌舰 A？

25．在平面直角坐标中，△ABC

三个极点坐标为 A（﹣

， 0）、 B（

， 0）、

C（ 0， 3）．

（ 1）求△ABC 内切圆⊙D 的半径．

（ 2）过点 E（0，﹣1）的直线与⊙D 相切于点 F（点 F在第一象限），求直线 EF 的分析式．

（3）以（2）为条件，P为直线 EF 上一点，以 P为圆心，以 2 ⊙P上存在一点到△ABC

为半径作⊙P．若

三个极点的距离相等，求此时圆心 P的坐标．

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26 ．如图，抛物线 y=ax +bx+c 经过 △ ABC 的三个顶点，与 y 轴相交于（ 0，

），

点 A 坐标为（ ﹣ 1 ， 2 ），点 B 是点 A 关于 y 轴的对称点，点 C 在 x 轴的正半轴

上．

（1）求该抛物线的函数关系表达式．

（ 2）点 F 为线段 AC 上一动点，过 F 作 FE ⊥ x 轴， FG ⊥ y 轴，垂足分别为 E 、G，

当四边形 OEFG 为正方形时，求出 F点的坐标．

（3）将（2）中的正方形 OEFG 沿 OC 向右平移，记平移中的正方形 OEFG 为正方形 DEFG ，当点 E 和点 C 重合时停止运动，设平移的距离为 t ，正方形的边 EF 与 AC 交于点 M，DG 所在的直线与 AC 交于点 N，连结 DM，能否存在这样的 t ，使 △ DMN 是等腰三角形？若存在，求 t 的值；若不存在请说明原因．

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2016 年湖南省衡阳市中考数学试卷

参照答案与试题分析

一、选择题（共 12 小题，每题 3 分，满分 36 分）

1．﹣4的相反数是（

）

A．﹣ B． C．﹣ 4D ．4

【考点】相反数．

【剖析】直接利用相反数的观点：只有符号不一样的两个数叫做互为相反数，从而得出答案．【解答】解：﹣4 的相反数是：4．应选：D．

2 ．如果分式

有意义，则 x 的取值范围是（）

A ．全体实数 B ． x ≠1 C ． x=1 D ． x ＞ 1 【考点】分式存心义的条件．

【分析】直接利用分式有意义的条件得出 x 的值．【解答】解：∵分式

存心义，

∴ x﹣ 1≠0 ，解得： x ≠1 ．应选：B．

3．如图，直线 AB ∥CD， ∠B=50 °， ∠C=40 °，则∠E 等于（

）

A． 70°B ． 80°C． 90°D ． 100 ° 【考点】平行线的性质．

【剖析】依据平行线的性质获得∠1=∠B=50 °，由三角形的内角和即可获得结论．【解答】解：∵AB∥CD，

∴ ∠1=∠B=50 °， ∵ ∠ C=40 °，

∴ ∠ E=180 °﹣ ∠ B﹣ ∠ 1=90 °，应选 C．

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4．以下几何体中，哪一个几何体的三视图完好同样（ A ．

）

球体

B．

圆柱体

C．

四棱锥

D．

圆锥

【考点】简单几何体的三视图．

【剖析】依据各个几何体的三视图的图形易求解．

【解答】解：A、球体的三视图都是圆，故此选项正确；

B、圆柱的主视图和俯视图都是矩形，但左视图是一个圆形，故此选项错误；C、四棱柱的主视图和左视图是一个三角形，俯视图是一个四边形，故此选项错误；

D、圆锥的主视图和左视图是同样的，都为一个三角形，可是俯视图是一个圆形，故此选项错误．应选：A．

5．以下各式中，计算正确的选项是（）

A ． 3x+5y=8xy B ． x 3 ?x 5 =x 8 C ． x 6 ÷x3 =x 2 D ．（ ﹣ x 3 ） 3 =x 6

【考点】同底数幂的除法；归并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

【剖析】分别利用同底数幂的乘除法运算法例以及归并同类项法例、积的乘方运算法例分别计算得出答案．

【解答】解： A 、 3x+5y ，无法计算，故此选项错误；

358

B 、 x ?x =x ，故此选项正确；

633

C 、 x ÷x =x ，故此选项错误；

339

D 、（ ﹣ x ） = ﹣ x ，故此选项错误；应选：B．

6．为缓解中低收入人群和新参加工作的大学生住宅的需求，某市将新建保障住宅 3600000

套，把 3600000

用科学记数法表示应是（

）

A ． 0.36 ×10 B ． 3.6 ×10 C ． 3.6 ×10 D ． 36 ×10 【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为 a×10 的形式，其中 1 ≤|a| ＜ 10 ，n 为整数．确立

n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数

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点移动的位数相同．当原数绝对值大于 10 时， n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时， n 是负数．

6×10 ，【解答】解： 3600000=3.6

应选：B． 7．要判断一个学生的数学考试成绩能否稳固，那么需要知道他近来连续几次数学考试成绩的（ A．均匀数

B．中位数

【考点】统计量的选择．

【剖析】依据方差的意义：方差是反应一组数据颠簸大小，稳固程度的量；方差越大，表示这组数据偏离均匀数越大，即颠簸越大，反之也建立．标准差是方差的平方根，也能反应数据的颠簸性；故要判断他的数学成绩能否稳固，那么需要知道他近来连续几次数学考试成绩的方差．

）

C．众数

D．方差

【解答】解：方差是权衡颠簸大小的量，方差越小则颠簸越小，稳固性也越好．

应选：D

8．正多边形的一个内角是 150°，则这个正多边形的边数为（ A． 10B ． 11C ．12D ． 13 【考点】多边形内角与外角．

）

【剖析】一个正多边形的每个内角都相等，依据内角与外角互为邻补角，因此就能够求出外角的度数．依据任何多边形的外角和都是 360 度，利用 360 除之外角的度数就能够求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．【解答】解：外角是：180°﹣150°=30°，

360 °÷30 °=12 ．

则这个正多边形是正十二边形．应选：C．

9．随着居民经济收入的不停提升以及汽车业的迅速发展，家用汽车已愈来愈

多地进入一般家庭，抽样检查显示，截止 2015 年末某市汽车拥有量为万辆．己知

2013 年末该市汽车拥有量为 10

万辆，设 2013

年末至 2015

16.9 年底

该市汽车拥有量的平均增长率为 x，根据题意列方程得（）

22） =16.9 B ． 10 （ 1+2x ） =16.9 C ． 10 （ 1 ﹣ x） =16.9 D ． 10 （ 1﹣ A ． 10 （ 1+x

2x ） =16.9 【考点】由实质问题抽象出一元二次方程．

【剖析】依据题意可得：2013 年末该市汽车拥有量×（1+增加率）=2015 年末某市汽车拥有量，

依据等量关系列出方程即可．【解答】解：设 2013

年底至 2015

年底该市汽车拥有量的平均增长率为

x ，

根据题意，可列方程： 10 （ 1+ x ） =16.9 ，应选：A．

10 ．关于 x 的一元二次方程 x +4x+k=0 有两个相等的实根，则 k 的值为（）

A ． k= ﹣ 4 B ． k=4 C ． k ≥﹣ 4 D ． k ≥4 【考点】根的鉴别式．

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【分析】根据判别式的意义得到 △ =4 ﹣ 4k=0 ，然后解一次方程即可．

【解答】解： ∵ 一元二次方程 x +4x+k=0 有两个相等的实根，

∴ △ =4 ﹣ 4k=0 ，解得： k=4 ，

应选：B．

11．以下命题是假命题的是（ A．经过两点有且只有一条直线

B．三角形的中位线平行且等于第三边的一半 C．平行四边形的对角线相等

D．圆的切线垂直于经过切点的半径【考点】命题与定理．

）

【剖析】依据直线公义、三角形中位线定理、切线性质定理即可判断 A、B、

D 正确．

【解答】解：A、经过两点有且只有一条直线，正确． B、三角形的中位线平行且等于第三边的一半，正确．

C、平行四边形的对角线相等，错误．矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不必定相等． D、圆的切线垂直于经过切点的半径，正确．应选 C．

12 ．如图，已知 A ，B 是反比例函数 y=

（ k ＞ 0 ，x ＞ 0 ）图象上的两点，BC ∥ x

轴，交 y 轴于点 C ，动点 P 从坐标原点 O 出发，沿 O → A → B →C （图中 “→”所

示路线）匀速运动，终点为 C ，过 P 作 PM ⊥ x 轴，垂足为 M ．设三角形 OMP

的面积为 S， P 点运动时间为 t ，则 S 关于 x 的函数图象大致为（）

A． B． C． D．

【考点】动点问题的函数图象．

【剖析】联合点 P的运动，将点 P的运动路线分红 O→A、A→B、B→C三段地点来进行剖析三角形 OMP 面积的计算方式，经过图形的特色剖析出头积变化的趋向，从而获得答案．

【解答】解：设 ∠ AOM= α，点 P 运动的速度为 a ，

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当点 P从点 O运动到点 A 的过程中，S=

22a ? cos α?sin α?t ，

由于 α 及 a 均为常量，从而可知图象本段应为抛物线，且 S 随着 t 的增大而增大；

当点 P 从 A 运动到 B 时，由反比例函数性质可知 △ OPM

持

的面积为 k ，保

不变，

故本段图象应为与横轴平行的线段；

当点 P从 B 运动到 C过程中，OM 的长在减少，△OPM 故本段图象应当为一段降落的线段；应选：A．

二、填空题（共 6小题，每题 3分，满分 18分）

的高与在 B 点时同样，

13 ．因式分解： a +ab= a （ a+b ）【考点】因式分解-提公因式法．

．

【分析】直接把公因式 a 提出来即可．

【解答】解： a +ab=a （ a+b ）．故答案为： a（ a+b ）．

14．计算：

﹣ = 1 ．

【考点】分式的加减法．

【剖析】因为两分式的分母同样，分子不一样，故依据同分母的分式相加减的法例进行计算即可．

【解答】解：原式= =1 ．故答案为：1

．

15 ．点 P（ x ﹣ 2 ， x+3 ）在第一象限，则 x 的取值范围是 x ＞ 2 ．【考点】点的坐标．【解答】解： ∵ 点 P （ x﹣ 2， x+3 ）在第一象限， ∴

，

【分析】直接利用第一象限点的坐标特征得出 x 的取值范围即可．

解得： x ＞ 2 ．

故答案为： x ＞ 2 ．

16 ．若 △ ABC 与 △DEF 相像且面积之比为 25：16，则 △ABC 与 △DEF 之比为 5 ： 4 ．【考点】相像三角形的性质．

的周长

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【剖析】依据相像三角形面的比等于相像比的平方求出相像比，再依据相像三角形周的比等于相像比求解．

【解答】解：∵△ABC ∴△ABC ∴△ABC 故答案

与△DEF 的周：5：4．

与△DEF 相像且面

5：4；

5：4．

之比

25：16，

与△DEF 的相像比

17 ．若

底面的周 8 π，面展开的心角 90 °，的母 16 ．

的

算．

【考点】

【分析】的母 l ，利用的面展开一扇形，个扇形的弧等于底面的周，扇形的半径等于的母和弧公式获得

8 π=

，然后解方程即可．

的母

l ，

【解答】解：

根据

意得 8 π=

的母 16．

，解得 l=16 ， 16．

即故答案

18．如所示，1条直将平面分红 2个部分，2条直最多可将平面分红 4 个部分，3条直最多可将平面分红 7个部分，4条直最多可将平面分红 11 个部分．有 n 条直最多可将平面分成 56 个部分， n 的 10 ．

【考点】点、

、面、体．

最多可将平面分成 S=1+1+2+3

⋯+n=

n（ n+1 ） +1 ，依此可

【分析】 n 条直

得等量关系： n 条直

最多可将平面分成 56 个部分，列出方程求解即可．

意有

【解答】解：依

n （ n+1 ） +1=56 ，

解得 x 1 = 答： n 的故答案三、解答

11 （不合

10 ．

：10．

（共 8小，再求

意舍去）， x2 =10 ．

，分 66分）

19 ．先化

：（ a+b ）（ a

求

b） +（ a+b ），其中 a=

．

1 ， b= ．

【考点】整式的混淆运算—化

【剖析】原式利用平方差公式、完好平方公式睁开后再归并同即可化，将 a、 b 的代入求即可．

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2222

【解答】解：原式 =a ﹣ b +a +2ab+b

当 a= ﹣ 1 ， b=

时，

原式=2×（ ﹣1）+2×（﹣1）×

=2﹣1 =1 ．

（1）本次抽样检查中，选择曲目代号为 A 的学生占抽样总数的百分比为

20% ；

（ 2）请将图② 增补完好；

（ 3）若该校共有 1530 名学生，依据抽样检查的结果预计全校共有多少学生选择此必唱歌曲？（要有解答过程）

【考点】条形统计图；用样本预计整体；扇形统计图．

【剖析】（1）依据条形统计图和扇形统计图能够求得选择曲目代号为 A 的学生占抽样总数的百分比；（2）依据条形统计图和扇形统计图能够求得选择 C 的人数，从而能够将图 ② 增补完好；

（ 3）依据条形统计图和扇形统计图能够预计全校选择此必唱歌曲的人数．【解答】解：（1）由

题意可得，

本次抽样检查中，选择曲目代号为 A 的学生占抽样总数的百分比为：

×100%=20% ．

故答案为：20%；（2）由题意可得，

选择 C 的人数有：30÷

﹣36﹣30﹣44=70 （人），

故补全的图② 以以下图所示，

历年中考数学模拟试题(含答案)(138)

（3）由题意可得，

全校选择此必唱歌曲共有：1530×

=595 （人），

即全校共有 595 名学生选择此必唱歌曲．

21 ．如图，点 A、C、D、B 四点共线，且 AC=BD ，∠A= ∠B，∠ADE= ∠BCF ，求证：DE=CF ．

【考点】全等三角形的判断与性质．【剖析】求出 AD=BC 质得出即可．

【解答】证明：∵AC=BD ∴ AC+CD=BD+CD ∴ AD=BC ，在 △AED

和△BFC 中，

，

，依据 ASA

推出△AED ≌△BFC，依据全等三角形的性

∴ △AED ≌△BFC （ ASA ）， ∴ DE=CF ．

22．在四张反面完好同样的纸牌 A、B、C、D，此中正面分别画有四个不一样的几何图形（如图），小华将这 4 张纸牌反面向上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸一张．

（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用 A、B、C、D表示）；

（ 2）求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率．

历年中考数学模拟试题(含答案)(138)

【考点】列表法与树状图法．

【剖析】（1）第一依据题意画出树状图，而后由树状图求得所有等可能的结果；

（ 2）由既是轴对称图形又是中心对称图形的有 4种状况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解（1）画树状图得：

则共有 16 种等可能的结果；

（ 2）∵既是中心对称又是轴对称图形的只有 B、C，∴既是轴对称图形又是中心对称图形的有 4种状况，

∴既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为：

= ．

（元/吨）如表所示：

港口

运费（元/台）

甲库 14 10

乙库 20 8

A 港

B 港

（ 1）设从甲仓库运送到 A 港口的物资为 x 吨，求总运费 y （元）与 x

（吨）之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围；（ 2）求出最低花费，并说明花费最低时的分配方案．【考点】一次函数的应用．

【剖析】（1）依据题意表示出甲库房和乙库房分别运往 A、B 两港口的物质数，再由等量关系：总运费=甲库房运往 A 港口的花费+甲库房运往 B 港口的花费+乙库房运往 A 港口的花费+乙库房运往 B 港口的花费列式并化简；最后

根据不等式组

得出 x 的取值；

（ 2）因为所得的函数为一次函数，由增减性可知： y 随 x 增大而减少，则当 x=80 时， y 最小，并求出最小值，写出运输方案．

历年中考数学模拟试题(含答案)(138)

【解答】解（ 1 ）设从甲仓库运 x 吨往 A 港口，则从甲仓库运往 B 港口的有（ 80 ﹣ x ）吨，

从乙仓库运往 A 港口的有吨，运往 B 港口的有 50 ﹣（ 80 ﹣ x ） =（ x ﹣ 30 ）吨，所以 y=14x+20+10 （ 80 ﹣ x ） +8 （ x ﹣ 30 ） = ﹣ 8x+2560 ， x 的取值范围是 30 ≤x ≤80 ．

（ 2）由（ 1 ）得 y= ﹣ 8x+2560y 随 x 增大而减少，所以当 x=80 时总运费最小，当 x=80 时， y= ﹣ 8×80+2560=1920 ，

此时方案为：把甲库房的所有运往 A 港口，再从乙库房运 20 吨往 A 港口，乙库房的余下的所有运往 B 港口．

24．在某次海上军事学习时期，我军为保证△OBC 海疆内的安全，特差遣三艘军舰分别在 O、B、C 处监控△OBC 海疆，在雷达显示图上，军舰 B 在军舰

（ 1）若三艘军舰要对 △ OBC 海域进行无盲点监控，则雷达的有效探测半径 r

起码为多少海里？

海里/小时的速度凑近△OBC

海疆，

我军军舰 B 沿北偏东 15°的方向前进拦截，问 B军舰速度起码为多少才能在此方向上拦截到敌舰 A？

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．

【分析】（ 1 ）求出 OC ，由题意 r ≥ OC ，由此即可解决问题．

（2）作 AM ⊥BC 于 M，求出 AM 即可解决问题．

上取一点 H，使得 HB=HN

，∠ OBC=90

°，

（3）假定 B 军舰在点 N 处拦截到敌舰．在 BM 【解答】解：（ 1）在 RT△OBC ∴ OC=

，

设 MN=x ，先列出方程求出 x，再求出 BN 、 AN

中， ∵BO=80 ，BC=60 =100 ，

利用不等式解决问题．

∵

OC= ×100=50

∴ 雷达的有效探测半径 r 至少为 50 海里．（ 2）作 AM⊥BC 于 M，

∵ ∠ ACB=30 °， ∠ CBA=60 °，

历年中考数学模拟试题(含答案)(138)

∴ ∠ CAB=90

°，

∴ AB= BC=30 ，

在 RT△ABM ∴ BM=

中， ∵ ∠ AMB=90 °， AB=30 ， ∠ BAM=30 °，

BM=15

，

AB=15 ， AM=

∴此时敌舰 A 设 MN=x ，

离 △OBC 海疆的最短距离为 15

海里．

上取一点 H，使得 HB=HN

（3）假定 B军舰在点 N处拦截到敌舰．在 BM ∵ ∠ HBN= ∠ HNB=15 °， ∴ HN=HB=2x ∵ BM=15 ，

，

∴ ∠ MHN= ∠ HBN+ ∠ HNB=30 °，

， MH=

x ，

∴ 15=

x+2x ，

x=30 ﹣ 15 ， ∴ AN=30

﹣ 30 ，

BN= 由题意

=15 （

≤

﹣

），设 B 军舰速度为 a 海里 / 小时，

，

∴ a≥20 ．

∴ B军舰速度起码为 20 海里/小时．

25．在平面直角坐标中，△ABC

三个极点坐标为 A（﹣

， 0）、 B（

， 0）、

C（ 0， 3）．

（ 1）求△ABC 内切圆⊙D 的半径．

（ 2）过点 E（0，﹣1）的直线与⊙D 相切于点 F（点 F在第一象限），求直线 EF 的分析式．

（3）以（2）为条件，P为直线 EF 上一点，以 P为圆心，以 2 ⊙P上存在一点到△ABC

为半径作⊙P．若

三个极点的距离相等，求此时圆心 P的坐标．

历年中考数学模拟试题(含答案)(138)

【考点】圆的综合题．【剖析】（1）由

A、B、C 三点坐标可知 ∠CBO=60

°，又因为点 D 是△ABC

的

心里，因此 BD 均分∠CBO，而后利用锐角三角函数即可求出 OD 的长度；

（ 2）根据题意可知， DF 为半径，且 ∠ DFE=90 °，过点 F 作 FG ⊥ y 轴于点 G ，求得 FG和 OG 的长度，即可求出点 F的坐标，而后将 E和 F的坐标代入一次函数分析式中，即可求出直线 EF 的分析式；

（ 3）⊙P上存在一点到△ABC 三个极点的距离相等，该点是△ABC 的外接圆圆心，即为点 D，因此 DP=2，又因为点 P在直线 EF 上，因此这样的点 P

共有 2 个，且由勾股定理可知 PF=3．【解答】解：（1）连结 BD， ∵ B （， 0）， C（ 0， 3）， ∴ OB=

， OC=3 ，

∴ tan ∠ CBO=

，

∴ ∠ CBO=60 °

∵点 D 是△ABC 的心里， ∴ BD 均分∠CBO

，

∴ ∠ DBO=30 °， ∴ tan ∠ DBO=

，

∴ OD=1 ，

∴ △ABC 内切圆⊙D 的半径为 1；（2）连结 DF，

过点 F 作 FG ⊥ y 轴于点 G， ∵ E（ 0， ﹣1） ∴ OE=1 ， DE=2 ， ∵ 直线 EF 与⊙D 相切， ∴ ∠ DFE=90 °， DF=1 ，

∴ sin ∠ DEF=

，

∴ ∠ DEF=30 °， ∴ ∠ GDF=60

°，

∴ 在 Rt △ DGF 中， ∠ DFG=30 °， ∴DG= ，

由勾股定理可求得：GF=

，

∴ F（，），

设直线 EF

的解析式为： y=kx+b

，历年中考数学模拟试题(含答案)(138)

∴

，

x﹣ 1；

三个极点的距离相等，

∴ 直线 EF 的解析式为： y=

（3）∵⊙P上存在一点到△ABC

∴该点必为△ABC 由（1）可知：△ABC 外接圆的圆心，

是等边三角形，

∴△ABC 外接圆的圆心为点 D ∴ DP=2，

设直线 EF 与

x 轴交于点 H，

∴ 令 y=0 代入 y= x ﹣ 1 ，

∴ x= ，

∴ H （

， 0 ）， ∴ FH=

，

当 P 在 x 轴上方时，

过点 P 1 作 P1 M ⊥ x 轴于 M ，

由勾股定理可求得：P1F=3 ，∴ P1 H=P 1 F+FH=

，

∵ ∠ DEF= ∠ HP 1 M=30 °，

∴ HM= P1 H=

， P1M=5 ，

∴ OM=2

，

∴ P1（ 2 ， 5），当 P 在 x 轴下方时，

过点 P 2 作 P2 N ⊥ x 轴于点 N ，由勾股定理可求得：P2F=3 ，∴ P2H=P 2F ﹣ FH= ，

∴ ∠ DEF=30 ° ∴ ∠ OHE=60 °

∴ sin ∠ OHE= ，

∴ P2N=4 ，令 y= ﹣ 4 代入 y=

x ﹣ 1 ，

∴ x= ﹣ ，

∴P2（﹣

，﹣4），

综上所述，若⊙P上存在一点到△ABC

坐标为（2

，5）或（﹣

，

4）．三个极点的距离相等，此时圆心 P的

﹣

历年中考数学模拟试题(含答案)(138)

26 ．如图，抛物线 y=ax +bx+c 经过 △ ABC 的三个顶点，与 y 轴相交于（ 0，

），

点 A 坐标为（ ﹣ 1 ， 2 ），点 B 是点 A 关于 y 轴的对称点，点 C 在 x 轴的正半轴上．

（1）求该抛物线的函数关系表达式．

（ 2）点 F 为线段 AC 上一动点，过 F 作 FE ⊥ x 轴， FG ⊥ y 轴，垂足分别为 E 、G，

当四边形 OEFG 为正方形时，求出 F点的坐标．

历年中考数学模拟试题(含答案)(138)

【考点】二次函数综合题．

【剖析】（1）易得抛物线的极点为（0，

），而后只要运用待定系数法，就

可求出抛物线的函数关系表达式；

（2）① 当点 F在第一象限时，如图 1，可求出点 C 的坐标，直线 AC

的分析

式，设正方形 OEFG 的边长为 p ，则 F （ p ， p ），代入直线 AC 的解析式，就可求出点 F的坐标；② 当点 F在第二象限时，同理可求出点 F 的坐标，此时点 F不在线段 AC 上，故舍去；

（ 3）过点 M 作 MH ⊥ DN 于 H ，如图 2，由题可得 0 ≤t≤2 ．然后只需用 t 的式

子表示 DN 、DM 、 MN ，分三种情况（ ① DN=DM ， ② ND=NM ，③ MN=MD ）议论便可解决问题．

【解答】解：（ 1 ） ∵ 点 B 是点 A 关于 y 轴的对称点， ∴ 抛物线的对称轴为 y 轴，

∴抛物线的极点为（0，

），

2故抛物线的解析式可设为 y=ax +

．

∵ A （ ﹣ 1 ， 2 ）在抛物线 y=ax + 上，

∴ a+

=2 ，

解得 a= ﹣

，

∴ 抛物线的函数关系表达式为 y= ﹣

2x + ；

（2）① 当点 F 在第一象限时，如图 1，令 y=0 得， ﹣

x + =0 ，

解得： x 1 =3 ， x 2 =﹣ 3， ∴点 C 的坐标为（3，0）．

设直线 AC 的解析式为 y=mx+n ，则有

，

历年中考数学模拟试题(含答案)(138)

解得

，

∴ 直线 AC 的解析式为 y= ﹣ x+ ．

设正方形 OEFG 的边长为 p ，则 F （ p， p）． ∵ 点 F （ p ， p ）在直线 y= ﹣ x+ 上，

∴ ﹣ p+ =p ，

解得 p=1 ，

∴点 F的坐标为（1，1）．

② 当点 F在第二象限时，

同理可得：点 F的坐标为（﹣3，3），此时点 F不在线段 AC 上，故舍去．综上所述：点 F的坐标为（1，1）；

（ 3）过点 M 作 MH⊥DN 于 H，如图 2，则 OD=t ， OE=t+1 ．

∵ 点 E 和点 C 重合时停止运动， ∴ 0 ≤t≤2 ．

当 x=t 时， y= ﹣ t+ ，则 N（ t ， ﹣

t+ ）， DN= ﹣ t+ ．

当 x=t+1

时， y= ﹣ （ t+1 ） +

= ﹣

t+1 ，则 M（ t+1

，﹣

t+1 ），在 Rt △ DEM 中，DM

=1 2

+（ ﹣

t+1

） 2= t 2﹣ t+2 ．

在 Rt △ NHM 中， MH=1 ，NH= （﹣ t+

）﹣（﹣

t+1 ） = ，

∴ MN 2=1 2+（） 2

．

① 当 DN=DM 时，

（ ﹣ t+ ） 2 = t 2 ﹣ t+2 ，

解得 t=

；

② 当 ND=NM 时，

﹣

，

解得 t=3 ﹣ ；

③ 当 MN=MD

时，

= t 2

﹣ t+2 ，

解得 t 1 =1 ， t 2 =3 ．

﹣ t+1 ．

ME=

历年中考数学模拟试题(含答案)(138)

∵ 0≤t≤2 ， ∴ t=1 ．

综上所述：当 △ DMN 是等腰三角形时， t 的值为

， 3 ﹣

或 1 ．

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