sin x
最新考纲 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x．2.借助单位
cos xπ
圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．
2
1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. πsin α
α≠＋kπ，k∈Z. (2)商数关系：＝tan α2cos α2．三角函数的诱导公式 公式 角 正弦 余弦 正切 口诀
概念方法微思考
1．使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？ 提示 根据角所在象限确定三角函数值的符号．
2．诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？
π
提示 所有诱导公式均可看作k·±α(k∈Z)和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶
2指的是此处的k是奇数还是偶数．
一 2kπ＋α(k∈Z) sin α cos α tan α 二 π＋α －sin α －cos α tan α 三 －α －sin α cos α －tan α 四 π－α sin α －cos α －tan α 五 π－α 2cos α sin α 六 π＋α 2cos α －sin α 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 欢迎您下载！ 审定部编版试题
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.( × ) (2)若α∈R，则tan α＝sin α
cos α
恒成立．( × )
(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × ) (4)若sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则sin α＝1
3.( × )
题组二 教材改编 2．若sin α＝5π
5，2
<α<π，则tan α＝ . 答案 －1
2 解析 ∵π
2
<α<π，
∴cos α＝－1－sin2α＝－25
5，
∴tan α＝sin α1
cos α＝－2
.
3．已知tan α＝2，则sin α＋cos α
sin α－cos α的值为 ．
答案 3
解析 原式＝tan α＋12＋1
tan α－1＝2－1
＝3.
cos4．化简α－π2sin5π·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为 ．
2＋α答案 －sin2α
解析 原式＝sin α
·(－sin α)·cos α＝－sin2cos αα.
题组三 易错自纠
5．已知sin θ＋cos θ＝4
π3，θ∈0，4，则sin θ－cos θ的值为 ．答案 －2
3
欢迎您下载！ 审定部编版试题 47
解析 ∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝.
318
π2
0，， 又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，θ∈49∴sin θ－cos θ＝－2
. 3
34
π＋α＝，则cos(π＋α)＝ . 6．(2018·成都诊断)已知α为锐角，cos253
答案 － 5
34
π＋α＝sin α＝，且α为锐角， 解析 ∵cos2533
∴cos α＝，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－. 55
1π
7．已知cos α＝，－<α<0，则的值为 ．
52tanα＋πcos－αtan α答案
6 12
πcos2＋α
π
解析 ∵－<α<0，
2∴sin α＝－
1221－＝－6， 55
∴tan α＝－26. －sin α
则＝ cos α·tan αtanα＋πcos－αtan αtan α·116
＝－＝＝. tan α2612
π＋αcos2
题型一 同角三角函数基本关系式的应用
12
1．已知α是第四象限角，sin α＝－，则tan α等于( )
13551212A．－ B. C．－ D.
131355答案 C
12解析 因为α是第四象限角，sin α＝－，
135
所以cos α＝1－sin2α＝，
13
欢迎您下载！
审定部编版试题 sin α12
＝－. cos α5
故tan α＝
3
2．若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α等于( )
4644816A. B. C．1 D. 252525答案 A
cos2α＋2sin 2α1＋4tan α6432
解析 tan α＝，则cosα＋2sin 2α＝＝＝.
4cos2α＋sin2α1＋tan2α253．若角α的终边落在第三象限，则A．3 B．－3 C．1 D．－1 答案 B
解析 由角α的终边落在第三象限， 得sin α<0，cos α<0，
cos α2sin αcos α2sin α
故原式＝＋＝＋＝－1－2
|cos α||sin α|－cos α－sin α＝－3.
4．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α等于( ) A．－1 B．－答案 A
22
C. D．1 22
cos α2sin α
＋的值为( )
1－sin2α1－cos2α
sin α－cos α＝2，
解析 由2 2
sinα＋cosα＝1，
消去sin α，得2cos2α＋22cos α＋1＝0， 即(2cos α＋1)2＝0，∴cos α＝－3π
又α∈(0，π)，∴α＝，
4∴tan α＝tan
3π
＝－1. 4
2. 2
思维升华 (1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确sin α
定符号；利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．
cos α
(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
欢迎您下载！ 审定部编版试题 题型二 诱导公式的应用
sinkπ＋αcoskπ＋α
例1 (1)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是( )
sin αcos αA．{1，－1,2，－2} C．{2，－2} 答案 C
sin αcos α
解析 当k为偶数时，A＝＋＝2；
sin αcos α－sin αcos α
当k为奇数时，A＝－＝－2.
sin αcos α
3πα－tanπ＋αcos2π＋αsin2
(2)(2018·太原质检)化简：＝ .
cos－α－3πsin－3π－α答案 －1
B．{－1,1}
D．{1，－1,0,2，－2}
α＋πtan αcos αsin－2π＋2
解析 原式＝ cos3π＋α[－sin3π＋α]
πtan αcos αsin2＋αtan αcos αcos α
＝＝
－cos αsin α－cos αsin αtan αcos αsin αcos α＝－＝－·＝－1.
sin αcos αsin α思维升华 (1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了． (2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α. 跟踪训练1 (1)已知角α终边上一点P(－4,3)，则 πsin－π－αcos2＋α·
11π9π＋α－α·cossin223
答案 － 4
的值为________．
－sin αsin α
解析 原式＝＝tan α，
－sin αcos α3
根据三角函数的定义得tan α＝－. 4
欢迎您下载！ 审定部编版试题 2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α23π
－(sin α≠0,1＋2sin α≠0)，则f63ππ
＋α－sin2＋α1＋sin2α＋cos22
(2)已知f(α)＝
＝ . 答案
3
－2sin α－cos α＋cos α
解析 ∵f(α)＝
1＋sin2α＋sin α－cos2α2sin αcos α＋cos αcos α1＋2sin α1＝＝＝， 22sinα＋sin αsin α1＋2sin αtan α23π111－＝∴f＝＝＝3. 623πππtan－6tan－4π＋6tan 6题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
5π1ππ
＋α＝，且－π<α<－，则cos－α等于( ) 例2 (1)(2018·广州模拟)已知cos123122221122A. B. C．－ D．－
3333答案 D
5πππ
＋α＋－α＝， 解析 因为12122
ππ5ππ
－α＝sin－12－α＝sin＋α. 所以cos12212
π7π5ππ
因为－π<α<－，所以－<α＋<－. 21212125π1π5ππ＋α＝>0，所以－<α＋<－， 又cos123212125π
所以sin12＋α＝－ ＝－
5π1－cos212＋α
12221－＝－. 33
1
(2)已知－π 1－tan x 1 解 ①由已知，得sin x＋cos x＝， 51 两边平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝， 2524 整理得2sin xcos x＝－. 25 欢迎您下载！ 审定部编版试题 49 ∵(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝， 25由－π 25∴cos x>0，∴sin x－cos x<0， 7 故sin x－cos x＝－. 5 sin 2x＋2sin2x2sin xcos x＋sin x②＝ sin x1－tan x 1－cos x2sin xcos xcos x＋sin x＝ cos x－sin x241－×25524＝＝－. 71755引申探究 本例(2)中若将条件“－π 7 ∴sin x－cos x>0，故sin x－cos x＝. 5 思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形． (2)注意角的范围对三角函数符号的影响． 跟踪训练2 (1)(2018·唐山模拟)已知角θ的终边在第三象限，tan 2θ＝－22，则sin2θ＋sin(3π－θ) cos(2π＋θ)－2cos2θ等于( ) A．－2222 B. C．－ D. 6633 答案 D 2tan θ 解析 由tan 2θ＝－22可得tan 2θ＝＝－22， 1－tan2θ即2tan2θ－tan θ－2＝0， 解得tan θ＝2或tan θ＝－ 2. 2 又角θ的终边在第三象限，故tan θ＝2， 欢迎您下载！ 审定部编版试题 故sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－2cos2θ ＝sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θtan2θ＋tan θ－2＝＝ sin2θ＋cos2θtan2θ＋1 22＋2－22 ＝＝. 322＋1 (2)已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 019)的值为( ) A．－1 B．1 C．3 D．－3 答案 D 解析 ∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β) ＝asin α＋bcos β＝3， ∴f(2 019)＝asin(2 019π＋α)＋bcos(2 019π＋β) ＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β) ＝－(asin α＋bcos β) ＝－3. 1．已知α是第四象限角，tan α＝－5 12，则sin α等于( A.15 B．－15 C.5513 D．－13 答案 D 解析 因为tan α＝－512，所以sin αcos α＝－512， 所以cos α＝－12 5 sin α， 代入sin2α＋cos2α＝1，解得sin α＝±5 13 ， 又α是第四象限角，所以sin α＝－5 13. 2．已知α为锐角，且sin α＝4 5，则cos(π＋α)等于( ) A．－35 B.3445 C．－5 D.5 答案 A ) 欢迎您下载！ 审定部编版试题 3 解析 ∵α为锐角，∴cos α＝1－sin2α＝， 53 ∴cos(π＋α)＝－cos α＝－. 5 π 3．(2018·大同质检)已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<，则θ等于( ) 2A．－π6 B．－πππ3 C.6 D.3 答案 D 解析 ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝3. 又∵|θ|<ππ2，∴θ＝3 . 4．(2018·佛山质检)已知α∈π2，π，且cos α＝－5 tan13，则α＋π2cosα＋π 等于( A.12121313 13 B．－13 C.12 D．－12 答案 C 解析 ∵α∈π2，π，且cos α＝－5 13， ∴sin α＝1－cos2α＝12 13， tanπcos α则α＋2－sin α1cosα＋π＝－cos α＝sin α＝1312 . 5．已知tan θ＝2，则sin2θ－sin θcos θ 2cos2θ的值为( ) A.12 B．1 C．－1 2 D．－1 答案 B 解析 ∵tan θ＝2， ∴sin2θ－sin θcos θ2cos2θ＝tan2θ－tan θ2＝4－22 ＝1. 6．(2018·菏泽检测)已知sinπ2＋α＝35，α∈0，π 2，则sin(π＋α)等于( A.35 B．－35 C.44 5 D．－5 答案 D 解析 由已知sinπ2＋α＝35，得cos α＝3 5 ， ) ) 欢迎您下载！ 审定部编版试题 π40，，∴sin α＝， ∵α∈254∴sin(π＋α)＝－sin α＝－. 5π 7．若θ∈2，π，则A．sin θ－cos θ C．±(sin θ－cos θ) 答案 A 解析 因为3π 1－2sinπ＋θsin2－θ 3π 1－2sinπ＋θsin2－θ等于( ) B．cos θ－sin θ D．sin θ＋cos θ ＝1－2sin θcos θ＝sin θ－cos θ2 ＝|sin θ－cos θ|， π 又θ∈2，π，所以sin θ－cos θ>0， 所以原式＝sin θ－cos θ.故选A. 8．(2018·湖南省岳阳一中模拟)已知sin x＋cos x＝A．－33 B. C.3 D．－3 33 3－1 ，x∈(0，π)，则tan x等于( ) 2 答案 D 解析 由题意可知sin x＋cos x＝＋cos2x＝1， 所以2sin xcos x＝－tan x＝－ 32sin xcos x2tan x33，即2＝－，得tan x＝－或tan x＝－3.当2＝2223sinx＋cosxtanx＋1 3－14－23 ，x∈(0，π)，则(sin x＋cos x)2＝，因为sin2x24 3 时，sin x＋cos x<0，不合题意，舍去，所以tan x＝－3.故选D. 3 2 ，则sin A＝________. 3 9．在△ABC中，若tan A＝答案 22 11 解析 因为tan A＝ 2 >0，所以A为锐角， 3 sin A2 由tan A＝＝以及sin2A＋cos2A＝1， cos A3可求得sin A＝22. 11 445 －π的值是 ． 10．(2018·唐山检测)sin π·cos π·tan336 欢迎您下载！ 审定部编版试题 33 答案 － 4 ππ－π·－π－π π＋·解析 原式＝sincostan336πππ －sin ·－cos ·－tan ＝363＝－ 3333 ×－×(－3)＝－. 422 2sin αcos α－cos α＋1π511．已知0<α<，若cos α－sin α＝－，则的值为 ． 251－tan α答案 5－9 5 5 ，① 5 解析 因为cos α－sin α＝－1 所以1－2sin αcos α＝， 54 即2sin αcos α＝. 5 49 所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋＝. 55π 又0<α<， 2所以sin α＋cos α>0. 35所以sin α＋cos α＝.② 5 255 由①②得sin α＝，cos α＝，tan α＝2， 552sin αcos α－cos α＋15－9 所以＝. 51－tan α sinkπ－αcos[k－1π－α] 12．已知k∈Z，化简：. sin[k＋1π＋α]coskπ＋α解 当k＝2n(n∈Z)时， sin2nπ－αcos[2n－1π－α]原式＝ sin[2n＋1π＋α]cos2nπ＋αsin－α·cos－π－α＝ sinπ＋α·cos α－sin α－cos α＝＝－1； －sin α·cos α当k＝2n＋1(n∈Z)时， sin[2n＋1π－α]·cos[2n＋1－1π－α]原式＝ sin[2n＋1＋1π＋α]·cos[2n＋1π＋α]sinπ－α·cos αsin α·cos α＝＝＝－1. sin α·cosπ＋αsin α－cos α 欢迎您下载！ 审定部编版试题 综上，原式＝－1. 13．若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为( ) A．1＋5 C．1±5 答案 B mm 解析 由题意知sin θ＋cos θ＝－，sin θcos θ＝， 24又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， m2m ∴＝1＋， 42 解得m＝1±5，又Δ＝4m2－16m≥0， ∴m≤0或m≥4，∴m＝1－5. 14．已知A，B为△ABC的两个内角，若sin(2π＋A)＝－2·sin(2π－B)，3cos A＝－2cos(π－B)，则B＝ . π答案 6 B．1－5 D．－1－5 sin A＝2sin B， 解析 由已知得 3cos A＝2cos B， 223 化简得2cos2A＝1，即cos A＝±.当cos A＝时，cos B＝，又A，B是三角形内角，∴B 222π233π5π ＝；当cos A＝－时，cos B＝－，又A，B是三角形内角，∴A＝，B＝，不合题62246π意，舍去，综上可知B＝. 6 ππ 0，，且sin(π－α)＝2cos－β.3cos(－α)＝－2cos(π＋β)，求α，β. 15．已知α，β∈22 sin α＝2sin β， ① 解 由已知可得 3cos α＝2cos β， ② 1 ∴sin2α＋3cos2α＝2，∴sin2α＝， 2π2π0，，∴sin α＝，α＝. 又α∈224 欢迎您下载！ 审定部编版试题 将α＝π4代入①中得sin β＝12 ， 又β∈0，π2，∴β＝π6，综上α＝ππ4，β＝6. 16．已知cosπ2－α＋sinπ 2＋β＝1. 求cos232π＋α＋cos β－1的取值范围． 解 由已知得cos β＝1－sin α. ∵－1≤cos β≤1，∴－1≤1－sin α≤1， 又－1≤sin α≤1，可得0≤sin α≤1， ∴cos23 2π＋α＋cos β－1＝sin2α＋1－sin α－1＝sin2α－sin α ＝ sin α－1122－4.(*) 又0≤sin α≤1， ∴当sin α＝12时，(*)式取得最小值－14 ， 当sin α＝0或sin α＝1时，(*)式取得最大值0，故所求范围是－1 4，0 . 欢迎您下载！ 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容