全国中学生数学竞赛二试模拟训练题(25)

1．四边形ABCD内接于圆，△BCD，△ACD，△ABD，

△ABC的内心依次记为IA，IB，IC，ID.试证：IAIBICID是矩形.

ICIDDIBIAC

2. 设x,y,z都是正数,并且x2y2z21,求证:

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ABxyyzzx3 zxy3. 正五边形的每个顶点对应一个整数使得这五个整数的和为正．若其中三个相连顶点相应的整数依次为x、y、z，而中间的y＜0，则要进行如下的操作：整数x、y、z分别换为x＋y、－y、z＋y．只要所得的五个整数中至少还有一个为负时，这种操作就继续进行．问：是否这样的操作进行有限次后必定终止？

4、试证：当2n11时，不存在n个连续自然数，使得它们的平方和是完全平方数.

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加试模拟训练题（25）

1．四边形ABCD内接于圆，△BCD，△ACD，△ABD，△ABC的内心依次记为IA，

IB，IC，ID.试证：IAIBICID是矩形. 分析：连接AIC，AID，BIC，BID和DIB.易得

11D∠AICB=90°+∠ADB=90°+

22∠ACB=∠AIDBA，B，ID，IC四点 IBIAC共圆.

同理，A，D，IB，IC四点共圆.此时

1∠AICID=180°-∠ABID =180°-∠ABC， ICID21AB∠AICIB=180°-∠ADIB=180°-∠ADC， 211∴∠AICID+∠AICIB=360°-(∠ABC+∠ADC)=360°-×180°=270°.

22故∠IBICID=90°.

同样可证IAIBICID其它三个内角皆为90°.该四边形必为矩形. 2. 设x,y,z都是正数,并且x2y2z21,求证:

xyyzzx3 (根据前苏联第22届数学竞赛试题改编) zxy分析与证明: 以33(x2y2z2)代入原不等式可得齐次不等式:

xyyzzx3(x2y2z2). zxyxyyzzxx2y2y2z2z2x2222因为 zxyz2x2y22(xyz)

2x2y2y2z2z2x2而 2z2x2y2x2y2z2x2+z2y2x2y2y2z2=z2x2y2z2z2x2+x2y2 2222(xyz). 从而原不等式得证. 3. 正五边形的每个顶点对应一个整数使得这五个整数的和为正．若其中三个相连顶点相应的整数依次为x、y、z，而中间的y＜0，则要进行如下的操作：整数x、y、z分别换为x＋y、－y、z＋y．只要所得的五个整数中至少还有一个为负时，这种操作就继续进行．问：是否这样的操作进行有限次后必定终止？第二十七届(1986年)国际数学奥林匹克题

【解】为方便计，把五个数写成一列：v、w、x、y、z，并注意v与z是相邻的．不妨设y

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＜0．操作后，便得v、w、x＋y、－y、y＋z．它们的和未变．

考虑操作前后各项平方及每相邻两项和的平方之和(称为双平方和)的差． [v2＋w2＋(x＋y)2＋(－y)2＋(y＋z)2＋(v＋w)2 ＋(w＋x＋y)2＋x2＋z2＋(y＋z＋v)2－[v2＋w2 ＋x2＋y2＋z2＋(v＋w)2＋(w＋x)2＋(x＋y)2 ＋(y＋z)2＋(z＋v)2] ＝2y(v＋w＋x＋y＋z)

因为y＜0，v＋w＋x＋y＋z＞0，故上述差为负数．这就是说，每操作一次后，各数双平方和变小．但原来5个数的双平方和为一定值，因此这种操作进行有限次后即行停止，即5个数最后都变为正数．

另解：必定终止。变换前后三个数和虽然不变，但是平方和变小，若不终止，整数的平方和为0，即各整数均为零，还得终止。

注：操作过程中的不变性质和变化的性质是解决问题的关键。

4、试证：当2n11时，不存在n个连续自然数，使得它们的平方和是完全平方数. 解析：设x是非负整数.假若结论不成立,即存在yN使

(x1)2(x2)2(xn)2y2,即

1nx2n(n1)xn(n1)(2n1)y2 ①

612记An(n1)(2n1). 则yA(modn).

6当n3,4,9时，分别由① 和n|y.令ynz，代入①得

1x2(n1)x(n1)(2n1)nz2,

6n1212即(x)(n1)nz2.

212把n5,7代入后将分别得到(x3)20(mod5),(x4)30(mod7).但这是

22不可能的，故n5,7.

当n6,8,10时,由①得(n1)[xnx2221n(2n1)]x2y2 ② 6若n6,则由②知,xy0(mod7)，由于x的任意性，所以只能有

x20,1,2,40(mod7)因此要使x2y20(mod7)成立,只能x0,y0(mod7),于是

1n(n1)(2n1)713,这是不可能的,故n6.同理可证n10. 61222 若n8,则由②可得xy9x89x89172046(mod9),这是

6不可能的,故n8.综上,命题得证.

由③知有7|2第 4 页 共 4 页