高考第一轮复习数学：平面向量(附答案)

素质水平检测〔五〕

一、选择题〔每题5分,共60分〕

1.点M〔4,－3〕关于点N〔5,－6〕的对称点是 A.〔4,3〕 C.〔－

B.〔

9,0〕 21,3〕 2D.〔6,－9〕

解析：设M关于N的对称点为M〔x,y〕,MN=NM,把坐标代入即可. 答案：D

2.有三个命题：①向量AB与CD是共线向量,那么A、B、C、D必在同一直线上；②向量a与向量b平行,那么a与b的方向相同或相反；③四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB=DC.其中正确的选项是

A.②

B.③

C.①③

D.②③

解析：①AB与CD共线,AB与CD也可以平行.②中a与b也可能为0.选B. 答案：B

3.A〔1,2〕,B〔4,2〕,那么向量AB按向量a=〔－1,3〕平移后得到的向量坐标是 A.〔3,0〕 C.〔－4,3〕

B.〔3,5〕 D.〔2,3〕

解析：AB=〔3,0〕,向量AB按任何方向平移后坐标不变. 答案：A

4.|a|=4,|b|=8且a与2b－a互相垂直,那么向量a与b的夹角是 A.arccosC.

1 4

B.π－arccosD.

1 4π 3π 61. 4解析：由a⊥〔2b－a〕得a·〔2b－a〕=0,∴2|a||b|cosθ－|a|2=0.∴cosθ=又0≤θ≤π,∴θ=arccos

1. 4答案：A

5.△ABC中,b=10,c=15,C=30°,那么此三角形的解的情况是 A.一解 B.两解 C.无解 解析：由b＜c得B＜C,B必为小于30°的锐角. 答案：A

6.以下命题：

D.无法确定

①k∈R,且kb=0,那么k=0或b=0； ②假设a·b=0,那么a=0或b=0；

③假设不平行的两个非零向量a、b,满足|a|=|b|,那么〔a+b〕·〔a－b〕=0； ④假设a与b平行,那么|a·b|=|a||b|； ⑤a∥b,b∥c,那么a∥c. 其中真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 解析：①正确；②错误,假设a⊥b,那么a·b=0；③正确,由于〔a+b〕·〔a－b〕=|a|2－|b|2=0；④正确,可设a=λb,那么a·b=λb·b=λ|b|2；⑤错误,假设b=0,那么对任意a与c,均有a∥b,b∥c成立.

答案：C

7.点P〔cosα,sinα〕,Q〔cosβ,sinβ〕,那么|PQ|的最大值是 A.2

B.2

C.4

D.不存在

解析：|PQ|2=〔cosβ－cosα〕2+〔sinβ－sinα〕2=2－2〔cosαcosβ+sinαsinβ〕= 2－2cos〔α－β〕,故当cos〔α－β〕=－1时,|PQ|取最大值2.

答案：B

8.在△ABC中,a2+b2－c2=ab,那么角C为 A.60° B.45°或135° C.120° D.30°

a2b2c21解析：cosC==,C=60°.

2ab2答案：A

9.点P1,P2,…,Pn是线段AB的n个n+1等分点,P∈{P1,P2,…,Pn},那么P分有向线段AB的比λ的最大值和最小值分别是

A.n+1,C.n,

1 n2

B.n+1,

1 n11 n11 nD.n－1,

解析：由AP=λPB知λ取得最大值时P为距点B最近的点Pn,取最小值时为P1. 答案：C

10.假设a与b的夹角为60°,|b|=2,〔a+b〕·〔a－2b〕=－2,那么向量a的模是 A.2 B.5 C.3 D.6 解析：由题意知a2－a·b－2b2=－2,|b|=2,cos60°=

1,代入得|a|2－|a|－6=0. 2∴|a|=3或|a|=－2〔舍去〕. 答案：C

11.命题p：|a|=|b|且a∥b；命题q：a=b,那么p是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分要件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 解析：当a∥b且a与b方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a∥b不是a=b

的充分条件,而是必要不充分条件.

答案：B

12.在平面直角坐标系中,O为原点,OA=a,OB=b,对任意一点M,它关于A的对称点为S,S关于点B的对称点为N,那么MN用a、b表示为

A.2〔b－a〕 C.a+b

B.D.

1〔a－b〕 21〔a+b〕 2解析：MN=MS+SN=2AS+2SB=2OB－2OA.〔四边形OASB是平行四边形〕 答案：A

二、填空题〔每题4分,共16分〕 13. OA=3e1,OB=3e2,且AP=解析：AB=3e2－3e1,AP=答案：2e1+e2

1PB,那么OP=____________. 21AB=e2－e1,OP=OA+AP=2e1+e2. 3114.向量a=〔1,2〕,b=〔－2,1〕,假设正数k和t满足x=a+〔t2+1〕b与y=－ka+b

t垂直,那么k的最小值是____________.

解析：x=〔1－2－2t2,1+2+t2〕,y=〔－k－

21,－2k+〕,由x⊥y得x·y=0.tt1又t＞0,∴k=t+≥2.∴当t=1时,k的最小值为2.

t答案：2

15.在△ABC中,记BC=a,AC=b,AB=c,假设cotC=____________.

cotAcotBcosCcotCsinC解析：= cotAcotBcosAcosBsinAsinB9a2+9b2－19c2=0,那么

===

sinAsinBcosCsin2C9a29b29c218c19c29c22aba2b2c2a2b2c2=2=

2abc2c2

18c25答案：

916.直线l1过点〔0,t〕,方向向量为〔1,1〕,直线l2过点〔t,1〕,方向向量为〔1,－2〕,P为l1、l2的交点,当t变化时,P的轨迹方程为____________.

=

5. 9解析：l1方程为x－y+t=0,l2方程为2x+y－1－2t=0,两式消去t即得P的轨迹方程. 答案：4x－y－1=0

三、解做题〔本大题共6小题,共74分〕 17.〔12分〕向量a=〔3,－4〕,求： 〔1〕与a平行的单位向量b； 〔2〕与a垂直的单位向量c；

〔3〕将a绕原点逆时针方向旋转45°得到的向量e的坐标. 解：〔1〕设b=λa,那么|b|=1,b=〔

3434,－〕或b=〔－,〕. 55554343,〕或c=〔－,－〕. 5555〔2〕由a⊥c,a=〔3,－4〕,可设c=λ〔4,3〕,求得c=〔〔3〕设e=〔x,y〕,那么x2+y2=25. 又a·e=3x－4y=|a||e|cos45°,即3x－4y=e=〔－

272,－〕, 2272225,－〕,或2,由上面关系求得e=〔222722,－〕. 22118.〔12分〕向量a=〔1,cos2θ〕,b=〔2,1〕,c=〔4sinθ,1〕,d=〔sinθ,1〕,其中θ∈

2而向量e由a绕原点逆时针方向旋转45°得到,故e=〔

〔0,

π〕. 4〔1〕求a·b－c·d的取值范围；

〔2〕假设函数f〔x〕=|x－1|,判断f〔a·b〕与f〔c·d〕的大小,并说明理由. 解：〔1〕a·b=2+cos2θ,c·d=2sin2θ+1=2－cos2θ. ∵a·b－c·d=2cos2θ,

ππ.∴0＜2θ＜. 42∴0＜cos2θ＜1.∴0＜2cos2θ＜2. ∴a·b－c·d的取值范围是〔0,2〕.

〔2〕f〔a·b〕=|2+cos2θ－1|=|1+cos2θ|=2cos2θ, f〔c·d〕=|2－cos2θ－1|=|1－cos2θ|=2sin2θ.

于是有f〔a·b〕－f〔c·d〕=2〔cos2θ－sin2θ〕=2cos2θ. ∴0＜θ＜

ππ,∴0＜2θ＜. 42∴2cos2θ＞0.∴f〔a·b〕＞f〔c·d〕.

19.〔12分〕△ABC的三个内角A、B、C满足以下条件： ∵0＜θ＜

①A＜B＜C；②A、B、C成等差数列；③tanA·tanC=2+3. 〔1〕求A、B、C的大小；

〔2〕假设AB边上的高为43,求a、b、c的大小. 解：〔1〕由题意知B=60°,A+C=120°,tan〔A+C〕=

tanAtanC=－tanB=－3,∴

1tanAtanCtanA1，tanA23，tanA+tanC=3+3.故或〔舍〕,故A=45°,B=60°,C=75°.

tanC23tanC1〔2〕过C作CD⊥AB于点D,那么CD＝43,在Rt△ACD和Rt△ABC中,由正弦定理得a=

CDCD=8,b==46,c=AD+DB=43+4. sinBsinA20.〔12分〕a=〔cosθ,sinθ〕,b=〔cosβ,sinβ〕,a与b之间有关系式|ka+b|=3|a－kb|

〔k＞0〕.

〔1〕用k表示a·b；

〔2〕求a·b的最小值,并求此时a与b夹角的大小.

（3k2）a2（3k21）b2k21解：〔1〕将|ka+b|=3|a－kb|两边平方得a·b==.

8k4k〔2〕∵〔k－1〕2≥0,

k212k1又k＞0,∴≥=,

4k4k211即a·b≥,cosα=.

22又0°≤α≤180°,故a与b的夹角为60°.

21.〔12分〕矩形ABCD,E、F分别是AD、BC的中点,求证：对角线AC⊥BE,AC⊥DF

的充要条件是AB∶BC=1∶2.

证实：设BA=a,BC=b,那么a⊥b. AE=

11b,AC=b－a,BE=BA+AE=a+b. 221b〕=0, 2〔1〕必要性：∵AC⊥BE,∴〔b－a〕·〔a+

1221b－a－a·b=0. 22∵a⊥b,∴a·b=0. 即a·b+∴

1221b－a=0,即b2=a2,得b2=2a2,|b|=2|a|. 22∴AB∶BC=1∶2.

〔2〕充分性：∵AC·BE=〔b－a〕·〔a－又∵a⊥b,∴a·b=0. ∴AC·BE=

111b〕=a·b+b2－a2－a·b, 22212212

b－a=|b|－|a|2. 22∵AB∶BC=1∶2,∴|a|∶|b|=1∶2.

∴|a|2=

12

|b|.∴AC·BE=0. 2故AC⊥BE.

同理可证AC·DF=0,那么AC⊥DF.

综合〔1〕〔2〕知AC⊥BE,AC⊥DF的充要条件是AB∶BC=1∶2.

22.〔14分〕设坐标平面上全部向量的集合为V,a=〔a1,a2〕为V的一个单位向量.从V到V的映射f由f〔x〕=－x+2〔x·a〕a〔x∈V〕确定.

〔1〕假设x、y∈V,求证：f〔x〕·f〔y〕=x·y； 〔2〕对于x∈V,计算f［f〔x〕］－x；

〔3〕设u=〔1,0〕,v=〔0,1〕,假设f〔u〕=v,求a. 〔1〕证实：f〔x〕·f〔y〕=［－x+2〔x·a〕a］·［－y+2〔y·a〕a］ =x·y－4〔x·a〕〔y·a〕+4〔x·a〕〔y·a〕a2=x·y. 〔2〕解：∵f［f〔x〕］=f［－x+2〔x·a〕a］ =－［－x+2〔x·a〕a］+2{［－x+2〔x·a〕a］·a}a =x－2〔x·a〕a+2［－x·a+2〔x·a〕a2］a =x－2〔x·a〕a+2〔x·a〕a=x, ∴f［f〔x〕］－x=0.

22a110，〔3〕解：由f〔u〕=v,得

2a1a21.a1解得a22，a12或2a222，2 2.2∴a=〔

2222,〕或a=〔－,－〕. 2222