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6年级奥数几何综合问题(中)例题解析

来源:个人技术集锦
【内容概述】本讲将涉及到图形的对称、平移、旋转、割补及其他等积变换,下面我们就这些变换的预备知识及变换本身进行学习和探讨.

这个比值k叫做两个三角形的相似系数(注意三角形的先后顺序),如果相似系数为1,就称这两个三角形全等,记作△ABC≌△A′B′C′. 如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三角形相似; 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似; 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似. (以上3条判定定理中,如果含有边的比例的关系,而其中的比例系数为1,则这两个三角形全等.) 2.两条直线平行,则: 同旁内角互补 同位角相等 内错角相等 (两角之和为180°,称为互补) 反之,如果知道上面某种情况的成立,则那两条直线平行. 3.两个相似三角形的面积比值为相似系数的平方.

【例题】

题1.如下图,六边形ABCDEF中,AB=ED,AF=CD,BC=EF,且有AB平行ED,AF平行CD,BC平行EF,对角线FD垂直与BD.已知FD=24厘米,BD=18厘米,试求六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米?

「分析与解」如图,我们将BCD平移使得CD与AF重合,DEF平移使得ED与AB重合.这样就组成一个长方形,显然有面积为24×18=432平方厘米,即ABCDEF的面积为432平方厘米.

题2.四边形ABCD中,AB=30,AD=48,BC=14,CD=40.又已知∠ABD+∠BDC=90°,求四边形ABCD的面积.

「分析与解」 如下图,以BD的垂直平分线为对称轴,做△ABD关于l的对称图形△A′BD.连接A′C.

因为∠ABD+∠BDC=90°,而∠ABD=∠A′DB=90°,所以有∠A′DB+∠BDC=90°.

那么△A′CD为直角三角形,由勾股定理知A′C2=AB2+CD2=2500,所以A′C=50.

而在△A′BC中,有A′B=AD=48,有482+142=2500,即A′B2+BC2=A′C2,即△A′BC为直角三角形.

有S△A′CD+S△A′BC=30×40×

+14×48×=936.而S四边形ABCD=S△A′CD+S△A′BC=936.

评注:Ⅰ.本题以∠ABD+∠BDC=90°为突破口,通过对称变换构造出与原图形相关的直角三角形.这样面积就很好解决.

Ⅱ.对于这道题我们还可以将△BCD作l的对称图形,如下:

题3.如下图所示,梯形ABCD中,AB平行与CD,又BD=3,AC=4,AB+CD=5,试求梯形ABCD的面积.

「分析与解」如下图,将AB沿AC平移至CE,连接BE.在三角形BDE中,有BD=3,BE=4,DE=5,有BD2+BE2=DE2,所以三角形BDE为直角三角形.

有S梯形ABCD=S△BDE=

×3×4=6.

题4.如图,在三角形ABD中,当AB和CD的长度相等时,请求出“?”所示的角是多少度,给出过程.

「分析与解」 因为AB=CD,于是可以将三角形ABC的边BA边与CD对齐,如右图.

在右图中有∠BCA=110°,所以∠ACD=70°

于是∠ACC′=∠ACD+∠DCC′=∠ACD+∠ACB=70°+40°=110°; 于是∠ACC′=110°=∠CC′D;又因为C′A′只是CA移动的变化,所以C′A′=CA;则AB′C′A′是一等腰梯形. 于是,∠ADC′=180°-110°=70°;

又∠CDC′=30°,所以∠ADC=70°-30°=40°.

题5.如下图所示,有六边ABCDEF,已知∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°,AB=BC=CD;AF=DE;∠ECF=60°;已知FEC的面积为6,求六边形ABCDEF的面积为多少?

「分析与解」 如下图,

因为BC=CE,所以我们可以将△CDE绕C点转到E′点,使E′B平行CD. 连接E′、F;E′、B,设E′F、AB交于Q点.有△E′BC≌△EDC. 而在△E′BQ、△FAQ中,∠E′BQ=∠FAQ=120°,∠E′QB=∠AQF(对顶角相等),E′B=AF=ED,所以有△E′BQ≌△FAQ.

所以△E′FC即为六边形ABCDEF除△CEF所剩下的部分的等积图形;

而在△E′FC、△EFC中,E′C=EC,FC=FC,∠E′CF=∠ECF,所以△E′FC≌△EFC.所以S六边形ABCDEF=2×S△CEF; 于是,S六边形ABCDEF=6×2=12.

题6.如下图,△ABC为边长为1的等边三角形,△BCD是等腰三角形,BD=CD,顶角∠BDC=120°,∠MDN=60°,求△AMN的周长.

「分析与解」 如下图,延长AC至P,使CP=MB,连接DP.

则有∠MBD=60°+PCD.

=∠PCD;CP=BM;BD=CD,所以有△MBD≌△

于是∠MDB=∠PDC;又因为∠MDB+∠NDC=60°,所以∠PDC+∠NDC=∠NDP=60°; MD=PD.

在△MND、△PND中,∠NDM=∠NDP,ND=ND,MD=PD,于是△MND≌△PND.有MN=PN.

因为MN=NP=NC+CP,而AM=AB-MB=AB-CP,所以AM+AN+MN=(AB-CP)+AN+(NC+CP)=AB+AN+NC=2. 即△AMN的周长为2.

题7.如下图,三角形ADC,是AC边与AD边长度相等的等腰三角形.求出下图中?的角度.

「分析与解」 作△ADB关于AB的对称图形,为△AD′B,在BC上选择E点使EA=CA;

△BD′A≌△BCA,∠BD′A=∠BDA,注意到∠BED′似直角,D′EA似为等边三角形.如果解决,则,显然就有∠BDA=∠BD′A=?,答案显然为105°.注意到∠AEC=30°,则∠EAC=120°,

于是∠D′AE=60°,又因为D′A=DA=AC=AE,所以三角形D′AE为等边三角形.

∠D′EC=∠D′EA+∠AEC=60°+30°=90°;于是∠D′EB=180°-90°=90°.

又知道∠BEA=90°+60°=150°;所以∠BAE=180°-150°-15°=15°; 所以BEA为等腰三角形;于是BE=EA=ED′;BED′为等腰直角三角形. 综合以上分析知∠BDA=105°.

题8.下图为半径20厘米、圆心角为144°的扇形图.点C、D、E、F、G、H、J是将扇形的B、K弧线分为8等份的点.求阴影部分面积之和.

「分析与解」 如下图,做出辅助线

△KMA与△ANG形状相同(对应角相等),大小相等(对应边相等),有△KMA≌△ANG,S△KMA=S△ANG,而△KMA是两个三角形的公共部分,所以上图中的阴影部分面积相等.

所以,GNMK与扇形KGA的面积相等,那么KGEB的面积为2倍扇形KGA的面积.

扇形KGA的圆心角为方厘米.

×3=54°,所以扇形面积为×202×π=60π平

那么KGEB的面积为60π×2=120π平方厘米. 如右图,做出另一组辅助线.

△JQA与△ARH形状相同(对应角相等),大小相等(对应边相等),有△JQA≌△ARH,S△JQA=S△ARH,而△PQA是两个三角形的公共部分,所以上图中的阴影部分面积相等.

所以,JHPQ与扇形JHA的面积相等,那么JHDC的面积为2倍扇形JHA的面积.

扇形JHA的圆心角为厘米.

=18°,所以扇形面积为×20×π=20π平方

2

那么JHDC的面积为10π×2=40π平方厘米.

所以,原题图中阴影部分面积为SKGEB-SJHDC=120π-40π=80π≈80×3.14=251.2平方厘米.

题9.如下图,三角形ABC中AB=AC,∠BAC=120°,三角形ADE为正三角形,点D在BC边上.并且有BD:DC=2:3.三角形ABC的面积为50平方厘米,试求三角形ADE的面积?

「分析与解」以点A为中心,使三角形ABC旋转120°,240°使其与原图形形成一个正三角形,并使QC:PQ=RP:BR=2:3.

在正三角形PBC的内部连接成一个正六边形图,再连接正六角形的顶点得到正三角形DQR.

有S△PBC=S△ABC×3=150,S△DCQ=S△PBC××=36,S△DQR=S△PBC-3S△DCQ=42,

S△ADE=

S正六边形DQR=S△DQR=14平方厘米.

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