这个比值k叫做两个三角形的相似系数(注意三角形的先后顺序)，如果相似系数为1，就称这两个三角形全等，记作△ABC≌△A′B′C′． 如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似； 如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似； 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． (以上3条判定定理中，如果含有边的比例的关系，而其中的比例系数为1，则这两个三角形全等．) 2．两条直线平行，则： 同旁内角互补 同位角相等 内错角相等 (两角之和为180°,称为互补) 反之，如果知道上面某种情况的成立，则那两条直线平行． 3．两个相似三角形的面积比值为相似系数的平方．
【例题】
题1．如下图，六边形ABCDEF中，AB＝ED，AF＝CD，BC＝EF，且有AB平行ED，AF平行CD，BC平行EF，对角线FD垂直与BD．已知FD＝24厘米，BD＝18厘米，试求六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？
「分析与解」如图，我们将BCD平移使得CD与AF重合，DEF平移使得ED与AB重合．这样就组成一个长方形，显然有面积为24×18＝432平方厘米，即ABCDEF的面积为432平方厘米．
题2．四边形ABCD中，AB＝30，AD＝48，BC＝14，CD＝40．又已知∠ABD+∠BDC＝90°，求四边形ABCD的面积．
「分析与解」 如下图，以BD的垂直平分线为对称轴，做△ABD关于l的对称图形△A′BD．连接A′C．
因为∠ABD+∠BDC＝90°，而∠ABD＝∠A′DB＝90°，所以有∠A′DB+∠BDC＝90°．
那么△A′CD为直角三角形，由勾股定理知A′C2＝AB2+CD2＝2500，所以A′C＝50．
而在△A′BC中，有A′B＝AD＝48，有482+142＝2500，即A′B2+BC2＝A′C2，即△A′BC为直角三角形．
有S△A′CD+S△A′BC＝30×40×
+14×48×＝936．而S四边形ABCD＝S△A′CD+S△A′BC＝936．
评注：Ⅰ．本题以∠ABD+∠BDC＝90°为突破口，通过对称变换构造出与原图形相关的直角三角形．这样面积就很好解决．
Ⅱ．对于这道题我们还可以将△BCD作l的对称图形，如下：
题3．如下图所示，梯形ABCD中，AB平行与CD，又BD＝3，AC＝4，AB+CD＝5，试求梯形ABCD的面积．
「分析与解」如下图，将AB沿AC平移至CE，连接BE．在三角形BDE中，有BD＝3，BE＝4，DE＝5，有BD2+BE2＝DE2，所以三角形BDE为直角三角形．
有S梯形ABCD＝S△BDE＝
×3×4＝6．
题4．如图，在三角形ABD中，当AB和CD的长度相等时，请求出“？”所示的角是多少度，给出过程．
「分析与解」 因为AB＝CD，于是可以将三角形ABC的边BA边与CD对齐，如右图．
在右图中有∠BCA＝110°，所以∠ACD＝70°
于是∠ACC′＝∠ACD＋∠DCC′＝∠ACD＋∠ACB＝70°＋40°＝110°； 于是∠ACC′＝110°＝∠CC′D；又因为C′A′只是CA移动的变化，所以C′A′＝CA；则AB′C′A′是一等腰梯形． 于是，∠ADC′＝180°－110°＝70°；
又∠CDC′＝30°，所以∠ADC＝70°－30°＝40°．
题5．如下图所示，有六边ABCDEF，已知∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝120°，AB＝BC＝CD；AF＝DE；∠ECF＝60°；已知FEC的面积为6，求六边形ABCDEF的面积为多少？
「分析与解」 如下图，
因为BC＝CE，所以我们可以将△CDE绕C点转到E′点，使E′B平行CD． 连接E′、F；E′、B，设E′F、AB交于Q点．有△E′BC≌△EDC． 而在△E′BQ、△FAQ中，∠E′BQ＝∠FAQ＝120°，∠E′QB＝∠AQF(对顶角相等)，E′B＝AF＝ED，所以有△E′BQ≌△FAQ．
所以△E′FC即为六边形ABCDEF除△CEF所剩下的部分的等积图形；
而在△E′FC、△EFC中，E′C＝EC，FC＝FC，∠E′CF＝∠ECF，所以△E′FC≌△EFC．所以S六边形ABCDEF＝2×S△CEF； 于是，S六边形ABCDEF＝6×2＝12．
题6．如下图，△ABC为边长为1的等边三角形，△BCD是等腰三角形，BD＝CD，顶角∠BDC＝120°，∠MDN＝60°，求△AMN的周长．
「分析与解」 如下图，延长AC至P，使CP＝MB，连接DP．
则有∠MBD＝60°＋PCD．
＝∠PCD；CP＝BM；BD＝CD，所以有△MBD≌△
于是∠MDB＝∠PDC；又因为∠MDB＋∠NDC＝60°，所以∠PDC＋∠NDC＝∠NDP＝60°； MD＝PD．
在△MND、△PND中，∠NDM＝∠NDP，ND＝ND，MD＝PD，于是△MND≌△PND．有MN＝PN．
因为MN＝NP＝NC+CP，而AM＝AB－MB＝AB－CP，所以AM＋AN＋MN＝(AB－CP)+AN+(NC+CP)＝AB+AN+NC＝2． 即△AMN的周长为2．
题7．如下图，三角形ADC，是AC边与AD边长度相等的等腰三角形．求出下图中？的角度．
「分析与解」 作△ADB关于AB的对称图形，为△AD′B，在BC上选择E点使EA=CA;
△BD′A≌△BCA，∠BD′A＝∠BDA，注意到∠BED′似直角，D′EA似为等边三角形．如果解决，则，显然就有∠BDA＝∠BD′A＝？，答案显然为105°．注意到∠AEC＝30°，则∠EAC＝120°，
于是∠D′AE＝60°，又因为D′A＝DA＝AC＝AE，所以三角形D′AE为等边三角形．
∠D′EC＝∠D′EA＋∠AEC＝60°＋30°＝90°；于是∠D′EB＝180°－90°＝90°．
又知道∠BEA＝90°＋60°＝150°；所以∠BAE＝180°－150°－15°＝15°； 所以BEA为等腰三角形；于是BE＝EA＝ED′；BED′为等腰直角三角形． 综合以上分析知∠BDA＝105°．
题8．下图为半径20厘米、圆心角为144°的扇形图．点C、D、E、F、G、H、J是将扇形的B、K弧线分为8等份的点．求阴影部分面积之和．
「分析与解」 如下图，做出辅助线
△KMA与△ANG形状相同(对应角相等)，大小相等(对应边相等)，有△KMA≌△ANG，S△KMA＝S△ANG，而△KMA是两个三角形的公共部分，所以上图中的阴影部分面积相等．
所以，GNMK与扇形KGA的面积相等，那么KGEB的面积为2倍扇形KGA的面积．
扇形KGA的圆心角为方厘米．
×3＝54°，所以扇形面积为×202×π＝60π平
那么KGEB的面积为60π×2＝120π平方厘米． 如右图，做出另一组辅助线．
△JQA与△ARH形状相同(对应角相等)，大小相等(对应边相等)，有△JQA≌△ARH，S△JQA＝S△ARH，而△PQA是两个三角形的公共部分，所以上图中的阴影部分面积相等．
所以，JHPQ与扇形JHA的面积相等，那么JHDC的面积为2倍扇形JHA的面积．
扇形JHA的圆心角为厘米．
＝18°，所以扇形面积为×20×π＝20π平方
2
那么JHDC的面积为10π×2＝40π平方厘米．
所以，原题图中阴影部分面积为SKGEB－SJHDC＝120π－40π＝80π≈80×3.14＝251.2平方厘米．
题9．如下图，三角形ABC中AB＝AC，∠BAC＝120°，三角形ADE为正三角形，点D在BC边上．并且有BD：DC＝2：3．三角形ABC的面积为50平方厘米，试求三角形ADE的面积？
「分析与解」以点A为中心，使三角形ABC旋转120°，240°使其与原图形形成一个正三角形，并使QC：PQ＝RP：BR＝2：3．
在正三角形PBC的内部连接成一个正六边形图，再连接正六角形的顶点得到正三角形DQR．
有S△PBC＝S△ABC×3＝150，S△DCQ＝S△PBC××＝36，S△DQR＝S△PBC－3S△DCQ＝42，
S△ADE＝
S正六边形DQR＝S△DQR＝14平方厘米．
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