中学课 ｉ辅导 ２０１３年第９期 给自己慧眼，Ｉ狐ｉ住题的“眼’’ ＠ 吴耀军 摘要：在数学解题教学中，教师常用“题眼”这个术语，考其源 头却不见哪一本专业词典有规范的解释。但笔者认为所谓“题眼” 就是题目的要害，是命题者设置的主要障碍点。它常常以知识点、 隐含条件、联结词、临界点等形式出现。一些数学题之所以难，不 二、挖掘题中的隐含条件寻找“题眼” 数学题中的隐含条件是数学问题背后的东西，它使数学知识 的应用更灵活、更深刻，能够顺利挖掘题中的隐含条件，把握“题 眼”，找到解题的突破口，是一个学生数学素养的重要体现。 隐含条件特点是“含而不露”，它事实上已包含于题中的文字 仅因为数学知识的应用复杂多变，还由于潜在条件隐蔽难寻，使 人产生条件不足之感而陷入困境，这正是考查考生思维的深刻程 度。如何迅速寻找突破口，找出数学考题中的“题眼”，高效简洁地 完成解题，集中体现了学生的综合分析能力。本文举例说明识 “题眼”的几种常见方法。 关键词：数学教学；识“题眼”；常见方法 中图分类号：Ｇ６３３６文献 码：Ａ文章编号：１ ９９２—７７１ １（２Ｏｌ ３）０９—０１ １ １ 经常有一些学生问笔者：“为什么在答题过程中常出现误解、 卡壳、毫无思路等情况？”其实，造成这种现象的原因有很多，但其 中一个最重要的原因往往是因不善于识“题眼”而造成的。识“题 眼”是审题和做答的关键。 在数学解题教学中，教师常用“题眼”这个术语，考其源头却 不见哪一本专业词典有规范的解释。但笔者认为所谓“题眼”就是 题目的要害，是命题者设置的主要障碍点。它常常以知识点、隐含 条件、联结词、临界点等形式出现。一些数学题之所以难，不仅因 为数学知识的应用复杂多变，还由于潜在条件隐蔽难寻，使人产 生条件不足之感而陷入困境，这正是考查考生思维的深刻程度。 如何迅速寻找突破口，找出数学考题中的“题眼”，高效简洁地完 成解题，集中体现了学生的综合分析能力。下面，笔者举例说明一 下识“题眼”的几种常见方法。 一、从已知条件中直接寻找“题眼” 题设的条件中必然体现一些数学关系，利用数学的定义、性 质、结论、公理、定理等深刻领会数学关系的内在联系是寻找“题 眼”的关键。比如用哪个章节的知识解题，在运用这些知识点时需 注意什么问题等。 例１．（２０１２年高考（湖南理））在ＡＡＢＣ中，ＡＢ＝２，ＡＣ＝３， ・ ＝１，则ＢＣ＝（） Ａ．、／丁 Ｂ．、／丁 ｃ．２、／ Ｄ． 【解析】 由 ・ ＝Ｉ ｌ ｌｆｃｏｓ（仃一 ＝２×ｌ Ｉ×（－ｃｏｓＢ）＝１． ・ｃｏｓＢ＝＝百１ 又由余弦定理知ｃ。ｓＢ＝—ＡＢ ２＋ ＢＣ ２－ Ａ—Ｃ２．．，解得 ＢＣ＝、／丁． 本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识，考查运 算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法。但需 要注意 ，百 的夹角为 的补角。 本题需要寻找的“题眼”有： （１）“ ・吾 ＝１”中对向量夹角定义的理解； （２）已知三角形的两边及一角，如何利用正、余弦定理解三 角形。 叙述、等式关系、不等关系、图形符号等形式当中，但又没有明确 的在题干中呈现，具有很强的隐蔽性，极易被解题者忽视。一直以 来这种类型的题都是高错误率，但在高中数学各种考试中却屡见 不鲜。 使“隐含”变“明朗”，实现解题突破，就是这类题型解题的题 眼所在。 例２．若Ａ、 均为锐角，且ｔａｎＡ＝丁１ｓｉｎＢ＝ Ｌ，，求Ａ＋２Ｂ 的值。 【解析】＂．＂ｓｉｎＢ＝ 且Ｂ为锐角＇．．．ｃｏｓＢ＝—３ｖ Ｔｏ－ｌＵ ｌＵ ， ・．． ａｎＢ＝ 又‘．’ｓｉｎＢ＝ ＜ ＝ｓｉｎ３０。， 。．．０。＜Ｂ＜３０。． ‘．．０。＜Ａ＋２Ｂ＜１５０。，．‘．Ａ＋２Ｂ＝４５。。 三角函数的求值与化解问题是高中数学题中隐含条件出现 密度最高的章节。解题时，角的范围往往被忽略，或者不能发现其 中所隐含的角的大小关系而出现增根不能排除，造成出错。 本题需要寻找的“题眼”有：（１）求角应先求相应的三角函数 值，合理选择三角函数名称，能使问题更顺利解决；（２）三角函数的 求值与化解问题中，通过“缩角”而排除增根是一种重要技巧。当 题目有一个以上结果时，应警惕产生增根的可能，通过进一步推 敲题目条件使隐含条件明朗化，实现突破。 三、“转化”找“题眼” 许多学生对数学总是处于一种“无力感”的心理状态，特别是 遇到较难题时，思路卡壳，无从下手。要缓解这种状况，一是要牢 固掌握数学基础知识、基本技能及其蕴含的数学思想方法，尤其 要注意每个数学概念、数学方法等成立的前提条件；二是要善于 积累、运用和拓展解题模式，通过类比、对比，把其转化为与平时 训练相似的题型，找到“题眼”，促进解题正迁移。 例３．（温州市２０１２届高三第一学期期末八校联考）已知ｃ为 线段ＡＢ上一点，Ｐ为直线ＡＢ外一点，满足ｌ Ｉ—Ｉ蔚ｌ＝２， １ 一雨Ｉ－２ ， 肭彤（下转第１２８页） 圃１ 生苤！塑中 学课哥ｌ辅导 练习法训练学生的概括能力，从学生的解答中了解诗意是否理解， 用一句比较精彩的话评价他的功绩”。这道题既有对联的知识，又 有人物的评价，评价必须有课外阅读做基础，这样就可以充分调 动学生阅读和写作。 综上所述，课文的探究练习题，贯穿在课堂的每一个教学环 从说感受中知晓学生对每幅画面的内容和情感的把握。第四题：“背 诵并用规范的正楷钢笔字抄写这首诗，特别注意以下字的读音和写 法”。有背诵检测，有书写练习，有字音字形的强调，—举多得。 课堂学习效果的检测，除了直接沿用课后练习题外，还可以 由课后习题延伸到课外，学以致用，拓宽知识面和阅读面。如苏教 节，渗透在每个学习活动中，充分利用它，应该是提高课堂学习效 率的有效途径之一。愿每位教师都能在教学中用好它并能充分发 （作者单位：广西柳州市十二中５４５０００） 版八上《始终眷恋着祖国》探究练习三：“课后了解钱学森回国后 挥它的作用。 为祖国科学事业作出的主要贡献，结合课文内容，写一副对联或 （上接第１０４页）问题的解决，从而使他们的好奇心和学习愿望获 都能各有所得和提高，获得成功的喜悦，让他们都能高高兴兴地 得满足，并体验到认识活动的快乐的情境。在每一个人的心灵深 到学校上学。 处，都有一种根深蒂固的精神需要，就是希望自己是一个发现者、 总之，建构主义学习理论为改变教学脱离实际情况而主张设 研究者、探索者、成功者。而在少年儿童的精神世界中，这种需 置学习情境，对深化教学改革有积极的意义。设置生动形象而又 要比一般人要更强烈一些。教师有责任有义务去激发学生心灵深 符合科学实际的情境，能改变学生在学习中的被动状态，发挥学生 处这种强烈的探求欲望，创造条件让学生主动参与学习活动，而 的主体参与意识，充分调动学生学习的积极性，顺利完成对新知识 且要让学生获得成功的情感体验。只有在学习中不断品尝到成功 意义的建构，大面积提高教学质量。在今后的教学实践中，笔者要 的滋味，学生才会对学习充满信心并保持强大的学习内动力。对 努力提高理论水平、因材施教，设置出更加丰富多彩的学习情境。 于后进生来说，他们人数众多，在学习中经常遭遇到挫折，让他们 能品尝到成功的美好滋味更加难得。因此，在教学中教师要多下 参考文献： 一些功夫，分层次备好课，给学习困难的学生多一些关爱，对他们 ［１】柳海民．当代教育理论专题【Ｍ】．长春：东北师范大学出版社， 要求低一些，提的问题简单一些，多给他们上台板演的机会，特别 ２００２． 是现在教育主管部门在评价学校办学质量时更关注平均分，这样 【２】何克抗．现代教育技术【Ｍ】．北京：北京师范大学出版社，１９９８． 做很有实际意义。我们要让不同层次的学生拥有等同的参与成功 ［３】王永，余文森．来自教改实践的报告【Ｍ】．福州：福建教育出版社， 的机会，不要落下每一个学生，并及时对学生的成功的表现给予 １９９６． 表扬、激励，让他们增强学习信心，使各层次的学生在原有基础上 （作者单位：福建省福清市民乐初级中学３５０３０７１ （上接舢ｌ 且 Ａ（ ＋罱）（Ａ＞ ４ 而 ｆＩ ＝ 的几何意义为 在百’ｌ 方向上的投影，即为ｌＢＣ ｌ 刚 的值为 ＝、／ 一１。 由于向量集数、形于一体，也就是它既有代数的运算性质，又 由眢＝眢 有几何的图形特征，因而向量是高中数学解题中的重要工具。以 向量为背景，一些传统的中学数学内容和问题就有了新的内涵和 缸 ． 蔚． 表现形式。本题中由于题目条件多而杂，学生很难理清其中的关 一 丽’ 系，从而找不到突破口，出现无思路或思路卡壳的情况。 从而转化为ＣＯＳ ＣＰＡ＝ＣＯＳ ＣＰＢ，得到ＰＣ为ＬＢＰＡ的平 任何难题的解决都是有迹可寻的，本题中的关键问题即“题 分线。 眼”所在就是将条件进行合理转化，使复杂问题转化为我们能够 耐 州罱＋罱）（Ａ＞０） 理解的、较为熟悉的问题，本题也就得到了解决。 本题需要寻找的“题眼”有： 知 （罱＋罱 ＞０） （１） ＝ 靴 ∞ ＝ｃｏｓ Ｌ 而罱 罱表示 向上的单位向量与 方向上的 ＰＣ，为 ＢＰＡ的平分线 单位向量的单位向量的和向量转化为ＡＩ是角ＬＢＡＰ的平分线， （２） ＝百 ＋Ａ（ 罱）转化为ＡＩ是 ＢＡＰ的角平分 从而得出，为ＡＡＢＣ的内心 线，看出，为三角形的内心； 由圆的切线长性质可知ｌ １一Ｉ蔚Ｉ＝ｌＡＤ Ｉ—Ｉ Ｅ ｌ＝ＩＡｃ Ｉ— （３） 转化为几何意义： 在 方向上的投影，从而 Ｉ ＣＢ ｌ：２ ｌｌ 利用内心的性质使难题突破。 Ｉ一蔚Ｉ＝２、／ 转化为 由于数学题中“题眼”的形式多种多样，且在一道题中也会存 Ｉ ｌ＝２ ，即ＩＡＣ Ｉ＋Ｉｃｅ Ｉ 在多个“题眼”或多种表现形式。但如果能仔细审题、广泛联系、善 多方向、多角度去寻找“题眼”，理清思路脉络，便会达到 ＝２、／ 于转化，Ｄ “豁然开朗”的理想境界。 ・．．ＩＡＣ ｆ＝、／， ＋１，ＩＢＣ｝： 、／ 一１ ｆ作者单位：浙江省龙游县第二高级中学３２４４００） ｌ囤