七、数的整除特征（一）
小学数学课本中曾介绍过数的整除特征，即若一个自然数的个位数字是0、2、4、6、8时，那么这个数一定能被2整除；若一个自然数的个位数字是0、5时，这个数一定能被5整除；若一个自然数的各个数位上的数字和是3的倍数，这个数一定能被3整除.
由上面提到的整除特征我们知道，92和56都能被2整除，92与56的和、差（分别为148和36）也能被2整除.另外56=7×8，2能整除8，所以2也能整除56.还有2、3和4都能整除12，那么2和3的积6也能整除12，但是2和4的积8不能整除12.把上面这些具体的事例一般化，就可得到数的整除的几个重要的性质（严格来讲，下面的性质只有经过严密的数学逻辑证明才能予以承认）.
性质1 如果数a、b都能被数c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除.
性质2 如果数a能被数b整除，c是整数，那么积ac也能被b整除.
性质3 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除.
性质4 如果数a能同时被数b、c整除，而且b、c互质，那么a一定能被积bc整除.
下面通过几个例子向同学们再介绍几个数的整除特征.
例1 在□内填上适当的数字，使六位数43217□能被4（或25）整除.
分析与解 43217□的个位数字现在不知是几，先假设它为x，那么43217
=4321×100，100=4×25，所以4和25都能整除100，根据整除的性质，432100能被4、25整除.如果43217x能被4（或25）
除，那么43217x也一定能被4（或25）整除.
因为72和76都是4的倍数，所以六位数43217和43217能被4整除.
因为75是25的倍数，所以43217能被25整除.
通过这个例题，我们得到一个数能被4（或25）整除的特征是：
如果一个自然数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个自然数就能被4（或25）整除，否则这个数就不能被4（或25）整除.
例2 在□中填上合适的数字，使七位数4786□7□能被125（或8）整除.
分析与解 设七位数的百位数字和个位数字分别为x、y，那么4786□
375，500，625，850，975这八种情况，只有375、975满足要求.
…，104，112，…，176，184，…，272，…，376，…，472，…，576，…，672，…，776，…，872，…，976，984，992这125种情况.只有072，176，272，376，472，576，672，776，872，976这十个数满足要求.
因为375、975是125的倍数，所以七位数47867和47867能被125整除.
因为072，176，272，376，472，576，672，776，872，976是8的倍数，所以47867，47867，47867，4787，47867，47867，47867，47867，47867，47867能被8整除.
通过这个实例，我们得到一个数能被8（或125）整除的特征是：
如果一个自然数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个自然数就能被8（或125）整除，否则这个数就不能被8（或125）整除.
例3 在□内填上合适的数字，使五位数4□32□能被9整除.
分析与解 同例1、例2，先设五位数4□32□的千位上、个位上□内的数字分别为x、y，那么
4□32□=40000+x×1000+300+20+y
=4×（9999+1）+x×（999+1）+3×（99+1）+2×（9+1）+y
=4×9999+999x+3×99+2×9+4×x+3+2+y
=9×（1111×4+111x+11×3+2×1）+（4+x+3+2+y）
不论x是什么数字，9一定能整除9×（1111×4+111x+11×3+1×2）.
4+x+3+2+y能被9整除，这个和只能是9、18、27三种情况.当4+x+3+2+y=9时，x=y=0；当4+x+3+2+y=18时，x+y=9，这时有x=0，1，2，3，…，9，对应的y=9，8，7，…，2，1，0；当4+x+3+2+y=27时，x+y=18，这时x=y=9.
因为9是9的倍数，所以432能被9整除.
因为18是9的倍数，所以432，432，432，432，432，432，432，432，432，432能被9整除.
因为27是9的倍数，所以432能被9整除.
通过这个实例，我们得到一个数能被9整除的特征是：
如果一个数的各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数就能被9整除，否则这个数就不能被9整除.
例4 在□里填上适当的数字，使七位数□1992□□能同时被9、25、8整除.
分析与解 要求七位数□1992□□能同时被9、25、8整除，先考虑能被25整除这个条件.当七位数□1992□□能被25整除时，它的十位和个位数字组成的数只能是00，25，50，75.再考虑第二个条件，□1992□□能被8整除，当□1992□□能被8整除时，它的末三位上数字组成的数必须是8的倍数，但200，225，250，275这四个数中，只有200这个数是8的倍数，所以七位数的十位与个位□内只能填0.最后考虑第三个条件，被9整除.□1992
要被9整除，其各个数位上的数字和必须是9的倍数，而1+9+9+2+0+0=21，
所以七位数百万位□内只能填6，这样便找到了问题的解答.
首先因为200既是25的倍数，又是8的倍数，所以□1992□□的十位与个位□内只能填0.
因为1+9+9+2+0+0=21，而21+6=27，27是9的倍数，所以□1992□□的百万位□内只能填6.
1992能同时被9、25、8整除.
解答这类问题时，要一个一个条件分别来考虑，然后通过枚举和筛选找出符合要求的解答来.
例5 把1至1997这1997个自然数依次写下来，得一多位数123456789101112…199519961997，试求这个多位数除以9的余数.
分析与解 从例4最后得到的一个数能被9整除的特征可以知道：一个自然数除以9的余数，等于这个自然数各个数位上数字和除以9的余数.这一来上面求多位数除以9的余数问题，便转化为求1至1997这1997个自然数中所有数字之和是多少的问题.这个问题的求法有很多，下面分别加以介绍.
因为1至9这9个数字之和为45，所以10至19，20至29，30至39，…，80至89，90至99这些十个数各数位上数字和分别为：45+10，45+20，45+30，45+40，…，45+80，45+90.这一来，1至99这99个自然数各数位数字和为：
45+55+65+…+125+135=900
因为1至99这99个自然数各数位上数字和为900，所以100至199，200至299，…，800至899，900至999这些100个数各数位上数字和分别为900+100，900+200，…，900+800，900+900·这一来，1至999这999个自然数各数位上数字和为：
900+1000+…+1700+1800=13500
因为1至999这999个自然数各数上数字和为13500，所以1000至1999这1000个自然数各数位数字和为：13500+1000=14500，这一来1至1999这1999个自然数各数位数字和为：13500+14500=28000.1998、1999这两个数各数位上数字和为：27、28.28000-27-28=27945，9能整除27945，故多位数除以9余0.
另外还有一个较为省事的求和方法，将0至1999这2000个自然数一头一尾搭配分成如下的1000组：
（0，1999），（1，1998），（2，1997），（3，1996）
（4，1995），（5，1994），（6，1993），（7，1992）
……
（996，1003），（997，1002），（998，1001），（999，1000）
以上每一组两数之和都是1999，并且每一组两数相加时都不进位，这样1至1999这1999个自然数的所有数字之和等于：
（1+9+9+9）×1000=28000
其余的与上面提到的相同，故从略.
本题还有另外一种解法.因为依次写出的任意连续9个自然数所组成的多位数，一定能被9整除.而从1至1997一共有1997个数，1997÷9=221……8，1990、1991、1992、1993、1994、1995、1996、1997这8个数所有数位上数字和为19+20+21+22+23+24+25+26=360，360能被9整除，所以多位数除以9余0，与前面的结果相同.
为什么依次写出的任意连续9个自然数所组成的多位数一定能被9整除呢？这是因为任意连续的9个自然数各数位上的数字和除以9的余数，必定是0，1，2，…，7，8这九
个数，而这九个数的和为36，36能被9整除，所以任意依次写出的9个连续自然数组成的多位数也一定能被9整除.
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