四川省成都外国语学校2021-2022学年高一下学期末考试试卷 数学(理) Word版含答案

高一数学试卷（理科）

命题人：刘世华 审题人：文 军

留意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题） 2.本堂考试120分钟，满分150分.

3.答题前, 考生务必将自己的姓名、学号、填写在答题卡上,并使用2B铅笔填涂. 4.考试结束后,将答题卡交回.

第Ⅰ卷 选择题

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．函数fxx25x24xR的最小值为D

A.2 B.3 C.22 D.2.5

2．在数列an中,a11,an1an3,则a8等于C

A.7 B.8 C.22 D.27

3．若ABC外接圆的面积为25，则ABBCsinAB+sinBCB

A.5 B.10 C.15 D.20

B

A.1a2 B.12a2 C.a2 D.a22 5．若等差数列an的前15项和为5,则cosa4a12A

A.12 B.3132 C.2 D.2

6．已知cos(4)14,则sin2C

A.3132 B.3132 C.778 D.8

7．已知O是ABC所在平面内一点，若对任意kR，恒有

A

A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不确定

8．在三视图如图的多面体中,最大的一

个面的面积为C

A.22 B.5

C.3 D.25

则3x2y的最小值是D A.583 B.3 C.16 D.8 10．如图,在四棱锥PABCD中,侧面PAD为正三角形,底面ABCD是边

长为2的为正方形,侧面PAD底面ABCD,M为 底面ABCD内的一个动点,且满足MPMC,则点

PM在正方形ABCD内的轨迹的长度为A

A.5 B.22 C. D.2DC3 M AB

11．给定正数p,q,a,b,c,其中pq,若p,a,q是等比数列，p,b,c,q是等差 数列,则一元二次方程bx22axc0B

A.有两个相等实根 B.无实根

C.有两个同号相异实根 D.有两个异号实根

解：法1.设pm3d,bmd,cmd,qm3d，pqd0，

a2pqm29d2， bcm2d2，4a2bc32d20.

法2. 特值法：取p1,ab2,c3,q4，方程2x24x30无实根

12．正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1,BC的 中点,点P在对角线BD1上,给出以下命题：①当P在BD1上运动时,恒有MN//面APC;②若A,P,M三点共线,则BP2;D1MC1BD3 N1A1③若BPPB1BD2,则C1Q//面APC; 13DAQCB④若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有m条;过点 P且与直线AB1和A1C1所成的角都为600的直线有n条,则mn7.

其中正确命题的个数为C

A.1 B.2 C.3 D.4

第Ⅱ卷 非选择题

二、填空题:（本大题5个小题，每小题5分，共20分）

13．cos14002sin1300sin100____________12

14．如图,动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼,

yyy一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成,设 xx每间虎笼的长为xm，宽为ym，现有36 m长的钢筋

yyyxx网材料,为使每间虎笼面积最大,则x3y____2

15．如图,正四棱锥PABCD的体积为2,底面积

为6,E为侧棱PC的中点,则直线BE与平 P面PAC所成的角为___________600

E

16．已知a,b,c为正实数,给出以下结论:

DC2①若a2b3c0,则bABac的最小值是3; ②若a2b2ab8,则a2b的最小值是4;

③若a(abc)bc4,则2abc的最小是22; ④若a2b2c24,则5ab2bc的最大值是27. 其中正确结论的序号是________________①②④

三、解答题（本大题共6个小题，共70分）

17．（10分）在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量

mac,b与向量nac,ba互相垂直.

1求角C;2求sinAsinB的取值范围.

解：1已知acacbba0a2b2c2ab,

cosCa2b2c212ab2,0C,C3.

2C3,AB23,

sinAsinBsinAsin23AsinAsin223cosAcos3sinA

32sinA32cosA331sinAcosA223sinA6 0A253,6A6612sinA61

sinAsinB的取值范围是3,32. 18.（12分）如图,在四面体ABCD中,截面PQMN是平行四边形,

1求证:BD//截面PQMN;

A2若截面PQMN是正方形,求异

N面直线PM与BD所成的角.

PDM

BQC解：1证明:截面PQMN是平行四边形,PN//QM, 又PN平面BCD,QM平面BCDPN//平面BCD. PN平面ABD,平面ABD平面BCDBDPN//BD,

PN截面PQMN,BD截面PQMN,BD//截面PQMN.

2由1的证明知PN//BD,

NPM或其补角是异面直线PM与BD所成的角.

截面PQMN是正方形,NPM450.

异面直线PM与BD所成的角是450.

19.（12分）已知数列an的前项和为Sn.若a11,an3Sn14n2.1求数列an的通项公式;

2令ban2nlog27,cbnn2n1,其中nN,记数列cn的前项和为Tn. 求Tn2n2n的值. 解：1a23S147,an3Sn14(n2),an13Sn4.

两式相减得:an14ann2an2na24n274,

此式对n1不成立,a1,(n1)n74n2,(n2)

2blogan2bnn27log24n2n,cnn2n12n,

T123nn222232n①

112Tn22223n1n2n2n1② ①②得,12T1111nn2n222222n2n112n1.

Tn2n2n22nTn2n2.

20.（12分）如图,在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,AB4,BC3,

AD5,DABABC900,E是CD的中点.

P1证明:CD平面PAE； 2若直线PB与平面PAE所成的角和

AD直线PB与平面ABCD所成的角相等， E求二面角PCDA的正切值.

BC解：1连接AC，由AB4,BC3,ABC900,得AC5.

又AD5,E是CD的中点，CDAE.

PA平面ABCD,CD平面ABCD,PACD. 而PAAEA,CD平面PAE.

2CD平面PAE；PEA是二面角PCDA的平面角.

过点B作BGCD,分别与AE,AD相交于F,G,连接PF.

由1知，BG平面PAE.

BPF为直线PB与平面PAE所成的角.且BGAE.

由PA平面ABCD知，PBA为直线PB与平面ABCD所成的角. 由题意知PBABPF,RtPBARtBPFPABF.

DABABC900知,AD//BC,又BG//CD.

BCDG是平行四边形.GDBC3,AG2.

AB4,,BGAF,BGAB2AG225,

G 于是BFAB216FBG8585255,PA5,

又CDBG25,CE5,AEAC2CE225 tanPEAPA44AE5.即二面角PCDA的正切值是5.

21.（12分）已知二次函数fxax2bxc.

1若fx0的解集为x|3x4,解关于x的不等式

bx22axc3b0．

22若对任意xR,不等式fx2axb恒成立，求ba2c2的最大值. 解：1ax2bxc0的解集为x|3x4

a0,34ba,34caba,c12aa0.

bx22axc3b0ax22ax15a0a0

x22x150，解集为3,5.

2fx2axbax2b2axcb0恒成立

a02a4acb0a0b2b24a24ac0 c241 0b24aca,b4acaaa2c2a2c2 1c2a 令tca1,4acab20,ca0ca1t0.

b2a2c24t1t124tt22t2,令gt4tt22t2t0 当t0时，g00;当t0时，gt44222222 t2t2b2 a2c2的最大值为222.

22.（12分）函数fx满足:对任意,R,都有fff,且f22,数列an满足anf2nnN.

1求数列an的通项公式;

2令bnanbnnann1,cnb,记Tn1c1c2cnnN.

n1n问:是否存在正整数M,使得当nM时,不等式T1n41210恒成立? 若存在,写出一个满足条件的M;若不存在,请说明理由.

解：1anf2n,a1f212,

an1n1f2f22n2f2n2nf2,

a1an1n12an2n2n1an2n1,ana12n为等差数列，首项为21, 公差为1.an2nnannn2. 2an,annn2n2nbn2n2n1,

cbn1nnb2n2n122112n12n1142n11442n11 n1

① ②cncn111,c1c2442n114cnn 411111111 nnnnn144214824482447224n 当n2时,240cn1111, nnn47224472n111n22n1n11n1n2

cin147477247i112n1nn 由①②知cin2.

47i141111111当n2时，TnTn0Tn

47n47n447n11112102为使Tn10成立,只需10n=146.

427n277故存在正整数M146或147,148,149,,使得当nM时,

不等式Tn

1110恒成立. 42