13研究生数理统计习题部分解答

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12研究生数理统计习题部分解答 第六章 抽样分布 1．

设(X1,X2,?,Xn)是来自总体N(?,?2)的简单随机样本，X是样本均值，记

S121212122222?(Xi?X)

，

S2??(Xi?X)

，

S3?(Xi??)2，??n?1i?1ni?1n?1i?112??(Xi??)2则服从自度n?1的t分布的随机变量是T?。 S42A. X??S1n?1 B.

X??S2X??n?1 C. X??S32n D. S4n

[答案：选B]

12当S?(Xi?X)2时，服从自度n?1的t分布的随机变量应为 ?n?1i?1 T?X??Sn

A、S1212X??X?? ?(Xi?X)2?S2，Tn?1i?1S1n?1Sn?1

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而不是T?X??Sn B

S2212n?11nn?1222??(Xi?X)??(X?X)?S ?T?X??S2n?1?X??n?1nSn?1?X??Sn。 2．

设随机变量X,Y相互独立，均服从N(0,3)分布且X1,?,X9与Y1,?,Y9分别是来自总体X,Y的简单随机样本，则统计量U? ）分布。

2X1X9Y1Y922服从参数为的的分布]

解：X,Y相互独立，均服从N(0,32)分布，又X1,?,X9与Y1,?,Y9分别来自总体

X,Y，可知X1,?,X9与Y1,?,Y9之间均相互独立，均服从分布N(0,32)

9Yi19?Yi?2因而?Xi~N(0,9?3)，X??Xi~N(0,1)，~N(0,1)，??~?2(9)，?39i?1i?1?3?i?192919?Y?且X??Xi与??i?相互独立，

9i?1i?1?3?219?Xi?19i?19i因而

19Xi?19iYi23?Yi?19?2iX1???X9Y1???Y922服从参数为9的t分布。 3．

2设(X1,X2,X3,X4)是取自正态总体X~N(0,2)的简单随机样本且Y?

、

?ini?1nn?1i?1n

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，b?布，其自度为。 同学习指导文件综例 [答案：a?时，统计量Y服从?分

2112），b?时，统计量Y服从?分布，其自度为] 20100统

计

量

Y?a(X1?2X2)2?b(3X3?4X4)2?[a(X1?2X2)]2?[b(3X3?4X4)]2 设Y1?a(X1?2X2),Y2?b(3X3?4X4)即Y??Yi

2i?122X~N(0,2)可知Xi~N(0,22)，i?1,2,3,4，且 EY1?E[a(X1?2X2)]?a(EX1?2EX2)?a(0?2?0)?0 EY2?E[b(3X3?4X4)]?b(3EX3?4EX4)?b(3?0?4?0)?0 DY1?D[a(X1?2X2)]?a(DX1?4DX2)?a(22?4?22)?20a DY2?D[b(3X3?4X4)]?b(9DX3?16DX4)?b(9?22?16?22)?100b 若统计量Y服从?分布，则Y?布，即

2?Yi，可知自度为2且Yi(i?1,2)服从标准正态分 2i?12EY1?EY2?0，DY1?20a?1?a?4．

11，DY2?100b?1?b?。 201001619设X1,X2,?,X9是取自正态总体X的简单随机样本，Y1??Xi，Y2??Xi， 6i?13i?72(Y1?Y2)19，证明统计量Z服从自度为2的t分布。 S??(Xi?Y2)2,Z?2i?6S2证明：记DX??，易见EY1?EY2?EX，DY1??26,DY2??23于

2Y1和Y2相互独立，可见E(Y1?Y2)?0，D(Y1?Y2)?从而

U?正态总体样本方差的性质，

知 ??2?26??23??22

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Y1?Y2?2~N(0,1) 22S2?22 ~?2(2)

2于Y1与Y2独立、Y1与S以及Y2与S独立，可见Y1?Y2与S独立。 于是，服从t分布的随机变量的结构，知 Z?5．

设总体X服从正态分布N(0,2),而X1,X2,?,X15是来自总体的简单随机样本，则随机变量 2X12X10

Y?

222(X11X15)2(Y1?Y2)?SU?22~t(2)。

2服从分布，参数为。 同学习指导文件综例 [答案 填

：

F

(10,5)]

解：?Xi12~N(0,1),?(X12??X10)~?2(10),24122(X11??X15)~?2(5) 4且显然此二者相互独立，则： 12(X12X10)422X1X1010?~F(10,5) Y?2212(X11X15)22(X11??X15)456．

设总体X服从正态分布N(?,?2)(??0)，从中抽取简单随机样本X1,?,X2n，

n12n，其样本均值为

X?Xi，求统计量

Y??(Xi?Xn?i?2X)2 ?2ni?1i?1的数学期望E(Y)。 解： E(Xi)??,D(Xi)??2,E(Xi2)??2??2, E(X)??,D(X)?n?22n,E(X)?2?22n??2

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Y??(Xi?Xn?i?2X)2i?122??(Xi2?Xn?i?4X?2XiXn?1?4XiX?4Xn?iX)i?1n

X?4nX?2?XiXn?i?4X?Xi2i22nn2n i?12ni?1ni?1

Xi2?4nX2?2?XiXn?ii?1i?1E(Y)E(X)?4nE(X)?2?E(Xi)E(Xn?i)2i2i?1i?12nn?2n(?2??2)?4n(魏宗舒 2

2n??2)?2n?2?2(n?1)?21. 设是来自服从参数为的泊松分布

的联合分布律。 2. 解 的样本，试写出样本

2. 设是来自上的均匀分布的样本，未知 写出样本的联合密度函数；

指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？ 设样本的一组观察是：,1,,,1,1,写出样本均值、样本方差和标准差。 2. 解

0 其他 和

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是，和 不是。因为和

中不含总体中的唯一未知参数，而 和中含有未知参数。 样本均值样本方差 实际应为除以n-1

样本标准差 3. 查表求3. 解 。 4. 设 ， ，， 。 ， 。 ， ，

，求常数，使。 即为 。

4. 解 t分布关于纵轴对称，所以 附表可查得，所以。 5. 设

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5.证明： ； 。

是来自正态总体 的样本，试证：

独立同分布于，分布的定义，，即

【解】?i?2?Xi?152i~?(5),?2??Xi2~X2(n?5) 22i?1n2且?12与?2相互独立. 所以

X12/5Y?2~F(5,n?5)

X2/n?57.求总体X~N的容量分别为10，15的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于

的概率. 【解】令X的容量为10的样本均值，Y为容量为15的样本均值,则X~N(20,310), Y~N(20, 3)，且

X

与

Y

相互独立. 15

则

X?Y~N?0,?33N(0,), ?1015?那么Z?所以 X?Y~N(0,1), ??P(|X?Y|?)?P?|Z|2[1??()] ?2(1?)?

X1?X2X108.设总体X~N,X1,…,X10,…,X15为总体的一个样本.则Y= 2222X11?X12X15222??服从 分布,参

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数为 . 【解】

Xi?~N(0,1),i=1,2,…,15.

102215?Xi??Xi?2222那么?1~?(10),??2?~?(5) i?1i?11且?1与?2相互独立, 所以 2X12X10X12/10Y??2~F(10,5)

222(X11X15)X2/522所以Y~F分布，参数为.

9.设总体X~N,总体Y~N(μ2,σ2),X1,X2,…,Xn1和Y1，Y2，…，Xn2分别来自总体X和 Y的简单随机样本，则

n2?n122?(X?X)?(Y?Y)?j??i?i?1j?1?=En1?n2?2?1n11n222

【

解

】

. 令

S?(Yi?Y), ?(Xi?X),S2?n?1?n1?1i?1j?1221则 (Xi1n1i2X)(n11)S,(yjy)2(n21)S2, 221j?1n2又??那么

21(n1?1)S12?2~?(n1?1),??2222(n2?1)S2?2~?2(n2?1),

n2?n122?(X?X)?(Y?Y)?j??i?1i?1j?12??E??E(?2?12??2?2) n1?n2?2n1?n2?2? 2n1n222[E(12)E(2)]2 2

n1?n2?2[(n1?1)?(n2?1)]??212n10.设总体X~N，X1，X2，…，X2n是总体X的一个样本，X?Xi，?2ni?1令Y=

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(Xi1niXni2X)2，求EY. 【解】令Zi=Xi+Xn+i, i=1,2,…,n.则

Zi~N(2μ,2σ2)(1≤i≤n),且Z1,Z2,…,Zn相互独立. nZi22令 Z??, S??(Zi?Z)/n?1,

i?1ni?1nXi1n1则 XZ?Z, ?i2n2n2i?1i?1故 Z?2X 那么

2nY??(Xi?Xn?i?2X)??(Zi?Z)2?(n?1)S2, 2i?1i?1nn所以

E(Y)?(n?1)ES2?2(n?1)?2.

11. 设总体X的概率密度为f(x)=e本，其样本方差为S2，求E(S2). 解： 题意，得

12?x (-∞ ?1xe, x?0,??2f(x)??

1?e?x,x?0,??2E(S2)?D(X)?E(X2)?E2(X)??1x于是 E(X)??xf(x)dx??xedx?0

212?x22E(X)xf(x)dxxedxx2e?xdx?2,??02??所以 E(S2)?2.

第7章 参数估计 7．

设容量为n的简单随机样本取自总体N ( , 36 ),且样本均值在区间(,)内的概率不小于,问样本容量n至少应取多大？

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1n62解：设X1,X2,?Xn是取自总体的简单随机样本，则： X??Xi~N(,) ni?1n又于：

nnXP{X}P336n

n231则：n，查表得n?,?n?(?3)2? ?3?3??即知样本容量n至少应取35. 8．

设总体X的方差为1，据来自X的容量为100的简单随机样本，测得均值为5，则X的期望的置信度近似等于的置信区间为。

[答案：填(,)] 110011100

据

题

意

可

知，

X~N(?,1)

，

X?xi?5， ?Xi~N(?,100)且x?100?100i?1i?11，即??，查表得??，可知

x11Pxx P?10?10??110? ?P

因而总体X的期望的置信度近似等于的置信区间为(,)。 9．

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来自正态总体X~N(?,)，容量为9的简单随机样本，若得到样本均值X?5，则未知参数?的置信度为的置信区间为。 [答案：填(,)] 据题意可知

5P??1??，又 910．

5，得55?，即??(,)。

假设,,,是总体X的简单随机样本值，已知Y?lnX服从正态分布 N(?,1)。

求X的数学期望EX； 求?的置信度为的置信区间； 利用上述结果求b的置信度为的置信区间。

解：Y的概率密度为： f(y)?e2?1?(y??)22 ,y，于是，

b?EX?EeY?12?1212?eet??y?(y??)22dy

ee1?t22dt

ee21(t1)22dte12当置信度1时，??。标准正态分布的水平为??的分位数为??。故Y~N(?,14)，可得 Y11PYY P?2212?其中 Y?于是，有 P

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从而(?,)就是?的置信度为的置信区间。 函数e的严格递增性，可见

x11(ln2)?ln1?0 441?? ?PPe?e2?e 2??因此b的置信度为的置信区间为(e11． 设总体X的概率密度为 ,)。

(1)x f(x)00?x?1其他

其中未知参数1，X1,X2,?Xn是取自总体的简单随机样本，用矩法估计和极大似然估计法求?的估计量。 解： E(X)??10x(??1)x?dx1 ??2令X1??2X?1，此即?的矩估计量。 ，解得：21?X

百分数，样本中有543人拥有私人汽车，求样本中拥有私人汽车的人的百分数的SE；求总体中拥有私人汽车的人的百分数的95%的置信区间。 21. 解 故 ， ，

所以总体中拥有私人汽车的人的百分数的95%的置信区间观测值为 。

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3.

设总体X服从二项分布b，n已知，X1，X2，…，Xn为来自X的样本，求参数p的矩法估计. 【解】E(X)?np,E(X)?A1?X,因此np=X

所以p的矩估计量 p2.设总体X的密度函数 X n?2?(??x),0?x??,f=??2

其他.?0,X1，X2，…，Xn为其样本，试求参数θ的矩法估计. 【解】E(X)?2?2??02?x2x3x(??x)dx?2?0?, 23?3令E(X)=A1=X,因此

=X 3^所以θ的矩估计量为 ??3X.

3.设总体X的密度函数为f，X1，X2，…，Xn为其样本，求θ的极大似然估计. ex,x?0, f=?

x?0.?0,??x??1,0?x?1, f=? 其

他

.?0,

【

解

】

似

然

函

数

L??f(x,?)enii?1i?1nn??xi??eenn??xii?1n g?lnL?nlnxi

i?1dgdlnLnnxi?0知 d?d??i?1n

i?xi?1n??所以θ的极大似然估计量为?(2) 似然函数Ln1. X?x?ii?1n?1,0?xi?1,i=1,2,…,n. nlnL?nln??(??1)ln?xi i?1ndlnLn??ln?xi?0知

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d??i?1nln?xii?1n??n?lnxi?1n

i所以θ的极大似然估计量为 ?n?lnxi?1n i3. 序号 收益率 从一批炒股票的股民一年收益率的数据中随机抽取10人的收益率数据，结果如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 - - - - - - - - 求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值. 3n?9 【解】 x?? 4 s? 9 x

EXxi2?)]2?A,

即

有

?2?[E(X

E(X)?D(X)?[E(X)],E(X)?A2??

知?2ni?1222n101?)]A2?[E(X?[?Xi2?10(X)2] 10i?12??于是 ?9s 10所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-和 3.

随机变量X服从［0，θ］上的均匀分布，今得X的样本观测值：

,,,,,,,，求θ的矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计.

【解】(1) E(X)??2,令E(X)?X，则

2X且E(??)?2E(X)?2E(X)??, 2x?2??且2X是一个无偏估计. 所以θ的矩估计值为??1?(2) 似然函数L??f(xi,?),i=1,2,…,8.

i?1显然L=L(θ)↓(θ>0)，那么??max{xi}时，L=L(θ)最大,

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1?i?888所以θ的极大似然估计值??=

因为E(??)=E(max{xi})≠θ,所以??=max{xi}不是θ的无偏计.

1?i?81?i?8? =k6.设X1，X2，…，Xn是取自总体X的样本，E=μ，D=σ，?2 2?(Xi?1n?1i?1?Xi)2,

为σ2的无偏估计. 问k为何值时?【解】令 Yi?Xi?1?Xi,i=1,2,…,n-1,

则 E(Yi)?E(Xi?1)?E(Xi)0,D(Yi)?2?2, 2 E[k(

于

?i1i?1n?1?)??,

是 即

E?222222Y)]?k(n?1)EY?2?(n?1)k,

2?(n?1)k??时, 那么当E(?有 k?221.

2(n?1)7.设X1，X2是从正态总体N中抽取的样本 12113112X1X2;3X1X2;

X1?X2;?334422?1,??2,??3都是μ的无偏估计量，并求出每一估计量的方差. 试证??1)?E?【证明】E(??2)?E(?1?2121?2X1?X2??E(X1)?E(X2), 3?3333?313E(X1)?E(X2)??,

44?3)?E(?11E(X1)?E(X2)??, 22?1,??2,??3均是μ的无偏估计量. 所以?45?2?2??1?2?1)D(X1)D(X2)?X??(2) D(?, 99?3??3?5?2?1??3??2)D(X1)D(X2)? D(?,

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8?4??4?2222??1??3)D(X1)?D(X2)?? D(?, 2?2?8.某车间生产的螺钉，其直径X~N，过去的经验知道σ2=,今随机抽取6枚， 测得其长度如下：

试求μ的置信概率为的置信区间. 【解】n=6,σ2=,α==,

22x?,ua??,,

2μ的置信度为的置信区间为 x?u?/2(??)?(,).

n??9.总体X~N(μ,σ2)，σ2已知，问需抽取容量n多大的样本，才能使μ的置信概率为1-α， 且置信区间的长度不大于L？

【解】σ2已知可知μ的置信度为1-α的置信区间为?x?u?/2, n?于是置信区间长度为2??u?/2, n4?2(u?/2)22??u?/2≤L,得n≥那么 2Ln10.设某种砖头的抗压强度X~N，今随机抽取20块砖头，测得数据如下： 64 69 49 92 55 97 41 84 88 99 84 66 100 98 72 74 87 84 48 81 求μ的置信概率为的置信区间. 求σ2的置信概率为的置信区间. 【解】x?,s?,??1??,n?20,

t?/2(n?1)?(519?),2??/2(n?1)??(19?)?520,.975?(19)

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(1) μ的置信度为的置信区间 x?t(n?1)???/2?(,) n20(2)?的置信度为的置信区间 2

(n1)s2(n1)s2191922,,2(,) 2?(n?1)?(n?1)?1??/2??/2??3.

(1)x,0x1;设总体X~f(x)=?其中1 其他.?0,X1,X2,…,Xn是X的一个样本，求θ的矩估计量及极大似然估计量. 【解】(1) E(X)??又

xf(x)dx??(??1)x??1dx?01??1, ??2X?E(X)?故 1, 2?2X?1

1?X??2X?1. 所以θ的矩估计量 ?1?X(2) 似然函数

n?n?n?(??1)?xi

0?xi?1(i?1,2,?,n).

L?L(?)??f(xi)??i?1i?1?0其他?取对数 lnL?nln(??1)lnxii?1n(0?xi?1;1?i?n), dlnLnlnxi?0,d1i?11?所以θ的极大似然估计量为?nnn.

i?lnXi?1?6x?(??x),0?x??;12.设总体X~f(x)= ??3 其他.?0,

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X1,X2,…,Xn为总体X的一个样本 求θ的矩估计量； ).

求

D(?

【

解

】

(1)

E(X)xf(x)dx??6x20?3(??x)dx??2, 令 EX?X??2,

2X. 所以θ的矩估计量 ??)?D(2X)?4D(X)?(2)D(?又

4DX,， n?E(X)??于是 26x3(??x)0?36?23?2dx??, 20103?2?2?2D(X)?E(X)?(EX),, 1042022所以

). D(5n13.设某种电子元件的使用寿命X的概率密度函数为

2?2e?2(x??), x??;f(x,θ)= ?

0,x??.?其中θ(θ>0)为未知参数，又设x1,x2,…,xn是总体X的一组样本观察值，求θ的极大似然估 计值.

【解】似然函数

2(xi)?2n?e?i?1L?L(?)?0?ni?1nxi?0;i?1,2,?,n;其他.

lnL?nln2?2?(xi??),xi??;i?1,2,?,n,dlnL?2n?0lnL(?)?, dmin{x}时lnL(??)?maxlnL(?) 那么当?

知

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1?i?ni??0??min{x} 所以θ的极大似然估计量?i1?i?n14. 设总体X的概率分布为 X P 0 1 2 3 θ2 2θ(1-θ) θ2 1-2θ 其中θ(0 1)是未知参数，利用总体的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩2估计值和极大似然估计值. 【解】 3?x(1)E(X)?3?4?,令

E(X)?x

得?4 8xi

又

x2i?18??所以θ的矩估计值?83?x1?. 446i 似然函数L??P(x,?)?4?i?1(1??2)(1?2?)4. lnL?ln4?6ln??2ln(1??)?4ln(1??),

dlnL6286?28??24?20,d??1??1?2??(1??)(1?2?)6?28??24??0

得 ?1,2?27?13. 2于

7?131?, 122??7?13. 所以θ的极大似然估计值为 ?215.设总体X的分布函数为

1??,x??,F=? x?0,x??.?其中未知参数β>1,α>0，设X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本 当α=1时，求β的矩估计量；

当α=1时，求β的极大似然估计量； 当β=2时，求α的极大似然估计量. 【解】

,x?1;?当α=1时，f(x,?)?Fx1(x,1,?)??x??1 x1.0,22,x;f(x,?)?Fx1(x,?,2)??x3

当

β

=2

时

, 解

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0,x.(1) E(X)x1dx1x111 令E(X)?X,于是?X, X?1X. X?1??所以?的矩估计量?(2) 似然函数

L?L(?)??i?1n?n?n?(??1)xi?,xi?1,(i?1,2,?,n);f(xi,?)i?1??0,其他.?nlnL?nln??(??1)?lnxi,i?1

dlnLnnlnxi?0,d??i?1??所以?的极大似然估计量?n. i?lnxi?1n(3) 似然函数

nL??i?1?2n?2n,xi??,(i?1,2,?,n);?n3 f(xi,?)xi???i?1??0,其他.?显然L?L(?)?, min{xi}

时

,L?L(??)?maxL(?)

,

那

么

当?1?i?na?0??min{xi}. 所以?的极大似然估计量?1?i?n16.从正态总体X~N中抽取容量为n的样本，如果其样本均值位于区间

内的概率不小于，问n至少应取多大？

(z)z z z1t2/2edt 2π X??62?【解】X~N?,?,则Z?~N(0,1),

6/nnZ?P{?X?}?P??6/n6/n?????P??n?Z?n? 3??3n?????n??2??n??1??3??3??3?是??n?n?则?, ??3?3?∴ n≥35. 17. 设总体X的概率密度为

,?f(x，θ)=?1??,?0,?0?x?1,1?x?2, 其他.其中θ是

于

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未知参数,X1,X2,…,Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1,x2,…,xn中小于1的个数.求： θ的矩估计； θ的最大似然估计. 解 (1) 于 EXxf(x;?)dx???xdx??(1-?)xdx

0112133(1??). 22233X，解得X， 22所以参数?的矩估计为 令

(2) 似然函数为

3?X. 2L(?)??f(xi;?)??N(1??)n?N， i?1n取对数，得

lnL(?)?Nln??(n?N)ln(1??), 两边对?求导，得

dlnL(?)Nn?N??. d??1??dlnL(?)N?0,得 ??， 令 d?n所以?的最大似然估计为 N. ?n

第8章 假设检验部分 16．

设考生的某次考试成绩服从正态分布，从中任取36位考生的成绩，其平均成绩为分，标准差为15分，问在的显著性水平下，可否认为全体考生这次考试的平均成绩为70分，给出检验过程。

解：设考生的某次考试成绩作为总体X且X~N(?,?2)，

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将从中任取36位考生的成绩作为取自总体X的容量为36的样本，则X?,S?15，在的显著性水平下，检验全体考生这次考试的平均成绩?是否为70分，检验过程如下： 设H0:?0?70，取检验统计量T?X??0Sn，则接受域为{|T|?t1??2(n?1)}，

而观测值为|T|?|?70|1536??t1??2(n?1)?(35)? 故可认为全体考生这次考试的平均成绩为70分。 17． 设X1,X2,?,Xn是来自正态总体N(?,?)的简单随机样本，参数?和?未知且

n1n2X??Xi，Q??(Xi?X)2，则假设：H0 ：??0的t检验，使用的统计量 ni?1i?122T?。 解：填： Xn(n?1)

QX??1n2

若

S?

，

则

统

计

量

(X?X)T?~t(n?1) ?in?1i?1Sn2

0，Q?2?(Xi?1ni?X)2，得S2?X1Q2 n?1可知T?X?01n?1Qn?Qn(n?1)?Xn(n?1)~t(n?1). Q魏宗舒部分习题 设某产品指标服从正态分布，它的根方差?已知为150小时。今一批产品中随机抽取了26个，测得指标的平均值为1637小时，问在5%的显著性水平下，能否认为该批产品指标为1600小时?

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解 总体??N(?,1502)，对假设，H0:??1600，采用U检验法，在H0为真时，检验统计量 u?x-?0?0n? 临界值u1??/2??

|u|?u1??/2，故接受H0。

某电器零件的平均电阻一直保持在?，根方差保持在?，改变加工工艺后，测得100个零件，其平均电阻为?，根方差不变，问新工艺对此零件的电阻有无显著差异？去显著性水平?=。

解 设改变工艺后电器的电阻为随机变量?，则E未知，D??()2， 假设为 H0:??，统计量 u??-?0n?? ?于u1-?/2|u|，故拒绝原假设。即新工艺对电阻有显著差异。 有甲乙两个检验员，对同样的试样进行分析，各人实验分析的结果如下： 实验号 1 2 3 4 5 6 7 8 甲 乙 8 试问甲乙两人的实验分析之间有无显著差异？

解 此问题可以归结为判断??x1?x2是否服从正态分布N(0,?2)，其中?2未知，即要检验假设H0:??0。 t检验的统计量 t0*snn??08??

取?=，又于，(7)??|t|，故接受H0

某纺织厂在正常工作条件下，平均每台布机每小时经纱断头率为根，每台布机的平均断头率的根方差为根，该厂作

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轻浆试验，将轻纱上浆率减低20%，在200台布机上进行实验，结果平均每台每小时轻纱断头次数为根，根方差为，问新的上浆率能否推广？取显著性水平。

解 设减低上浆率后的每台布机断头率为随机变量?，有子样试验可得其均值和方差的无偏估计为及s*2n，问新上浆率能否推广就要分析每台布机的平均断头率是否增大，即要检验

2H0:EH1:E??

于D?未知，且n较大，用t检验，统计量为 t0*snn???

查表知(199)?，故拒绝原假设，不能推广。 在十块土地上试种甲乙两种作物，所得产量分别为(x1,x2,?,x10)，

(y1,y2,?,y10)，假设作物产量服从正态分布，并计算得x?，y?，

*，问是否可认为两个品种的产量没有显著ss*??取显著性水平， 性差别？

2解 甲作物产量??N(?1,?12)，乙作物产量??N(?2,?2)，即要检验 H0:?1??2

2'2于?12，?2未知，要用两子样t检验来检验假设H0，

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F检验，:?12??2统计量为 *2*2F?s1s2(9,9)?

'2故接受假设H0，于是对于要检验的假设H0:?1??2取统

计

量 :?12??2t?x?y*2*2(n1?1)s1?(n2?1)s2n1n2(n1?n2?2)? n1?n2又??时，(18)??|t|，所以接受原假设，即两品种的产量没有显著性差别。

有甲、乙两台机床，加工同样产品，从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干产品，测得产品直径为： 甲 ， ， ， ， ， 。 ， 乙 ， ， ， ， ， ， 。 试比较甲乙两台机床加工的精度有无显著差异？显著性水平为??。 解：假定甲产品直径服从N(?1,?12)，子样观察值计算得x?，

*2sn?()2?。 1*22乙产品直径服从N(?2,?2?。 )，子样观察值计算得y?，sn2要比较两台机床加工的精度，即要检验

2 H0:?12??2 F-检验 F?snsn*2*21?? 时查表得：()?， ()?11??

()于()?F?()，所以接受H0，即不能认为两台机床的加工精度有显著差异。

随机从一批钉子中抽取16枚，测得其长度为

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设钉长服从正态分布，分别对下面两个情况求出总体均值?的90%的置信区间 ??； ?未知。 解 子样函数Un?N(0,1)，p(|U|?)?，可求?的置信?? 区间：置信下限 n置信上限

在?未知时，子样函数ts*nn?t(n?1)，p(|t|?(n?1))?可

*(15)sn求得?置信区间为：置信下限 n*(15)sn置信上限

包糖机某日开工包糖，抽取12包糖，称得重量为 假定重量服从正态分布，试此数据对该机器所包糖的平均重量 求置信水平为95%的区间估计。

解 于?未知，用统计量t*snn?t(n?1)，计算各数据值后可以得到均值

**(11)(11)sn的置信区间，置信上限为，下限为 nn2* 随机取9发炮弹做实验，得炮口速度的方差的无偏估计sn?11，

设炮口速度服从正态分布，分别求出炮口速度的标准差?和方差?2的置信水平为90%的置信区间。 解 选取统计量 *2(n?1)sn?2??2(n?1)， 可得?2的置信区间为： *2*2(n?1)sn(n?1)sn(2,2)?(,) ?1??/2(n?1)??/2(n?1)因为

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**2*2(n?1)sn(n?1)sn(n?1)sn2p(22)?p(2?1??/2(n?1)??/2(n?1)?1??/2(n?1)*(n?1)sn2??/2(n?1)

)?1??故，标准差的置信区间取方差的根方即可。 分布拟合检验

假设六个整数1，2，3，4，5，6被随机地选择，重复60次独立实验中出现1，2，3，4，5，6的次数分别为13，19，11，8，5，4。问在5%的显著性水平下是否可以认为下列假设成立：

H0:p(??1)?p(??2)p(??6)?1。 6解：用?2?拟合优度检验，如果H0成立

(ni?npi)2 2(5) 5=组数-1=6-1 npii?126列表计算?2的观察值：

组数i 1 2 3 4 5 6 合计 频数ni 13 19 11 8 5 4 npi 10 10 10 10 10 10 ni?npi 3 9 1 -2 -5 -6 ?ni?npi?2/npi 2?2?， ?(5)=

2于?2??(5)，所以拒绝H0。即等概率的假设不成立。 对某型号电缆进行耐压测试实验，记录43根电缆的最低击穿电压，数据列

12研究生数理统计习题部分解答 第六章 抽样分布

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1．

设(X1,X2,?,Xn)是来自总体N(?,?2)的简单随机样本，X是样本均值，记

S121212122222?(Xi?X)

，

S2??(Xi?X)

，

S3?(Xi??)2，??n?1i?1ni?1n?1i?112??(Xi??)2则服从自度n?1的t分布的随机变量是T?。 S42A. X??S1n?1 B.

X??S2X??n?1 C. X??S32n D. S4n

[答案：选B]

12当S?(Xi?X)2时，服从自度n?1的t分布的随机变量应为 ?n?1i?1 T?X??Sn

A、S1212X??X?? ?(Xi?X)2?S2，Tn?1i?1S1n?1Sn?1 而不是T?X??Sn B

S2212n?11nn?1222??(Xi?X)??(X?X)?S ?T?X??S2n?1?X??n?1nSn?1?X??Sn。

、

?ini?1nn?1i?1n

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2．

设随机变量X,Y相互独立，均服从N(0,3)分布且X1,?,X9与Y1,?,Y9分别是来自总体X,Y的简单随机样本，则统计量U? ）分布。

2X1X9Y1Y922服从参数为的的分布]

解：X,Y相互独立，均服从N(0,32)分布，又X1,?,X9与Y1,?,Y9分别来自总体

X,Y，可知X1,?,X9与Y1,?,Y9之间均相互独立，均服从分布N(0,32)

9Yi19?Yi?2因而?Xi~N(0,9?3)，X??Xi~N(0,1)，~N(0,1)，??~?2(9)，?39i?1i?1?3?i?192919?Y?且X??Xi与??i?相互独立，

9i?1i?1?3?219?Xi?19i?19i因而

19Xi?19iYi23?Yi?19?2iX1???X9Y1???Y922服从参数为9的t分布。 3．

2设(X1,X2,X3,X4)是取自正态总体X~N(0,2)的简单随机样本且Y?

，b?布，其自度为。 同学习指导文件综例 [答案：a?时，统计量Y服从?分

2112），b?时，统计量Y服从?分布，其自度为] 20100统

计

量

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Y?a(X1?2X2)2?b(3X3?4X4)2?[a(X1?2X2)]2?[b(3X3?4X4)]2 设Y1?a(X1?2X2),Y2?b(3X3?4X4)即Y??Yi

2i?122X~N(0,2)可知Xi~N(0,22)，i?1,2,3,4，且 EY1?E[a(X1?2X2)]?a(EX1?2EX2)?a(0?2?0)?0 EY2?E[b(3X3?4X4)]?b(3EX3?4EX4)?b(3?0?4?0)?0 DY1?D[a(X1?2X2)]?a(DX1?4DX2)?a(22?4?22)?20a DY2?D[b(3X3?4X4)]?b(9DX3?16DX4)?b(9?22?16?22)?100b 若统计量Y服从?分布，则Y?布，即

2?Yi，可知自度为2且Yi(i?1,2)服从标准正态分 2i?12EY1?EY2?0，DY1?20a?1?a?4．

11，DY2?100b?1?b?。 201001619设X1,X2,?,X9是取自正态总体X的简单随机样本，Y1??Xi，Y2??Xi， 6i?13i?72(Y1?Y2)19，证明统计量Z服从自度为2的t分布。 S??(Xi?Y2)2,Z?2i?6S2证明：记DX??，易见EY1?EY2?EX，DY1??26,DY2??23于

2Y1和Y2相互独立，可见E(Y1?Y2)?0，D(Y1?Y2)?从而

U?正态总体样本方差的性质，

知 ??2?26??23??22 Y1?Y2?2~N(0,1) 22S2?22 ~?2(2)

2于Y1与Y2独立、Y1与S以及Y2与S独立，可见Y1?Y2

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与S独立。 于是，服从t分布的随机变量的结构，知 Z?5．

设总体X服从正态分布N(0,2),而X1,X2,?,X15是来自总体的简单随机样本，则随机变量 2X12X10

Y?

222(X11X15)2(Y1?Y2)?SU?22~t(2)。

2服从分布，参数为。 同学习指导文件综例 [答案 填

：

F

(10,5)]

解：?Xi12~N(0,1),?(X12??X10)~?2(10),24122(X11??X15)~?2(5) 4且显然此二者相互独立，则： 12(X12X10)422X1X1010?~F(10,5) Y?2212(X11X15)22(X11??X15)456．

设总体X服从正态分布N(?,?2)(??0)，从中抽取简单随机样本X1,?,X2n，

n12n，其样本均值为

X?Xi，求统计量

Y??(Xi?Xn?i?2X)2 ?2ni?1i?1的数学期望E(Y)。 解： E(Xi)??,D(Xi)??2,E(Xi2)??2??2, E(X)??,D(X)?n?22n,E(X)?2?22n??2

Y??(Xi?Xn?i?2X)2i?122??(Xi2?Xn?i?4X?2XiXn?1?4XiX?4Xn?iX)i?1n

X?4nX?2?XiXn?i?4X?Xi2i22nn2n

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i?12ni?1ni?1

Xi2?4nX2?2?XiXn?ii?1i?1E(Y)E(X)?4nE(X)?2?E(Xi)E(Xn?i)2i2i?1i?12nn?2n(?2??2)?4n(魏宗舒 2

2n??2)?2n?2?2(n?1)?21. 设是来自服从参数为的泊松分布

的联合分布律。 2. 解 的样本，试写出样本

2. 设是来自上的均匀分布的样本，未知 写出样本的联合密度函数；

指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？ 设样本的一组观察是：,1,,,1,1,写出样本均值、样本方差和标准差。 2. 解

0 其他 和 是，和 不是。因为和

中不含总体中的唯一未知参数，而 和中含有未知参数。 样本均值样本方差

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实际应为除以n-1

样本标准差 3. 查表求3. 解 。 4. 设 ， ，， 。 ， 。 ， ，

，求常数，使。 即为 。

4. 解 t分布关于纵轴对称，所以 附表可查得，所以。 5. 设 5.证明： ； 。

是来自正态总体 的样本，试证：

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独立同分布于，分布的定义，，即

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