九年级上册重点知识点及例题

一、 反比例函数

知识点l. 反比例函数的概念

重点：掌握反比例函数的概念 难点：理解反比例函数的概念 一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成yk-1

或y=kx（k为常数，k0）x的形式，那么称y是x的反比例函数。反比例函数的概念需注意以下几点： （1）k是常数，且k不为零；（2）

2k中分母x的指数为1，如y2不是反比例函数。

xx（3）自变量x的取值范围是x0一切实数.（4）自变量y的取值范围是y0一切实数。 知识点2. 反比例函数的图象及性质

重点：掌握反比例函数的图象及性质 难点：反比例函数的图象及性质的运用 反比例函数yk的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限x或第二、四象限。它们关于原点对称、反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。 画反比例函数的图象时要注意的问题： （1）画反比例函数图象的方法是描点法；

（2）画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是x0，因此不能把两个分支连接起来。 （3）由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势。

反比例函数的性质

yk(k0)的变形形式为xyk（常数）所以： x（1）其图象的位置是：

当k0时，x、y同号，图象在第一、三象限； 当k0时，x、y异号，图象在第二、四象限。 （2）若点(m,n)在反比例函数y函数的图象关于原点对称。

（3）当k0时，在每个象限内，y随x的增大而减小； 当k0时，在每个象限内，y随x的增大而增大； 知识点3. 反比例函数解析式的确定。

k

的图象上，则点（-m,-n）也在此图象上，故反比例x

重点：掌握反比例函数解析式的确定 难点：由条件来确定反比例函数解析式 （1）反比例函数关系式的确定方法：待定系数法，由于在反比例函数关系式yk中，x只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x、y的对应值或图象上点的坐标，代入y

k

中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。 x

（2）用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： ①设所求的反比例函数为：y

k

（k0）； ②根据已知条件，列出含k的方程； x

k

中。 x

③解出待定系数k的值； ④把k值代入函数关系式y知识点4. 用反比例函数解决实际问题 反比例函数的应用须注意以下几点：

①反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题。

②针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系。 ③列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围。 一. 探求同一坐标系下的图象 例1.已知函数ymx与y的是（ ） A. m0,n0

B. m0,n0 C. m0,n0

D. m0,n0

n

在同一直角坐标系中的图象大致如图1，则下列结论正确x

分析：由图知，一次函数ymx中，y随x的增大而增大，所以m0；反比例函数yn在第二、四象限，所以n0。观察各选项知，应选B。 x 评注：本题要由所给图象结合一次函数和反比例函数的性质，方能作出

正确选择。

例2.在同一直角坐标系中，函数ykxk与yk(k0)的图象大致是（ ） x

A.

B.

图2

分析：本题可采用排除法。由选项A、B的一次函数图象知，k0即k0，则一次函数ykxk图象与y轴交点应在y轴负半轴，而选项A、B都不符合要求，故都排除；由选项D的一次图象知，k0即k0，则反比例函数y而选项D不符合要求，故也排除；所以本题应选C。

评注：本题把一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中给出，有较强的综合性，解决这类问题常用排除法。 二. 探求函数解析式

例3.如图3，直线yk1xb与双曲线y

C.

D.

k(k0)图象应在第一、三象限，xk2只有一个交点A（1，2），且与x轴，yx轴分别交于B，C两点，AD垂直平分OB，垂足为D，求直线与双曲线的解析式。

解：因为双曲线yk2过点A（1，2）， x所以2k2,k22 12。 x得双曲线的解析式为y因为AD垂直平分OB，A点的坐标为（1，2）。 所以B点的坐标为（2，0）。

因为yk1xb过点A（1，2）和B（2，0），

k1b2k12所以 解得 所以直线的解析式为y2x4

2kb0b41评注：解决本题的关键是确定点B的坐标，由AD垂直OB知，点D和点A的横坐标应相

同，所以点D的坐标为（1，0），又AD平分OB知，OB2OD2，所以点B坐标为（2，0），进而求出一次函数解析式。

三. 探求三角形面积 例4.如图4，反比例函数y41的图象与直线yx的交点为A，B，过点A作y轴x3C. 4

D. 2

的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C，则ABC的面积为（ ） A. 8

B. 6

解析：把y41代入yx，得 x341x x3整理得x212

解得x123,x223 把x123,x223分别代入

y4， x223,y23 3323) 3得y1所以点A的坐标为(23,点B的坐标为(23,23) 32。 3）3由题意知，点C的横坐标与点A的横坐标相同，点C的纵坐标与点B的纵坐标相同，所以点C的坐标为（23,因为AC224333， 333BC232343

所以ABC的面积为

114ACBC3438 223故应选A。

例5.如图5，已知点A是一次函数yx的图象与反比例函数y2的图象在第一象限内x的交点，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB，那么AOB的面积为（ ）

A. 2

解：把yx代入y

B.

2 2 C. 2 D. 22

22，得x， xx整理得x22，解得x12,x22 得x12,x22分别代入yx 得y12,y22

又点A在第一象限内，所以点A的坐标为(2,2)

在AOC中AC2,OC2 由勾股定理，得OA2,所以OB=2。 所以AOB的面积为

11OBAC222， 22故应选（C）

评注：例4和例5中都利用解方程来求出两函数图象的交点坐标，这是求两函数图象交点坐标的常用方法，蕴含着转化思想。 四. 探求点的坐标

k1y轴于点A，C，点P是直线AC与双曲线yx1分别交x轴、

x2在第一象限内的交点，PBx轴，垂足为点B，APB的面积为4。

例6.如图6，直线y（1）求点P的坐标；

析解：在y1x1中，令x0，则y1；令y0，则x2。 2所以点A的坐标为（-2，0），点C的坐标为（0，1）。 因为点P的直线y1x1上， 212不妨设点P的坐标为(m,m1)

所以ABm2,PB1m1。 2又因为SAPB所以

1ABPB4 211(m2)(m1)4 22整理得m24m120 即(m2)(m6)0 解得m12,m26

因为点P在第一象限，所以m2。 故点P的坐标为（2，2）。

评注：本题的解答过程蕴含着设元思想、方程思想和转换思想。

二、 二次函数

※二次函数的概念：形如yaxbxc(a、、b、是常数，a0)的函数，叫做x的二次．．函数。自变量的取值范围是全体实数。 yax(a0)是二次函数的特例，此时．．

常数b=c=0.

※在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，

22并确定自变量的取值范围。 ．．．．．．．．

2

※二次函数y＝ax的图象是一条顶点在原点关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线。 ．．．描述抛物线常从开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点等方面来描述。 ①函数的定义域是全体实数；

②抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x＝0)。

③当a＞0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a＜0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。 ④函数的增减性： A、当a＞0时;x0时,y随x增大而减小 .x0时,y随x增大而增大 B、当a＜0时;x0时,y随x增大而增大 .x0时,y随x增大而减小⑤当｜a｜越大，抛物线开口越小；当｜a｜越小，抛物线的开口越大。

⑥最大值或最小值：当a＞0，且x＝0时函数有最小值，最小值是0；当a＜0，且x＝0时函数有最大值，最大值是0． ※二次函数yax2c的图象是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线

bb4acb2※二次函数yaxbxc的图象是以x为对称轴，顶点在（，）

2a2a4a2的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）

※|a|的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越快；|a|的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越慢。

※二次函数yax2c的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。 ※二次函数yax2bxc的图象与y＝ax的图象的关系：

2

yax2bxc的图象可以由y＝ax的图象平移得到，其步骤如下：

2

b4acb2 ①将yaxbxc配方成ya(xh)k的形式；（其中h=，k=）；

2a4a22②把抛物线yax向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|个单位，得到y=a(x-h)的图象；

2

2③再把抛物线ya(xh)向上（k>0）或向下（k<0）平移| k|个单位，便得到

2ya(xh)2k的图象。

※二次函数yax2bxc的性质：

b24acb2二次函数yaxbxc配方成ya(x)则抛物线的

2a4a2①对称轴：x=2b ②顶点坐标：（b，4acb） 2a2a4a③增减性： 若a>0，则当x<大而增大。 ．．．．．

若a<0，则当x<大而减小。 ．．．．．

bb时，y随x的增大而减小；当x>时，y随x的增．．．．．．2a2abb时，y随x的增大而增大；当x>时，y随x的增．．．．．．2a2a4acb2bb④最值：若a>0，则当x=时，y最小；若a<0，则当x=时，

2a2a4ay最大4acb2 4a※画二次函数yax2bxc的图象：

我们可以利用它与函数yax2的关系，平移抛物线而得到，但往往我们采用简化了的描点法----五点法来画二次函数来画二次函数的图象，其步骤如下：

2b ①先找出顶点（b，4acb），画出对称轴x=；

2a2a4ab②找出图象上关于直线x=对称的四个点（如与坐标的交点等）；

2a③把上述五点连成光滑的曲线。

2

¤二次函数的最大值或最小值可以通过将解析式配成y=a(x-h)+k的形式求得，也可以借助图象观察。

¤解决最大（小）值问题的基本思路是： ①理解问题；

②分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系； ③用数学的方式表示它们之间的关系； ④做数学求解；

⑤检验结果的合理性、拓展性等。

※二次函数yaxbxc的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一元二次方程axbxc0的两个实数根

※抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： b4ac>0 <===> 抛物线与x轴有2个交点；

222 b4ac=0 <===> 抛物线与x轴有1个交点；

b4ac<0 <===> 抛物线与x轴有0个交点（无交点）；

※当b4ac>0时，设抛物线与x轴的两个交点为A、B，则这两个点之间的距离：

222|AB||x1x2|(x2x1)2(x1x2)24x1x2

b24ac2化简后即为：|AB|(b4ac0) ------ 这就是抛物线与x轴的两交点之

|a|间的距离公式。

o

例1．（2011 天一实验学校 二模）．如图，在第一象限内作射线OC,与x轴的夹角为30,在

2

射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H.在抛物线y=x(x>0)上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是 _______________ .

1122

源答案：(3，3) ,(3，) , (23，2) , (3，)

3333例2 （2011年浙江省杭州市模2） 如图，在第一象限内

作射线OC，与x轴的夹角为30°，在射线OC上取一

2

点A，过点A作AH⊥x轴于点H．在抛物线y=x（x＞0）上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是 . 答案：(

31232，)(，)(3，3)(23，2) 3333第7题

例3．（2011年浙江省杭州市中考数学模拟试题）已知二次函数yaxbxc的图象Q与x轴有且只有一个交点P，与y轴的交点为B（0，4），且ac＝b， （1）求这个二次函数的解析式。

（2）将一次函数y＝－3x的图象作适当平移，使它经过点P，记

所得的图象为L，图象L与Q的另一个交点为C，请在y轴上找一点D，使得△CDP的周长最短。 答案：（1）由B（0，4）得，c=4.

2Q与x轴的交点P（由条件acb，得

b，0）， 2abbcc，所以=2，即P（2，0）． a2a2b4a,a1,所以解得

4a2b40.b4.

所求二次函数的解析式为yx24x4．

（2）设图象L的函数解析式为y=3x+b，因图象L过 点P（2，0），

所以b6，即平移后所得一次函数的解析式为

C y y=3x6．

令3x6=x4x4，

解得x12，x25． 将它们分别代入y=3x6， 得y10，y29．

所以图象L与Q的另一个交点为C（5，9）． ∵点P（2，0）关于y轴的对称点为点P’（2，0）

P O 2B D P’ x 91818x，且与y轴的交点为D(0 , ) 77718即 在y轴上使得C⊿CDF最小的点是 D(0 , )

7则直线CP’的解析式为y三、圆的基本性质 【本章知识框架】

圆 基本元素：圆的定义，圆心，半径，弧，弦，弦心距

的 垂径定理 认 对称性：旋转不变性，轴对称，中心对称（强） 识 圆心角、弧、弦、弦心距的关系 与圆有关的角：圆心角，圆周角

弧长，扇形的面积，弓形的面积，及组合的几何图形 圆中的有关计算：

圆锥的侧面积、全面积 一、圆的概念

1、圆的定义：线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．点O叫做圆心，线段OP叫做半径。

2、弧：圆上任意两点间部分叫做圆弧，简称弧。优弧、劣弧以及表示方法。 3、弦，弦心距，圆心角，圆周角，

【例1】如图23-1，已知一个圆，请你用多种方法确定圆心． 分析：要确定一个圆的圆心，我们可以从两个方面分析： (1) 圆心在弦的中垂线上；(2) 圆心是直径的交点。

【例2】下列命题正确的是( )

A．相等的圆周角对的弧相等 B．等弧所对的弦相等

C．三点确定一个圆 D．平分弦的直径垂直于弦． 【例3】填空：

⑴ 一条弦把圆分成1:3两部分，则劣弧所对的圆心角的度数是 ； ⑵ 等边△ABC内接于⊙O，∠AOB= 度。 4、判定一个点P是否在⊙O上．

设⊙O的半径为R，OP＝d，则有：

d>r  点P在⊙O 外； d＝r  点P在⊙O 上； d【例5】一个点到圆的最大距离为1l cm，最小距离为5 cm，则圆的半径为______。 【例6】P(x，y)是以坐标原点为圆心，5为半径的圆周上的点，若x、y都是整数，则这样的点共有 （ ）

A 4个 B 8个 C 12个 D 16个 5、三角形的外接圆，外心

三角形的外心：是三角形三边垂直平分线的交点，它是三角形外接圆的圆心。

知识点：锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部。

三角形外心到三角形三个顶点的距离相等。

相关知识：三角形重心，是三角形三边中线的交点，在三角形内部。

【例7】(2004.北京东城)如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A=45°，BC=2，求⊙O的面积。 A答案：2π。

O

CB二、圆的性质

1、旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合； 2、圆是中心对称图形，对称中心是圆心．

性质：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量也分别相等。

3、轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．

【例8】（浙江）世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自生活中的图形中都有圆（如图3所示）．

图中的（1），（2），（3）三个图看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称性和中心对称性．

⑴ 请问（1），（2），（3）三个图形中是轴对称图形的有 ，是中心对称图形的有 ；（用（1），（2），（3）这三个图形的代号填空）

⑵ 请在图（4），（5）的两个圆内，按要求分别画出与上面图案不重复的图案（草图），（用尺规画，或徒手画均可，但要尽可能准确些、美观些）要求图4是轴对称图形，但不是中心对称图形；图5既是轴对称图形，又是中心对称图形。

【例9】如图，OE、OF分别是⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE＝OF，那么 （只需写出一个正确的结论）．

EAB

C O

F

D

【例10】(2003•北京市)如图23-10，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的长为( )

A 2 B 3 C 4 D 5 答案：A．

【例11】(2002•青海省)⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB＝12cm，CD＝16cm，则AB和CD的距离为( )

A．2cm B．14cm

C．2cm或14cm D．10cm或20cm

【例12】(2001•吉林省)如图23-14，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一个动点，那么OP的长的取值范围是_________．

4、与圆有关的角

⑴ 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。

圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 ⑵ 圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。

圆周角的性质：

① 圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．

② 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ③ 90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．

【例13】(2001•青海省)如图23-18，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AD∥BC，对角线AC、BD交于点E，那么圆中共有_________对全等三角形，_________对相似比不为1

A的相似三角形．

P

O

CD

B【例14】（江西）如图所示，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD。P是圆上一动点（不与C、D重合），试说明∠CPD与∠COB与有什么数量关系，并加以说明．

答案：相等或互补。

三、弧、扇形、圆锥侧面的计算

2⑴ 圆的面积:SR，周长:C2R

⑵ 圆心角为n°，半径为R的弧长lnR ． 1801nR2⑶ 圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积S 或 SlR.

2360知识点：弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算。

⑷ 圆锥的侧面展开图为扇形。

底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为SRl，全面积为

SRlR2 ，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有l2R2h2。

【例15】扇形的半径为３０ｃｍ，圆心角为１２０，用它做成一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为（ ）

Ａ １０ｃｍ Ｂ ２０ｃｍ Ｃ １０πｃｍ Ｄ ２０πｃｍ

【例16】在Rt△ABC中，已知AB＝6，AC＝8，∠A＝90°，如果把此直角三角形绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其表面积为S1；把此直角三角形绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为S2，那么S1∶S2等于 （ ）

A 2∶3 B 3∶4 C 4∶9 D5∶12

【例17】如图，直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝4，分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影的面积为 。

A

CB

四、作图

平分已知弧；作三角形的外接圆。 五、辅助线

圆中常见的辅助线

1．作半径，利用同圆或等圆的半径相等； 2．作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算；

3．作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算； 4．作弦构造同弧或等弧所对的圆周角；

5．作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角； 6．遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点。 四、相似三角形 (一)比例线段

1．线段的比和比例线段 (1)比例的基本性质：推论：

０

acadbc bdabb2ac bcacabcd(2)合比性质：

bdbd(3)等比性质：

acmac...ma... bdnbd...nb其中bd...n0。

2．平行线分线段成比例

(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

(2)推论：①平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．

②平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．

(3)逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． (二)相似三角形

1．概念：对应角相等．对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 2．相似三角形的判定

(1)定理l：平行于三角形_边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．

(2)定理2：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简单说成：两角对应相等，两三角形相似．

(3)定理3：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

(4)定理4：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简单说成：三边对应成比例，两三角形相似．

(5)定理5：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似．

(6)定理6：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

（7）射影定理

C①AC2ADAB

②BC2BDAB

A③CD2ADBD DB3．相似三角形的性质

(1)定理l：相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (2)定理2：相似三角形周长的比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．

13．(2010·上海)如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD＝∠ABC，若AC＝2， AD＝1，则DB＝________.

ACAD【解析】∵∠ACD＝∠ABC，∠BAC＝∠CAD，∴△ADC∽△ACB，∴＝，∴AB·AD ABAC ＝AC2，则AB＝4，所以BD＝AB－AD＝3.

18．(12分)(2010·珠海)如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E， 连结DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B. (1)求证：△ADF∽△DEC. (2)若AB＝4，AD＝33，AE＝3，求AF的长．

(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD.∴∠ADF＝∠CED，∠B ＋∠C＝180°. ∵∠AFE＋∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC. (2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD＝AB＝4.又∵AE⊥BC，∴AE⊥AD.ADAF33

在Rt△ADE中，DE＝AD2＋AE2＝332＋32＝6.∵△ADF∽△DEC，∴＝，∴DECD6

AF ＝，∴AF＝23. 4

19．(12分)(2011中考预测题)一块直角三角形形状的铁皮材料，两直角边长分别为30 cm、 40 cm，现要把它加工成一个面积最大的正方形，两种加工方法如图①、②，请你用学过的知 识说明哪种加工方法符合要求？