新教材高中数学第4章指数函数与对数函数4.2指数函数(第1课时)指数函数的概念、图象与性质讲义新人教A版必

1．指数函数的概念

一般地，函数y＝a(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 2．指数函数的图象和性质

xa的范围 a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 值域 性质 过定点 单调性 奇偶性 对称性 xx R (0，＋∞) (0,1)，即当x＝0时，y＝1 在R上是增函数 非奇非偶函数 函数y＝a与y＝a的图象关于y轴对称 －x在R上是减函数 思考1：指数函数y＝a(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？ 提示：指数函数y＝a(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于字母a.当a>1时，图象具有上升趋势；当0思考2：：指数函数值随自变量有怎样的变化规律？ 提示：指数函数值随自变量的变化规律．

x

1．下列函数一定是指数函数的是( ) A．y＝2

x＋1

3

xB．y＝x D．y＝3

－xC．y＝3·2

D [由指数函数的定义可知D正确．] 2．函数y＝3的图象是( )

－x

A B C D

x1B [∵y＝3＝，∴B选项正确．] 3

－x3．若指数函数f(x)的图象过点(3,8)，则f(x)的解析式为( ) A．f(x)＝x

3

B．f(x)＝2 1

D．f(x)＝x3

x1C．f(x)＝ 2

xxB [设f(x)＝a(a>0且a≠1)，则由f(3)＝8得

a3＝8，∴a＝2，∴f(x)＝2x，故选B.]

4．函数y＝a(a>0且a≠1)在R上是增函数，则a的取值范围是________．

(1，＋∞) [结合指数函数的性质可知，若y＝a(a>0且a≠1)在R上是增函数，则a>1.]

xx

指数函数的概念

【例1】 (1)下列函数中，是指数函数的个数是( ) ①y＝(－8)；②y＝2④y＝2·3. A．1 C．3

B．2 D．0

xxx－12

；③y＝a；

x33(2)已知函数f(x)为指数函数，且f－＝，则f(－2)＝________.

291

(1)D (2) [(1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；

9②中指数不是自变量x，而是x的函数，

所以不是指数函数；

③中底数a，只有规定a>0且a≠1时，才是指数函数； ④中3前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D.

3333x－2

(2)设f(x)＝a(a>0且a≠1)，由f－＝得a－＝，所以a＝3，又f(－2)＝a，

29291－2

所以f(－2)＝3＝.]

9

1．判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住三点： (1)底数是大于0且不等于1的常数； (2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上； (3)a的系数必须为1.

2．求指数函数的解析式常用待定系数法．

1．已知函数f(x)＝(2a－1)是指数函数，则实数a的取值范围是________．

2a－1>0，1，1∪(1，＋∞) [由题意可知2

2a－1≠1，

xxx

1

解得a>，且a≠1，

2

1所以实数a的取值范围是，1∪(1，＋∞)．] 2

指数函数的图象的应用

【例2】 (1)函数f(x)＝a( )

x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是

A．a>1，b<0 C．00 (2)函数y＝ax－3

B．a>1，b>0 D．0＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．

(1)D (2)(3,4) [(1)由于f(x)的图象单调递减，所以00，b<0，故选D. (2)令x－3＝0得x＝3，此时y＝4.故函数y＝ax－3

－b0

＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点(3,4)．]

指数函数图象问题的处理技巧

1抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点.

2利用图象变换，如函数图象的平移变换左右平移、上下平移.

3利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势.

2．已知f(x)＝2的图象，指出下列函数的图象是由y＝f(x)的图象通过怎样的变化得到： (1)y＝2

x＋1

xx－1

x；(2)y＝2；(3)y＝2＋1；

(4)y＝2；(5)y＝2. [解] (1)y＝2(2)y＝2

x－1

x＋1

－x|x|

的图象是由y＝2的图象向左平移1个单位得到．

xx的图象是由y＝2的图象向右平移1个单位得到．

x(3)y＝2＋1的图象是由y＝2的图象向上平移1个单位得到．

(4)∵y＝2与y＝2的图象关于y轴对称，∴作y＝2的图象关于y轴的对称图形便可得到y＝2的图象．

(5)∵y＝2为偶函数，故其图象关于y轴对称，故先作出当x≥0时，y＝2的图象，再作关于y轴的对称图形，即可得到y＝2的图象．]

指数函数的定义域、值域问题

[探究问题]

1．函数y＝2x＋1的定义域与f(x)＝x＋1的定义域什么关系？ 提示：定义域相同．

2．如何求y＝2x＋1的值域？

提示：可先令t＝x＋1，则易求得t的取值范围为[1，＋∞)，又y＝2在[1，＋∞)上是单调递增函数，故2≥2，所以y＝2x＋1的值域为[2，＋∞)．

【例3】 求下列函数的定义域和值域： (1)y＝1－3；

xt2

222

2

|x|

|x|

－x－xxxxxt1(2)y＝

2

xx－2x－3

2

；

x＋1

(3)y＝4＋2＋2.

[思路点拨] 函数式有意义―→原函数的定义域 指数函数――→原函数的值域 的值域

[解] (1)要使函数式有意义，则1－3≥0，即3≤1＝3，因为函数y＝3在R上是增函

xx0

x数，所以x≤0，故函数y＝1－3的定义域为(－∞，0]．

因为x≤0，所以0<3≤1，所以0≤1－3<1，

所以1－3∈[0,1)，即函数y＝1－3的值域为[0,1)． (2)定义域为R.

∵x－2x－3＝(x－1)－4≥－4，

2

2

xxxxx1∴2

x2－2x－3

1≤＝16. 2

>0，

－4

1又∵2

x2－2x－3

1∴函数y＝2

xx2－2x－3

的值域为(0,16]．

xx＋1

(3)因为对于任意的x∈R，函数y＝4＋2义域为R.因为2>0，所以4＋2

即函数y＝4＋2

1．若本例(1)的函数换为“y＝

xx0

＋2都有意义，所以函数y＝4＋2

xx2

xx＋1

＋2的定

xx＋1

＋2＝(2)＋2×2＋2＝(2＋1)＋1>1＋1＝2，

x2

xx＋1

＋2的值域为(2，＋∞)．

1－1”，求其定义域． 3

x111[解] 由－1≥0得≥，∴x≤0，即函数的定义域为(－∞，0]． 333

2．若本例(3)的函数增加条件“0≤x≤2”，再求函数的值域． [解] ∵0≤x≤2，∴1≤2≤4，∴y＝4＋2

x2

xxx＋1

＋2＝(2)＋2×2＋2＝(2＋1)＋1.

x2xx2

令2＝t，则t∈[1,4]，且f(t)＝(t＋1)＋1， 易知f(t)在[1,4]上单调递增， ∴f(1)≤f(t)≤f(4)，即5≤f(t)≤26， 即函数y＝4＋2

xx＋1

＋2的值域为[5,26]．

1．函数y＝a2．函数y＝af(x)

的定义域与y＝f(x)的定义域相同． 的值域的求解方法如下：

f(x)

(1)换元，令t＝f(x)； (2)求t＝f(x)的定义域x∈D； (3)求t＝f(x)的值域t∈M；

(4)利用y＝a的单调性求y＝a，t∈M的值域．

3．形如y＝f(a)的值域，要先求出u＝a的值域，再结合y＝f(u)确定出y＝f(a)的值域．

xxxtt

1．判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合y＝a(a>0且a≠1)这一结构形式．

2．指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．

3．由于指数函数y＝a(a>0且a≠1)的定义域为R，所以函数y＝axf(x)x(a>0且a≠1)与函

数f(x)的定义域相同，求与指数函数有关的函数的值域时，要考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性．

1．思考辨析

(1)y＝x是指数函数．( ) (2)函数y＝2不是指数函数．( ) (3)指数函数的图象一定在x轴的上方．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√

2．如图是指数函数①y＝a，②y＝b，③y＝c，④y＝d的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )

xxxx－x2

A．a＜b＜1＜c＜d C．1＜a＜b＜c＜d

B．b＜a＜1＜d＜c D．a＜b＜1＜d＜c

B [作直线x＝1，与四个图象分别交于A，B，C，D四点，则A(1，a)，B(1，b)，C(1，

c)，D(1，d)，由图可知b]

3．函数y＝

11－的定义域是________． 2

x111[0，＋∞) [由1－≥0得≤1＝，∴x≥0， 222

∴函数y＝

xx0

11－的定义域为[0，＋∞)．] 2

xxx14．设f(x)＝3，g(x)＝. 3

(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；

(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？ [解] (1)函数f(x)，g(x)的图象如图所示：

11

(2)f(1)＝3＝3，g(－1)＝＝3，

31f(π)＝3，g(－π)＝＝3π， 3

π

－π

－1

1f(m)＝3m，g(－m)＝＝3m. 3

从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．

－m