福州市 2017-2018 学年第一学期九年级期末考试数学试卷及答案

福州市 2017－2018 学年第一学期九年级期末考试

数 学 试 卷

（满分：150 分；考试时间：120 分钟）

一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分；在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂） （1）一元二次方程 x2 3x 0 的解为

（A） x1 3 ， x2 3

（C） x1 3 ， x2 0

（B） x1 3 ， x2 0 （D） x1 x2 3

（2）下列是中心对称图形但不．是轴对称图形的是

（A） （B） （C） （3）下列事件中，是随机事件的是

（A）任意画一个三角形，其内角和是 360° （B）任意抛掷一枚图钉，钉尖着地 （C）通常加热到 100℃时，水沸腾 （D）太阳从东方升起 （4）二次函数 y (x 1)2 2 图象的顶点坐标是

（A）（2， 1 ） （B）（2，1） （C）（ 1 ，2）

（D）

（D）（1，2）

（5）下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最大的是

（A） （B） （C） （D） （6）某医药厂两年前生产 1 t 某种药品的成本是 5 000 元，随着生产技术的进步，现在生

产 1 t 该种药品的成本是 3 000 元．设该种药品生产成本的年平均下降率为 x，则下 列所列方程正确的是 （A） 5 000 2(1 x) 3 000 （B） 5 000(1 x)2 3 000 （C） 5 000(1 2x) 3 000 （D） 5 000(1 x2 ) 3 000

（7）已知反比例函数 y k （k＜0）的图象经过点 A（ 1 ，y1），B（2，y2），C（3，y3），

x

则 y1，y2，y3 的大小关系是 （A）y2＜y3＜y1 （B）y3＜y2＜y1 （C）y1＜y3＜y2 （D）y1＜y2＜y3

九年级数学 — 1 — （共 4 页）

（8）如图，在 6×6 的正方形网格中，有 6 个点 M，N，O，P，Q，R

（除 R 外其余 5 个点均为格点），以 O 为圆心，OQ 为半径作圆， P 则在⊙O 外的点是

O （A）M

（B）N

M （C）P

Q N R （D）R

（9）如图，已知⊙P 与坐标轴交于点 A，O，B，点 C 在⊙P 上， y 且 ACO 60 ，若点 B 的坐标为（0，3），则 OA 的长为 C （A）2π B （B）3π

P（C） 3 π xO A （D）2 3 π （10）若二次函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴有两个交点 A 和 B， 顶点2 为 C，且 b 4ac 4，则∠ACB 的度数为 （A）30° （B）45° （C）60° （D）90° 二、填空题（共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分，请在答题卡的相应位置作答） （11）已知反比例函数的图象过点（2，3），则该函数的解析式为 ．

（12）有长为 3，4，5，6 的四根细木条，从中任取三根为边组成三角形，则能构成直角

三角形的概率为 ． （13）抛物线 y x2

4x 不经过第 ．象限．

（14）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问

C题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三 D 750 西门 十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几

何？”其大意是：如图，一座正方形城池，A 为 北门中点，从点 A 往正北方向走 30 步到 B 处有 一树木，C 为西门中点，从点 C 往正西方向走 750 步到 D 处正好看到 B 处的树木， 则正方形城池的边长为 步．

A

（15）在平面直角坐标系中，点 P 关于原点及点（0，－1）的对称点分别

为 A，B，则 AB 的长为 ．

（16）如图，在△ABC 中，AB∶AC 7∶3，∠BAC 的平分线交 BC 于点 C

E，过点 B 作 AE 的垂线段，垂足为 D，则 AE∶ED ． E

三、解答题（共 9 小题，满分 86 分，请在答题卡的相应位置作答） （17）（本小题满分 8 分） B D

解方程 x2 2x 1 0．

北门

30 A B （18）（本小题满分 8 分）

已知关于 x 的一元二次方程 x2 (2m 1)x m(m 1) 0，试说明不论实数 m 取何 值，方程总有实数根． （19）（本小题满分 8 分） 求证：相似三角形对应高的比等于相似比．

（请根据题意画出图形，写出已知，求证并证明）

九年级数学 — 2 — （共 4 页）

（20）（本小题满分 8 分）

某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 p（单位：千 帕）随气体体积 V（单位：立方米）的变化而变化，p 随 V 的变化情况如下表所示．

… p 1.5 2 2.5 3 4 V 64 48 38.4 32 24 … （Ⅰ）请写出一个符合表格中数据的 p 关于 V 的函数解析式 ；

（Ⅱ）当气球内的气压大于 144 千帕时，气球将爆炸．依照（Ⅰ）中的函数解析

式，基于安全考虑，气球的体积至少为多少立方米？

（21）（本小题满分 8 分）

如图，△ABC 中，AB AC，∠BAC 50°，P 是 BC 边上一点， 将△ABP 绕点 A 逆时针旋转 50°，点 P 旋转后的对应点为 P′． （Ⅰ）画出旋转后的三角形； （Ⅱ）连接 PP′，若∠BAP 20°，求∠PP′C 的度数．

B P

C

A

（22）（本小题满分 10 分）

盒中有若干枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别．现让学生进行摸棋试验： 每次摸出一枚棋，记录颜色后放回摇匀．重复进行这样的试验后得到以下数据．

摸棋的次数 n 100 200 300 500 800 1000 摸到黑棋的次数 m 24 51 76 124 201 250 m （精确到 摸到黑棋的频率 0.001） 0.240 0.255 0.253 0.248 0.251 0.250 n （Ⅰ）根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是 ；（精确到

0.01）

（Ⅱ）若盒中黑棋与白棋共有 4 枚，某同学一次摸出两枚棋，请计算这两枚棋颜

色不同的概率，并说明理由．

（23）（本小题满分 12 分）

如图，AB 是半圆 O 的直径，C，D 是半圆 O 上的两点， AC BD ，AE 与弦 CD

的延长线垂直，垂足为 E． D C E （Ⅰ）求证：AE 与半圆 O 相切； （Ⅱ）若 DE 2，AE 2 3 ，求图中阴影部分的面积．

A O B

九年级数学 — 3 — （共 4 页）

（24）（本小题满分 12 分）

已知△ABC，∠ACB 90°，AC BC 4，D 是 AB 的中点，P 是平面上的一点，且 DP 1，连接 BP，CP．

P 在线段 BD 上时，求 CP 的长； （Ⅰ）如图，当点

CP 的长； （Ⅱ）当△BPC 是等腰三角形时，求

（Ⅲ）将点 B 绕点 P 顺时针旋转 90°得到点 B′，连接 AB′，求 AB′的最大值．

A A A

D P

B C B

C 备用图

B 备用图

C

（25）（本小题满分 12 分）

已知二次函数 y ax2 bx 1 （a＞0，b＜0）的图象与 x 轴只有一个公共点 A．

2

（Ⅰ）当 a 1 时，求点 A 的坐标；

2

（Ⅱ）过点 A 的直线 y x k 与此二次函数的图象相交于另一点 B．当 b≥ 1 时，

求点 B 的横坐标 m 的取值范围．

九年级数学 — 4 — （共 4 页）

福州市 2017－2018 学年第一学期九年级期末考试

数学试题答案及评分标准

评分说明：

1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主 要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则．

2．对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内 容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数 的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一 、选择题（每小题 4 分，共 40 分）

1．C 2．A 3．B 4．D

5．D 6．B 7．A 8．C 9．A 10．D

二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）

11． y 6x 1 12． 4

13．三 14．300 15．2

16．3∶2

三、解答题（满分 86 分） 17．解法一：

x2 2x 1， ································ ································

································

·········

x2 2x 12 1 12， ································

································ ······························

(x 1)2

2． ································

································ ································

······· x 1  2 ，

x 1  2 ，································

································

································

········

即 x1 1  2 ，x2 1  2 ． ································

································

·················

解法二：

a 1，b 2，c 1． ································

································

························

Δ b2 4ac ( 2)2 4 1 ( 1) 8＞0． ································

·······························

方程有两个不等的实数根

x  b  b2  4ac 2a ·

······························· ································

································

(2 2) 1 8 1  2 ， ································ ································

························

即 x1 1+ 2 ，x2 1  2 ．································

································

···················

18．解：a 1，b 2m 1，c m(m 1)． ································ ································ ······· Δ b2 4ac (2m 1)2 4 1 m(m 1) ································ ··························· 4m2 4m 1 4m2

4m································ ································ ··············· 1，

九年级数学答案 — 1 — （共 7 页）

1 分

3 分 4 分

6 分 8 分

1 分 3 分

4 分 6 分 8 分

1 分

3 分

5 分

∵Δ 1＞0， ································

································

∴不论实数 m 取何值，方程总有实数根． ································

································

···························

7 分 8 分

19．已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k．AD 是△ABC 的高，A′D′是△A′B′C′的高．

求证： AD k ． ································ ································ ··················· 3 分（含图形）

AD

证明：∵△ABC ∽△A′B′C′，

∴∠B ∠B′， AB k ． ································ ································ ············· 4 分

A AB

A′ 又 AD 是△ABC 的高，A′D′是△A′B′C′的高，

∴AD⊥BC，A′D′⊥B′C′， ∴∠ADB ∠A′D′B′ 90°，

B ∴△ABD∽△A′B′D′． ································ ∴ AD AB ， ADAB∴ AD k ． ································ AD



································

D C B′ ··················

D′ C′

6 分

································ ····························· 8 分

20．解：（Ⅰ）p 96 ．································

V

································ ······························· 3 分

（Ⅱ）把 p 144 代入 p 96 ，得

V

2 立方米）．································ V 96 （3 144

································ ·········· 4 分

2 立方米． 从结果可以看出，如果气压为 144 千帕时，那么气球的体积为 3

对于函数 p 96 ，当 V＞0 时，V 越大，p 越小， ································ ··········

V

这样气压不大于 144 千帕时，气球不爆炸，

2 立方米． 则气球的体积 V 至少为 ································ ····························· 3

6 分

8 分

21．解：（Ⅰ）

A

P'

B

P C

··········· A

································ ································ ································ 则△AP′C 为△APB 绕点 A 逆时针旋转 50°后得到的三角形． ································ ································ ····· 3 分

（Ⅱ）由旋转得：∠PAP′ 50°，AP AP′，△ABP≌△ACP′，

∴∠APP′ ∠AP′P 65°，∠AP′C ∠APB． ·········· 4 分 ∵∠BAC 50°，AB AC， ∴∠B 65°．································ ··················· 5 分 ∵∠BAP 20°，

2 分

E B P

C

P'

九年级数学答案 — 2 — （共 7 页）

∴∠APB 180° ∠BAP ∠B 95°， ································

∴∠AP′C ∠APB 95°， ································ ································ ∴∠PP′C ∠AP′C ∠AP′P 95° 65° 30°． ································

·························

6 分

······· 7 分

············ 8 分

22．解：（Ⅰ）0.25 ································

····· 3 分

4 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，黑棋的个数为 4 0.25 1，∴白棋的个数为 4 1 3． ··············

列表如下：

黑 白 白 白 1 2 3 黑 （白 （白 （白 1，黑） 2，黑） 3，黑） 白 （白 1 （黑，白 1） 2，白 1） （白 3，白 1） 白 （白 2 （黑，白 2） （白 1，白 2） 3，白 2） 白 3 （黑，白 3） （白 1，白 3） （白 2，白 3） ································ ································ ································ ············ 7 分 由表可知，所有可能出现的结果共 12 种情况，并且每种情况出现的可能性相等． ································ ································ ································ ··········· 8 分 其中摸出两枚棋的颜色不同（记为事件 A）的结果有 6 种， 即（黑，白 （白 （白 1)，（黑，白 2) ，（黑，白 3)，（白 1，黑) ，2，黑) ，3，黑)． ∴P（A） 6 1 ．································ ································ ·············· 10 分

12 2

1 ． ∴该同学一次摸出两枚棋，这两枚棋颜色不同的概率为 2

································ ································

23．（Ⅰ）证明：证法一：

连接 AC． ································ ∵ AC  BD ，

································ ·························· 1 分

∴ AC  CD  BD  CD ， 即 AD  BC ． ································ ·············· ∴∠CAB ∠ACD， ∴AB∥CE． ································ ∵AE⊥CD， ∴∠AEC 90°， ∴∠EAB 180° ∠AEC 90°， ∴AE⊥AB， ································ ∵OA 为半径，

∴AE 与半圆 O 相切． ································ 证法二：

连接 AD，BC． ································ ∵ AC  BD ， ∴∠DAB ∠CBA． ································

·················

E D C 2 分

3 分

A O B

································

································ ································

································

E D ·······················

·········· ···················

·············

C 4 分 5 分 1 分 2 分

∵四边形 ABCD 是半圆 O 的内接四边形， ∴∠CBA ∠CDA 180°， ∴∠CDA ∠DAB 180°， ∴AB∥CE． ································ ································ ∵AE⊥CD， ∴∠AEC 90°， ∴∠EAB 180° ∠AEC 90°，

A O·· ················ B 3 分

九年级数学答案 — 3 — （共 7 页）

∴AB⊥AE， ································ ∵OA 为半径，

∴AE 与半圆 O 相切． ································

································

································

·······················

··········

4 分 5 分

（Ⅱ）解：

解法一（对应（Ⅰ）中证法一）： 连接 AD，取 AD 中点 F，连接 EF，OD．

∵在 Rt△ADE 中，∠AED 90°，AE 2 3 ，DE 2， ∴AD AE2  DE2 4．································ ∵F 为 AD 中点， ∴EF 是 Rt△AED 斜边 AD 的中线， ∴EF 1 AD 2． ································

2

∴ED EF DF 2， ∴△EDF 是等边三角形，

································

······ 6 分

································ ················

E D F B C 7 分

·················· ∴∠EDA 60°， ································ ································ A O由（1）知，AB∥CE， ∴∠DAO ∠EDA 60°， ································ ································ ∵OA OD，

∴△ADO为等边三角形， ∴ AOD 60，OA AD 4， ································ ······························· ∴ S阴影 S四边形AODE S扇形AOD

2

1 （2 4）2 3 6042 360 6 3 8. ································ ································

3

解法二（对应（Ⅰ）中证法二）： 过 O 点作 OF CD 于点 F ，连接 OD ． 则 DF CF 1 CD ， OFD 90． ································

2

∵ EAB AEF 90，

8 分

······ 9 分

10 分

············ 12 分

························

E D C 6 分

∴ EAB AEF OFD 90， ∴四边形 AOFE为矩形， ∴ OF AE ， EF AO ． 又∵AE 2 3 ， F

A O B

∴ OF 2 3 ．································ 设半圆 O 的半径为 R，又 DE 2， 则 OD R，DF EF DE R 2， ∵在△ODF 中， OFD 90， ∴ OF2 DF2 OD2 ， (2 3)2 (R 2)2 R2 ， 解得 R 4 ， ································ ∵在△ADE 中， AED 90，

································ ····················· 7 分

································

·······················

································

8 分

····· 9 分

∴ AD  AE2 DE2 4 ， ································

∴ AD DO OA， ∴△ADO为等边三角形，

九年级数学答案 — 4 — （共 7 页）

∴ AOD 60， ································ ∴ S阴影 S四边形AODE S扇形AOD

2

1 （2 4）2 3 6042 360 6 3 8. ································

3

································ ················· 10 分

································ ············ 12 分

24．解：（Ⅰ）连接 CD．

∵在△ABC 中，∠ACB 90°，AC BC 4，

∴AB AC2  BC2 4 2 ． ································ ∵D 为 AB 中点， ∴CD 1 AB BD 2 2 ，CD⊥AB， ························

2 ∵在△CPD 中，∠CDP 90°，DP 1，CD 2 2 ，

··· 1 分 2 分

A

D P B C

∴CP CD2  DP2 3． ································ ································ ······· 3 分 （Ⅱ）∵DP 1， ∴点 P 在以点 D 为圆心，半径为 1 的⊙D 上． （ⅰ）当 BP CP 时，

∵CD DB， ∴P，D 都在 BC 的垂直平分线上， ∴DP 垂直平分 BC．································ ································ ····· 4 分

A 设直线 DP 交 BC 于 E，

∴∠PEC 90°，BE EC 2． 又 P

∵∠CDB 90°， D ∴DE 1 BC CE 2． P 2

∵在△PCE 中，∠PEC 90°∴PC PE2 EC2 ， B C E 2 5 ． ①当 P 在线段 DE 上时，PE DE DP 1，则 PC 12  2······ 5 分 ②当 P 在线段 ED 的延长线上时，PE DE DP 3， A

2 2则 PC 3 2  13 ． ························· 6 分

（ⅱ）当 PC BC 时， D P ∵PC≤CD DP 2 2 1＜BC，

∴PC BC，即该情况不成立． ····················· （ⅲ）当 PB CB 时，

同（ⅱ）可得，该情况不成立． ····················

7 分 8 分

B C

综上，当△BPC 是等腰三角形时，CP 的长为 5 或 13 ．

（Ⅲ）连接 BB′．

由旋转得，PB PB′，∠BPB′ 90°， ∴∠PBB′ 45°，

∴BB′ PB2  PB2  2 PB，

∴ BB 2 ．

PB

∵AC BC，∠ACB 90°， ∴∠ABC 45°， ∴∠ABC ∠PBB′，

A

B' P D 九年级数学答案 — 5 — （共 7 页）

B C∴∠ABB′ ∠CBP．

∵ BABC 4 4 2  2 ， ∴ BA BA BB PBBC ， BC即

BBPB ，

∴△ABB′∽△CBP， ································ ································ ·············· ∴ CP ABBABC

 2 ， ∴AB′  2 CP． ································

································ ··················· ∵PC≤CD DP 2 2 1， ∴点 P 落在 CD 的延长线与⊙D 的交点处（⊙D 的半径为 1），PC 的值最大． ∴AB′≤ 2 (2 2 1) 4  2 ， ∴AB′的最大值为 4  2 ．································

································ ······

25．解：（Ⅰ）∵二次函数图象与 x 轴只有一个公共点， ∴Δ b2 4a 1 b2 2a 0，

∴b2

2

2a． ································ ································ ···························· 当 a 1 时，b2 2 2 12 1，

∵b＜0， ∴b 1． ································ ································ ···························· ∴二次函数解析式为 y 1 2 x2 x 1 ，

2

当 y 0 时，x1 x2 1， ································ ································ ···········

∴A（1，0）．································ ································ ·························· （Ⅱ）由（Ⅰ）得 b2 2a，

∴a 1 b2．

21

∴y b2x2 bx 1 1 (bx 1)2， ································ ··························

2 2 2 当 y 0 时，x 1 ，

b

∴点 A 的横坐标为 1 ． ································ ································

·········· b

∴A（ 1 ，0）．

b

将点 A 代入 y x k，得 k 1 ．································ ································

b

y 1 b2 x2 ∴由 2 bx 12 消 y 得 1 y x 1． 2 b2x2 (b 1)x 1 2 1b 0，  1 b

解得 x1 ，x2 2 b ．

b b2

∵点 A 的横坐标为 1 ，

b

九年级数学答案 — 6 — （共 7 页）

9 分

10 分

12 分

1 分

2 分

3 分

4 分

5 分

6 分

7 分

∴点 B 的横坐标 m 2 b ． ································ ································ ····· 9 分

b2

∴ m 2 b 2 1 2 ( 1 1 ) 2 [(1)2 2 1 1 (1)2 (1)2 ] 2 (1 1 )2 1 ，

4 b 4 4 b 4 8 b b2 2b b2 b2 b

∵2＞0，

1 ＜ 1 时，m 随 1 的增大而减小． ∴当 ································ ······················· 10 分 b 4 b 又∵ 1≤b＜0， 1 ≤ ∴ 1． ································ ································ ·························· 11 分 b

∴m≥2 (1 14 )2 1 8

3，

即 m≥3． ································ ································ 九年级数学答案 — 7 — 共 7 页）

····························· 12 分

（