一、单项选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分） 1．必然事件的概率是（ ）
A． 0 B． 0.5 C． 1 D． 不能确定
2．下列方程中，有实数根的方程是（ ） A． 3．若
4．已知梯形ABCD中，AD∥BC，则∠A：∠B：∠C：∠D不可能是（ ） A． 3：7：5：5 B． 5：4：5：4 C． 4：5：6：3 D． 8：1：4：5
5．如果菱形的边长是a，一个内角是60°，那么菱形较短的对角线长等于（ ） A． a B．
6．下列命题中，假命题有（ ） ①有两个角相等的梯形是等腰梯形；
②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形； ③一组对角互补的梯形是等腰梯形； ④等腰梯形是轴对称图形．
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
7．如图所示，函数y=mx+m的图象可能是（ ）
a C． a D．
a
是非零向量，则下列等式正确的是（ ） |=|
| B．
=
C．
+
≠0 D． |
|+|
|=0
A． |
B．
C．
D．
A． B． C．
D．
8．甲、乙两同学同时从学校出发，步行10千米到某博物馆，已知甲每小时比乙多走1千米，结果乙比甲晚20分钟．设乙每小时走x千米，则所列方程正确的是（ ） A． C．
二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 9．方程2x3﹣16=0的根是 ．
10．在分式方程 11．方程
12．直线y=﹣2x﹣6在y轴上的截距是 ．
13．过点（﹣1，3）且与直线y=﹣x平行的直线表达式为 ．
14．在平行四边形ABCD中，若
15．由四条线段，长度分别为1，3，5，7，从这四条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率为 ．
16．若十边形的每个内角都相等，则该十边形每个内角度数为 ．
17．顺次连结三角形三边的中点所构成的三角形周长为16，那么原来的三角形周长是 ．
18．已知梯形的中位线长为10cm，高为5cm，则此梯形的面积为 cm2．
19．如果▱ABCD成为一个矩形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．
20．如图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD=6，则AF等于 ．
= （用
和
表示）．
的解是 ． +
=1中，令y=
，则原方程可化为关于y的方程是 ．
B． D．
三、解答题（本大题共5题，满分30分） 21．解关于x的方程：（a﹣1）x=3．
22．解方程：
23．解方程组：
24．如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线交BC于E，交AD于F，求证：四边形AECF的菱形．
． =1．
25．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD=2，BD=6，AC=BC=8，求证：AC⊥BD．
四、综合题（本大题共2题，26题8分，27题10分，满分18分）
26．如图，一个梯子AB长为2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙面C的距离为1.5米，梯子顶端A沿着墙以1米/秒的速度向下滑行，t秒后梯子顶端A滑行到E点，同时B沿地面滑行到D点，请分别以AC与BC所在的直线为坐标轴（以1米为长度单位）建立直角坐标系． （1）试直接写出E点的坐标（用t的代数式表示）； （2）当BD=0.5米时，
①求梯子顶端A滑行道E点所用的时间； ②求直线ED的函数解析式．
27．（10分）（2015春•长宁区期末）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，已知G是边AB上的
一个动点（G点不与A，B点重合），且GE∥AC，GF∥BC，若AG=x，S△GEF=y．
（1）求y与x的函数关系式，并写出函数定义域；
（2）点G在运动过程总，能否使△GEF成为直角三角形？若能，请求出AG长度；若不能，请说明理由；
（3）点G在运动过程中，能否使四边形GFEB构成平行四边形？若能，直接写出S△GEF的值；若不能，请说明理由．
2014-2015学年上海市长宁区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分） 1．必然事件的概率是（ ）
A． 0 B． 0.5 C． 1 D． 不能确定
考点： 概率的意义．
分析： 根据必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件即可解答． 解答： 解：∵必然事件就是一定发生的事件， ∴必然事件发生的概率是1． 故选：C．
点评： 本题主要考查必然事件的概率；事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
2．下列方程中，有实数根的方程是（ ） A．
考点： 无理方程．
B． C． D．
分析： 先变形得出=k的形式，再根据二次根式的性质逐个进行判断即可．
解答： 解：A、x2+1=0，
此时方程无解，故本选项错误； B、∵∴
+=0， =﹣，
∵算术平方根是非负数， ∴此时方程无解，故本选项错误； C、∵∴x=3， 故本选项正确； D、∵
+
=2，
=2，
∴x+1=4，
∴x﹣1≥0且1﹣x≥0， 解得：x=1， 代入得：0+0=2，
此时不成立，故本选项错误； 故选C．
点评： 本题考查了无理方程的应用，能根据二次根式的性质进行判断是解此题的关键． 3．若
考点： *平面向量．
是非零向量，则下列等式正确的是（ ） |=|
| B．
=
C．
+
≠0 D． |
|+|
|=0
A． |
分析： 长度不为0的向量叫做非零向量，本题根据向量的长度及方向易得结果． 解答： 解：∵∴|
|=|
|．
故选A．
点评： 本题考查的是非零向量的长度及方向的性质．
4．已知梯形ABCD中，AD∥BC，则∠A：∠B：∠C：∠D不可能是（ ） A． 3：7：5：5 B． 5：4：5：4 C． 4：5：6：3 D． 8：1：4：5
考点： 梯形．
是非零向量，
分析： 由梯形的性质得出同旁内角互补，得出A、C、D有可能；由平行四边形的判定方法得出B不可能．
解答： 解：∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°， 即∠A+∠B=∠C+∠D， ∴A、C、D选项有可能； B选项不可能；
∵若∠A：∠B：∠C：∠D=5：4：5：4， 则∠A=∠C，∠B=∠D， 则四边形ABCD是平行四边形， ∴B不可能． 故选：B．
点评： 本题考查了梯形的性质、平行四边形的判定方法；熟练掌握梯形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
5．如果菱形的边长是a，一个内角是60°，那么菱形较短的对角线长等于（ ） A． a B．
考点： 菱形的性质．
a C． a D． a
分析： 由四边形ABCD是菱形，即可求得△ABC是等边三角形，则可求得菱形较短的对角线长等于菱形的边长．
解答： 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC， ∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形， ∴AC=AB=BC=a．
∴菱形较短的对角线长等于a． 故选C．
点评： 此题考查了菱形的性质．注意菱形的四条边都相等，注意数形结合思想的应用．
6．下列命题中，假命题有（ ） ①有两个角相等的梯形是等腰梯形；
②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形； ③一组对角互补的梯形是等腰梯形； ④等腰梯形是轴对称图形．
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点： 命题与定理．
分析： 根据等腰梯形的判定方法对①进行判断；根据等腰梯形的定义对②进行判断；根据等腰梯形的性质对③④进行判断．
解答： 解：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，所以①错误； 一组对边平行，另一组对边不平行且相等的四边形是等腰梯形，所以②错误； 一组对角互补的梯形是等腰梯形，所以③正确； 等腰梯形是轴对称图形，所以④正确． 故选B．
点评： 本题考查了命题与定理：断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
7．如图所示，函数y=mx+m的图象可能是（ ）
A． B． C．
D．
考点： 一次函数的图象．
专题： 分类讨论．
分析： 根据题意，当m≠0时，函数y=mx+m是一次函数，结合一次函数的性质，分m＞0与m＜0两种情况讨论，可得答案．
解答： 解：根据题意，当m≠0时，函数y=mx+m是一次函数， m＞0时，其图象过一二三象限，D选项符合， m＜0时，其图象过二三四象限，没有选项的图象符合， 故选D．
点评： 本题考查一次函数的图象的性质，利用图象假设m的符号，分别分析是解题关键．
8．甲、乙两同学同时从学校出发，步行10千米到某博物馆，已知甲每小时比乙多走1千米，结果乙比甲晚20分钟．设乙每小时走x千米，则所列方程正确的是（ ） A． C．
B． D．
考点： 由实际问题抽象出分式方程．
分析： 设乙每小时走x千米，则甲每小时走（x+1）千米，根据题意可得：走10千米，乙比甲多用20分钟，据此列方程．
解答： 解：设乙每小时走x千米，则甲每小时走（x+1）千米， 由题意得故选D．
点评： 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 9．方程2x3﹣16=0的根是 x=2 ．
考点： 高次方程．
﹣=．
分析： 求出x3=8，两边开立方根，即可求出x． 解答： 解：2x3﹣16=0， 2x3=16， x3=8， x=2， 故答案为：2．
点评： 本题考查了高次方程的解法和立方根，关键是能由x3=8求出x．
10．在分式方程
考点： 换元法解分式方程．
+=1中，令y=，则原方程可化为关于y的方程是 y2﹣y+2=0 ．
分析： 设y=解答： 解：设y=即y2﹣y+2=0，
，则=，原方程可化为y+=1，求出即可．
，则原方程可化为y+=1，
故答案为：y2﹣y+2=0．
点评： 本题考查了解分式方程的应用，能正确换元是解此题的关键，难度适中． 11．方程
考点： 无理方程．
的解是 x=﹣1 ．
分析： 把方程两边平方后求解，注意检验．
解答： 解：把方程两边平方得x+2=x2， 整理得（x﹣2）（x+1）=0， 解得：x=2或﹣1，
经检验，x=﹣1是原方程的解． 故本题答案为：x=﹣1．
点评： 本题考查无理方程的求法，注意无理方程需验根．
12．直线y=﹣2x﹣6在y轴上的截距是 ﹣6 ．
考点： 一次函数图象上点的坐标特征．
分析： 根据直线的斜截式方程即可求得结果． 解答： 解：因为直线y=﹣2x﹣6，b=﹣6， 所以直线y=﹣2x﹣6在y轴上的截距是﹣6． 故答案为：﹣6
点评： 本题主要考查截距的定义，关键是根据直线的斜截式方程解答．
13．过点（﹣1，3）且与直线y=﹣x平行的直线表达式为 y=﹣x+2 ．
考点： 两条直线相交或平行问题．
分析： 由平行直线的比例系数k相等可求得直线的k，再由已知点的坐标可求得直线表达式． 解答： 解：设直线解析式为y=kx+b， ∵直线y=﹣x平行， ∴k=﹣1，
又直线过点（﹣1，3）， ∴﹣k+b=3，解得b=2， ∴直线表达式为y=﹣x+2， 故答案为：y=﹣x+2．
点评： 本题主要考查平行直线的特点为，掌握平行直线的比例系数k相等是解题的关键．
14．在平行四边形ABCD中，若
考点： *平面向量．
= （用和表示）．
分析： 由在平行四边形ABCD中，解答： 解：∵在平行四边形ABCD中，∴
=
﹣
=﹣．
故答案为：﹣．
，根据平行四边形法则即可求得
，
的值．
点评： 此题考查了平面向量的知识．解题的关键是注意平行四边形法则的应用．
15．由四条线段，长度分别为1，3，5，7，从这四条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率为
考点： 列表法与树状图法；三角形三边关系．
．
分析： 利用组合的意义分别求出：从这四条线段中任取三条的方法和所取三条线段能构成一个三角形的方法，再根据古典概型的计算公式即可得出． 解答： 解：从这四条线段中任取三条，共有C34 中情况．其中只有当取3，5，7时，才能组成三角形． 因此所取三条线段能构成一个三角形的概率P=． 故答案为：．
点评： 考查了概率的求法即三角形的三边关系，正确理解组合的意义及三条线段能组成三角形的条件是解题的关键．
16．若十边形的每个内角都相等，则该十边形每个内角度数为 144° ．
考点： 多边形内角与外角．
分析： 根据多边形的内角和公式即可得出结果．
解答： 解：∵十边形的内角和=（10﹣2）•180°=1440°， 又∵十边形的每个内角都相等，
∴每个内角的度数=1440°÷10=144°． 故答案是：144°．
点评： 本题考查多边形的内角和计算公式．多边形内角和定理：多边形内角和等于（n﹣2）•180°．
17．顺次连结三角形三边的中点所构成的三角形周长为16，那么原来的三角形周长是 32 ．
考点： 三角形中位线定理．
分析： 根据三角形中位线的性质，即三角形的中位线等于第三边的一半求解即可． 解答： 解：∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点， ∴DE=AC，EF=AB，DF=BC， ∴DE+EF+FD=AC+AB+BC， =（AB+BC+AC）=16，
∴AB+BC+AC=32． 故答案为：32．
点评： 本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．
18．已知梯形的中位线长为10cm，高为5cm，则此梯形的面积为 100 cm2．
考点： 梯形中位线定理．
分析： 根据梯形中位线求出AD+BC=2EF=20cm，根据面积公式求出即可． 解答： 解：如图：
∵梯形ABCD的中位线EF=10cm， ∴AD+BC=2EF=20cm， ∵梯形ABCD的高MN=5cm，
∴梯形ABCD的面积是×（AD+BC）=20cm×5cm=100cm2， 故答案为：100．
点评： 本题考查了梯形中位线的应用，能根据梯形的中位线求出AD+BC=2EF是解此题的关键，注意：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
19．如果▱ABCD成为一个矩形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ∠A=90° ．
考点： 矩形的判定．
专题： 开放型．
分析： 根据矩形的判定定理（①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形）逐一判断即可． 解答： 解：∵一个角是90度的平行四边形是矩形， ∴添加∠A=90． 故答案为：∠A=90°．
点评： 本题考查了对矩形的判定定理的应用，注意：矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形．
20．如图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD=6，则AF等于 4
．
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： 先图形折叠的性质得到BF=EF，AE=AB，再由E是CD的中点可求出ED的长，再求出∠EAD的度数，设FE=x，则AF=2x，在△ADE中利用勾股定理即可求解． 解答： 解：由折叠的性质得BF=EF，AE=AB， 因为CD=6，E为CD中点，故ED=3， 又因为AE=AB=CD=6，∠D=90°， 所以∠EAD=30°，
则∠FAE=（90°﹣30°）=30°， 设FE=x，则AF=2x，
在△AEF中，根据勾股定理，（2x）2=62+x2， x2=12，x1=2AF=2
×2=4
．
故答案为：4
，x2=﹣2．
（舍去）．
点评： 此题主要考查了翻折变换的性质和勾股定理应用，解答此题要抓住折叠前后的图形全等的性质解答．
三、解答题（本大题共5题，满分30分） 21．解关于x的方程：（a﹣1）x=3．
考点： 解一元一次方程．
专题： 分类讨论．
分析： 分a=1与a≠1两种情况求出解即可． 解答： 解：分两种情况考虑： 当a=1时，方程为0=3，无解； 当a≠1时，解得：x=
．
点评： 此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．解方程：
考点： 解分式方程．
=1．
专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 解答： 解：去分母得：3（x+1）﹣6=x2﹣1， 整理得：x2﹣3x+2=0，即（x﹣1）（x﹣2）=0， 解得：x=1或x=2，
经检验x=1是增根，分式方程的解为x=2．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
23．解方程组：
考点： 高次方程．
．
专题： 计算题． 分析： 对于
，先把方程①变形得（x+2y）（x﹣2y）=4③，再把②代入得x+2y=4④，
然后解由②④组成的方程组即可． 解答： 解：
，
由①得（x+2y）（x﹣2y）=4③， 把②代入③得x+2y=4④， ②+④得2x=5，解得x=，
把x=代入②得﹣2y=1，解得y=，
所以方程组的解为．
点评： 本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
24．如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线交BC于E，交AD于F，求证：四边形AECF的菱形．
专题： 证明题．
考点： 菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
分析： 首先证明△AOF≌△COE可得EO=FO，再由条件对角线AC的垂直平分线交BC于E，交AD于F可得AO=CO，进而可得四边形AECF为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得结论．
解答： 证明：∵AF∥EC． ∴∠FAC=∠ECA． 在△AOF与△COE中∴△AOF≌△COE（ASA）． ∴EO=FO，
∴四边形AECF为平行四边形， 又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF为菱形．
点评： 此题主要考查了菱形的判定，中垂线的性质，全等三角形的判定和性质，关键是掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
25．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD=2，BD=6，AC=BC=8，求证：AC⊥BD．
，
专题： 证明题．
考点： 梯形；勾股定理的逆定理．
分析： 过D作DF∥AC，交BC的延长线于F，则四边形ACFD是平行四边形，得出CF=AD=2，DF=AC=8，DF∥AC，得出BF=8+2=10，由勾股定理的逆定理证出△BDF是直角三角形，得出BD⊥DF，即可证出AC⊥BD．
解答： 证明：过D作DF∥AC，交BC的延长线于F，如图所示： ∵AD∥BC，
∴四边形ACFD是平行四边形， ∴CF=AD=2，DF=AC=8，DF∥AC， ∴BF=8+2=10，
∵BD2+DF2=62+82=100，BF2=102=100， ∴BD2+DF2=BF2， ∴△BDF是直角三角形， ∴BD⊥DF， ∵DF∥AC， ∴AC⊥BD．
点评： 本题考查了梯形的性质、勾股定理的逆定理、平行四边形的判定与性质；熟练掌握梯形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
四、综合题（本大题共2题，26题8分，27题10分，满分18分）
26．如图，一个梯子AB长为2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙面C的距离为1.5米，梯子顶端A沿着墙以1米/秒的速度向下滑行，t秒后梯子顶端A滑行到E点，同时B沿地面滑行到D点，请分别以AC与BC所在的直线为坐标轴（以1米为长度单位）建立直角坐标系． （1）试直接写出E点的坐标（用t的代数式表示）； （2）当BD=0.5米时，
①求梯子顶端A滑行道E点所用的时间； ②求直线ED的函数解析式．
考点： 勾股定理的应用；一次函数的应用．
分析： （1）根据梯子顶端A沿着墙以1米/秒的速度向下滑行，t秒后梯子顶端A滑行到E点，表示出EC的长进而得出E点的坐标；
（2）①首先求出BD=0.5m时，AE的长，进而利用滑动速度得出梯子顶端A滑行道E点所用的时间； ②利用①中所求得出E，D点坐标进而利用待定系数法求出一次函数解析式． 解答： 解：（1）∵AC=2，AE=t， ∴EC=2﹣t，
∴E点坐标（0，2﹣t）；
（2）①在Rt△ABC中，∵AC2=AB2﹣BC2=2.52﹣1.52=4， ∴AC=2， ∵BD=0.5，
∴CD=2，
在Rt△ECD中，EC2=ED2﹣CD2=2.52﹣22=2.25， ∴EC=1.5，
∴AE=AC﹣EC=2﹣1.5=0.5（m），
∴梯子顶端A滑行到E点所用的时间0.5秒；
②由①得：E（0，1.5），D（2，0）， 设直线ED的函数解析式为：y=kx+b， 则解得：
，
．
所以，直线ED的函数解析式．y=﹣0.75x+1.5．
点评： 此题主要考查了勾股定理以及待定系数法求一次函数解析式等知识，得出AE的长是解题关键．
27．（10分）（2015春•长宁区期末）如图，△ABC是边长为2
的等边三角形，已知G是边AB上的
一个动点（G点不与A，B点重合），且GE∥AC，GF∥BC，若AG=x，S△GEF=y．
（1）求y与x的函数关系式，并写出函数定义域；
（2）点G在运动过程总，能否使△GEF成为直角三角形？若能，请求出AG长度；若不能，请说明理由；
（3）点G在运动过程中，能否使四边形GFEB构成平行四边形？若能，直接写出S△GEF的值；若不能，请说明理由．
考点： 四边形综合题．
分析： （1）依题意，得：△AFG、△BEG为等边三角形，所以有FG=AG=x，EG=BG=2∠EGF=60°，由三角形的面积定理即可得到y与x的函数关系式；
﹣x，
（2）由（1）知∠EGF=60°，需分类讨论：∠EFG=90°，∠FEG=90°，两种情况，由含30°的直角三角形的性质即可求出结论；
（3）若四边形GFEB构成平行四边形时，易证△AFG，△BEG，△CEF，△EFG是全等的等边三角形，易求S△GEF．
解答： 解：（1）∵△ABC是等边三角形，GF∥BC， ∴∠AGF=∠B=60°， ∴△AFG是等边三角形， 同理△BEG为等边三角形， ∴FG=AG=x，EG=BG=2y=
﹣x，∠EGF=60°， =﹣
，定义域：（0，2
）；
﹣x），解得：x=
，
（2）若∠EFG=90°，又∠EGF=60°，所以，有x=（2若∠FEG=90°，则
，解得：x=
， 或
所以，能使△GEF成为直角三角形，AG的长为（3）若四边形GFEB构成平行四边形时， 由（1）△AFG和△BEG为等边三角形， ∴△CEG是等边三角形， ∴∠EFG=∠FEG=60°， ∴△EFG为等边三角形， ∴EF=FG=AG=GB=∴SAGEF=
==，
=
；
．
点评： 本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形的面积定理，平行四边形的性质，含30°的直角三角形的性质，能灵活应用这些性质是解题的关键，同时注意分类思想的应用．
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